最短路径(将军饮马造桥选址)
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平移的方法有四种：三个桥长都平移 到A点处；都平移到B点处；MN、PQ 平移到A点处；PQ、GH平移到B点处
M N P Q
G
H
B
问题解决 A
A1
沿垂直于河岸方向依次把A点平 A 2 移至A１、A２、A3，使AA１ A3 ＝MN，A１A２ ＝PQ，A2A3 =GH ； 连接A3B交于B点相邻河岸于H 点，建桥GH； 连接A2G交第二河与G对岸的P 点，建桥PQ； 连接A1P交第一条河与A的对岸 于N点，建桥MN. 此时从A到B点路径最短.
M N
P Q
G H
B
问题解决
沿垂直于河岸方向依次把A点平 移至A１、A２、A3，使AA１ ＝MN，A１A２ ＝PQ，A2A3 =GH ； 连接A3B交于B点相邻河岸于H 点，建桥GH； 连接A2G交第二河与G对岸的P 点，建桥PQ； 连接A1P交第一条河与A的对岸 于N点，建桥MN. 此时从A到B点路径最短.
B
Ｑ＋ＱＢ．
思维方法二
沿垂直于第一条河岸方
A
向平移Ａ点至Ａ１ 点，沿 A1
垂直于第二条河岸方向平移
Ｂ点至Ｂ１点，连接A1B1
M
分别交A、B的对岸于N、P 两点，建桥MN和PQ.
N P
最短路径 AM+MN+NP+PQ+QB转化为
AA1+A1B1+BB1.
Q B
思维方法三
沿垂直于河岸方向依次把 B点平移至B１、B２，使 BB１＝PQ，B１B２ ＝MN ； 连接B２A交于A点相邻河 岸于M点，建桥MN； 连接B１N交B１的对岸于 P点，建桥PQ； 从Ａ点到Ｂ点的最短路径 为ＡM＋MN＋NP＋ＭＮ ＋ＮＰ＋ＰＱ＋ＱＢ转化 为AB2+B2B1+B1B．
A
M
N
P
Q
B2
B1
B
问题延伸二
A
如图，A和B两地之间 有三条河，现要在两 条河上各造一座桥MN、 PQ和GH.桥分别建在 何处才能使从A到B的 路径最短？（假定河 的两岸是平行的直线 ，桥要与河岸垂直）
B
思维分析
A
如图，问题中所走总路径是 AM+MN+NP+PQ+ＱG+GH+HB．
桥MN、PQ和GH在中间，且方 向不能改变，仍无法直接利用 “两点之间，线段最短”解决问 题，只有利用平移变换转移到 两侧或同一侧先走桥长.
在△Ａ１Ｎ１Ｂ中，由线段公理知A1N1+BN1＞A1B 因此ＡＭ１＋Ｍ１Ｎ１＋ＢＮ１＞ AM+MN+BN
问题延伸一
如图，A和B两地之间
A
有两条河，现要在两
条河上各造一座桥MN
和PQ.桥分别建在何处
才能使从A到B的路径
最短？（假定河的两
岸是平行的直线，桥
要与河岸垂直）
B
思维分析
如图，问题中所走总路径是
最短路径 问题
将军饮马 造桥选址
问题
问题
最短路径问题
①垂线段最短。
B L
A
②两点之间，线段最短。
A L
C B
问题1 如图，牧马人从A地出发，到一条笔直的河边l饮马，然后到B
地.牧马人到河边的什么地方饮马，可使所走的路径最短？
A C
B
L
两种情形
① 点A，B分别是直线l异 侧的两个点
A
C
l
B
② 点A,B分别是直线l同 侧的两个点 B
1、2两种方法改变了. 怎样调整呢？
把A或B分别向下或上平移一个桥长
那么怎样确定桥的位置呢?
问题解决
A
如图，平移A到A1，使Ａ
A1等于河宽，连接A1Ｂ
A1
M
交河岸于Ｎ作桥ＭＮ，此
时路径ＡＭ＋ＭＮ＋ＢＮ
最短.
N
理由；另任作桥Ｍ１Ｎ１，连接ＡＭ１，ＢＮ１，Ａ１Ｎ１.
Ｍ１Ｎ１B源自由平移性质可知，ＡＭ＝Ａ１Ｎ，ＡＡ１＝ＭＮ＝Ｍ１Ｎ１，ＡＭ１＝Ａ１Ｎ１. AM+MN+BN转化为ＡＡ１＋Ａ１Ｂ，而ＡＭ１＋Ｍ１Ｎ１＋ＢＮ１ 转 化为ＡＡ１＋Ａ１Ｎ１＋ＢＮ１.
M
P
N
P
Q Q
连接A1P交Ａ１的对岸于Ｎ点，在Ｎ点处建桥ＭＮ．
问题解决
沿垂直于河岸方向依次把 Ａ点Ａ１、Ａ２，使ＡＡ １＝ＭＮ，Ａ１Ａ２ ＝
A
A1 A2
ＰＱ ；
M
连接Ａ２Ｂ交于Ｂ点相邻
河岸于Ｑ点，建桥ＰＱ； 连接Ａ１Ｐ交Ａ１的对岸
N P
于Ｎ点，建桥ＭＮ；
Q
从Ａ点到Ｂ点的最短路径
为ＡM＋MN＋ＮＰ＋Ｐ
A
AM+MN+NP+PQ+ＱＢ．
桥MN和PQ在中间，且方向不 能改变，仍无法直接利用“两点 之间，线段最短”解决问题，只 有利用平移变换转移到两侧或 同一侧先走桥长.
M N P Q
B
平移的方法有三种：两个桥长都平移 到A点处、都平移到B点处、MN平移 到A点处，PQ平移到B点处
思维方法一
1、沿垂直于第一条河岸的方向平移A点至 AA1使AA1=MN，此时问题转化为问题基本题 型两点（A1、B点）和一条河建桥（PQ）
① 作图
A A′
M N
a b
B
② 证明
A A′
a
M′
b
M
N′
N
B
A A′
M′ M
N
证明: a
b
N′ B
练习
1、如图1，台球桌上有一个黑球，一个白球，如何用球杆去击白球使其 撞到AB边反弹后再撞到黑球? 2、如图2，四边形ABCD中，∠BAD=120°，∠B=∠D=90°,在BC，CD 上分别找一点M、N，当△AMN周长最小时，∠AMN+∠ANM的度数为 多少？
A A1
B
2、利用基本问题的解决方法确定桥PQ： （1）在沿垂直于第二条河岸的方向平移A1至A2，
使A1A2=PQ. （2）连接A2B交A2的对岸Q点，在点处建桥PQ.
A A1 A2
P
Q
B
3、确定PQ的位置，也确定了BQ和PQ，此时问题可 转化为由A点、P点和第一条河确定桥MN的位置.
A A1
A A1
D
A 图1
C
A
D
A″
B
N
M
B
A′
C
图2
郧西县河夹镇初级中学 段廉洁
造桥选址问题
如图，A和B两地在一条河的两岸，现要在 河上造一座桥MN.乔早在何处才能使从A到B 的路径AMNB最短？（假定河的两岸是平行 的直线，桥要与河垂直）
A
B
思维分析
A
1、如图假定任选位置造 桥ＭＮ，连接ＡＭ和ＢＮ，从 A到B的路径是AM+MN+BN， 那么怎样确定什么情况下最短 呢？
A l
C
B′
解决问题 1
① 作图 B
A l
C B′
② 证明
B A
C l
C′
B′
A
C′
C
B 证明: l
B′
问题 2 （造桥选址问题）如图，A和B两地在一条河的两岸，现要在河 上造一座桥MN，桥造在何处可使从A到B的路径AMNB最短？ （假定河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直。）
a
A
M
b
N
B
解决问题 2
Ｍ
Ｎ B
2、利用线段公理解决问题我们遇到了什 么障碍呢？
思维火花
我们能否在不改变AM+MN+BN的前提 下把桥转化到一侧呢？什么图形变换能帮助 我们呢？
各抒己见
1、把A平移到岸边. 2、把B平移到岸边. 3、把桥平移到和A相连.
4、把桥平移到和B相连.
合作与交流
上述方法都能做到使AM+MN+BN不变呢？请 检验.
M N P Q
G
H
B
问题解决 A
A1
沿垂直于河岸方向依次把A点平 A 2 移至A１、A２、A3，使AA１ A3 ＝MN，A１A２ ＝PQ，A2A3 =GH ； 连接A3B交于B点相邻河岸于H 点，建桥GH； 连接A2G交第二河与G对岸的P 点，建桥PQ； 连接A1P交第一条河与A的对岸 于N点，建桥MN. 此时从A到B点路径最短.
M N
P Q
G H
B
问题解决
沿垂直于河岸方向依次把A点平 移至A１、A２、A3，使AA１ ＝MN，A１A２ ＝PQ，A2A3 =GH ； 连接A3B交于B点相邻河岸于H 点，建桥GH； 连接A2G交第二河与G对岸的P 点，建桥PQ； 连接A1P交第一条河与A的对岸 于N点，建桥MN. 此时从A到B点路径最短.
B
Ｑ＋ＱＢ．
思维方法二
沿垂直于第一条河岸方
A
向平移Ａ点至Ａ１ 点，沿 A1
垂直于第二条河岸方向平移
Ｂ点至Ｂ１点，连接A1B1
M
分别交A、B的对岸于N、P 两点，建桥MN和PQ.
N P
最短路径 AM+MN+NP+PQ+QB转化为
AA1+A1B1+BB1.
Q B
思维方法三
沿垂直于河岸方向依次把 B点平移至B１、B２，使 BB１＝PQ，B１B２ ＝MN ； 连接B２A交于A点相邻河 岸于M点，建桥MN； 连接B１N交B１的对岸于 P点，建桥PQ； 从Ａ点到Ｂ点的最短路径 为ＡM＋MN＋NP＋ＭＮ ＋ＮＰ＋ＰＱ＋ＱＢ转化 为AB2+B2B1+B1B．
A
M
N
P
Q
B2
B1
B
问题延伸二
A
如图，A和B两地之间 有三条河，现要在两 条河上各造一座桥MN、 PQ和GH.桥分别建在 何处才能使从A到B的 路径最短？（假定河 的两岸是平行的直线 ，桥要与河岸垂直）
B
思维分析
A
如图，问题中所走总路径是 AM+MN+NP+PQ+ＱG+GH+HB．
桥MN、PQ和GH在中间，且方 向不能改变，仍无法直接利用 “两点之间，线段最短”解决问 题，只有利用平移变换转移到 两侧或同一侧先走桥长.
在△Ａ１Ｎ１Ｂ中，由线段公理知A1N1+BN1＞A1B 因此ＡＭ１＋Ｍ１Ｎ１＋ＢＮ１＞ AM+MN+BN
问题延伸一
如图，A和B两地之间
A
有两条河，现要在两
条河上各造一座桥MN
和PQ.桥分别建在何处
才能使从A到B的路径
最短？（假定河的两
岸是平行的直线，桥
要与河岸垂直）
B
思维分析
如图，问题中所走总路径是
最短路径 问题
将军饮马 造桥选址
问题
问题
最短路径问题
①垂线段最短。
B L
A
②两点之间，线段最短。
A L
C B
问题1 如图，牧马人从A地出发，到一条笔直的河边l饮马，然后到B
地.牧马人到河边的什么地方饮马，可使所走的路径最短？
A C
B
L
两种情形
① 点A，B分别是直线l异 侧的两个点
A
C
l
B
② 点A,B分别是直线l同 侧的两个点 B
1、2两种方法改变了. 怎样调整呢？
把A或B分别向下或上平移一个桥长
那么怎样确定桥的位置呢?
问题解决
A
如图，平移A到A1，使Ａ
A1等于河宽，连接A1Ｂ
A1
M
交河岸于Ｎ作桥ＭＮ，此
时路径ＡＭ＋ＭＮ＋ＢＮ
最短.
N
理由；另任作桥Ｍ１Ｎ１，连接ＡＭ１，ＢＮ１，Ａ１Ｎ１.
Ｍ１Ｎ１B源自由平移性质可知，ＡＭ＝Ａ１Ｎ，ＡＡ１＝ＭＮ＝Ｍ１Ｎ１，ＡＭ１＝Ａ１Ｎ１. AM+MN+BN转化为ＡＡ１＋Ａ１Ｂ，而ＡＭ１＋Ｍ１Ｎ１＋ＢＮ１ 转 化为ＡＡ１＋Ａ１Ｎ１＋ＢＮ１.
M
P
N
P
Q Q
连接A1P交Ａ１的对岸于Ｎ点，在Ｎ点处建桥ＭＮ．
问题解决
沿垂直于河岸方向依次把 Ａ点Ａ１、Ａ２，使ＡＡ １＝ＭＮ，Ａ１Ａ２ ＝
A
A1 A2
ＰＱ ；
M
连接Ａ２Ｂ交于Ｂ点相邻
河岸于Ｑ点，建桥ＰＱ； 连接Ａ１Ｐ交Ａ１的对岸
N P
于Ｎ点，建桥ＭＮ；
Q
从Ａ点到Ｂ点的最短路径
为ＡM＋MN＋ＮＰ＋Ｐ
A
AM+MN+NP+PQ+ＱＢ．
桥MN和PQ在中间，且方向不 能改变，仍无法直接利用“两点 之间，线段最短”解决问题，只 有利用平移变换转移到两侧或 同一侧先走桥长.
M N P Q
B
平移的方法有三种：两个桥长都平移 到A点处、都平移到B点处、MN平移 到A点处，PQ平移到B点处
思维方法一
1、沿垂直于第一条河岸的方向平移A点至 AA1使AA1=MN，此时问题转化为问题基本题 型两点（A1、B点）和一条河建桥（PQ）
① 作图
A A′
M N
a b
B
② 证明
A A′
a
M′
b
M
N′
N
B
A A′
M′ M
N
证明: a
b
N′ B
练习
1、如图1，台球桌上有一个黑球，一个白球，如何用球杆去击白球使其 撞到AB边反弹后再撞到黑球? 2、如图2，四边形ABCD中，∠BAD=120°，∠B=∠D=90°,在BC，CD 上分别找一点M、N，当△AMN周长最小时，∠AMN+∠ANM的度数为 多少？
A A1
B
2、利用基本问题的解决方法确定桥PQ： （1）在沿垂直于第二条河岸的方向平移A1至A2，
使A1A2=PQ. （2）连接A2B交A2的对岸Q点，在点处建桥PQ.
A A1 A2
P
Q
B
3、确定PQ的位置，也确定了BQ和PQ，此时问题可 转化为由A点、P点和第一条河确定桥MN的位置.
A A1
A A1
D
A 图1
C
A
D
A″
B
N
M
B
A′
C
图2
郧西县河夹镇初级中学 段廉洁
造桥选址问题
如图，A和B两地在一条河的两岸，现要在 河上造一座桥MN.乔早在何处才能使从A到B 的路径AMNB最短？（假定河的两岸是平行 的直线，桥要与河垂直）
A
B
思维分析
A
1、如图假定任选位置造 桥ＭＮ，连接ＡＭ和ＢＮ，从 A到B的路径是AM+MN+BN， 那么怎样确定什么情况下最短 呢？
A l
C
B′
解决问题 1
① 作图 B
A l
C B′
② 证明
B A
C l
C′
B′
A
C′
C
B 证明: l
B′
问题 2 （造桥选址问题）如图，A和B两地在一条河的两岸，现要在河 上造一座桥MN，桥造在何处可使从A到B的路径AMNB最短？ （假定河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直。）
a
A
M
b
N
B
解决问题 2
Ｍ
Ｎ B
2、利用线段公理解决问题我们遇到了什 么障碍呢？
思维火花
我们能否在不改变AM+MN+BN的前提 下把桥转化到一侧呢？什么图形变换能帮助 我们呢？
各抒己见
1、把A平移到岸边. 2、把B平移到岸边. 3、把桥平移到和A相连.
4、把桥平移到和B相连.
合作与交流
上述方法都能做到使AM+MN+BN不变呢？请 检验.