冲激函数匹配法

l 1 l 1
( t ) B1
( t ) B l 1
(t ) Bl (t ) D u (t )
(2-2)
（一）起始点的跳变的两条规律
一般情况,t=0时微分方程为
C0 B0 d dt d dt
l l n n
r (t ) C1
d dt d dt
n 1 n 1
代入t=0时方程,求出
a 0、 a 1、 a 2 a l、 b
则
n dn d r (0 ) b n r (0 ) n dt dt n 1 n 1 d d r (0 ) a 0 n 1 r ( 0 ) n 1 dt dt r (0 ) r (0 ) n dn d r (0 ) n r (0 ) b n dt dt n 1 n 1 d d r (0 ) n 1 r ( 0 ) a 0 n 1 dt dt r (0 ) r (0 )
e ( t ) E m 1
将激励信号代入系统的微分方程并整理后，得到0到0期 间的微分方程为 ：
C0 B0 d dt d dt
l l n n
r (t ) C1
d dt d dt
n 1 n 1
r ( t ) C n 1
d dt d dt
r (t ) C n r (t )
r ( t ) C n 1
d dt d dt
r (t ) C n r (t )
l 1 l 1
( t ) B1
( t ) B l 1
(t ) Bl ( t ) D u ( t )
(0-<t<0+) 可以设
dn (l ) ( l 1) r ( t ) a l ( t ) a l 1 ( t ) a 1 ( t ) a 0 ( t ) b u ( t ) n dt n 1 d ( l 1) (l 2) r (t ) a l ( t ) a l 1 ( t ) a 1 ( t ) a 0 u ( t ) n 1 dt r (t )
(0-<t<0+)
代入方程(1),可求出: a=1,b=-1,c=1.从而可得
h (0 ) b h (0 ) 1 d d h (0 ) c h (0 ) 1 dt dt
代入h(t),可求出: A1=-4/3,A2=1/3.考虑到a=1,即h(t)中有一项a (t), 因而得出要求的冲激响应为
及起始状态 h
( 0 ) 0 ( k 0 ,1,..., n 1) .其形式为(n>m)
n
h (t ) ( A k e
k 1
kt
)u (t )
若nm,则表达式中还含有(t)及其相应阶的导数.
用冲激函数匹配法可求出系统的0+状态 h ( Βιβλιοθήκη Baidu ) ( 0 ) ,再求出常数A.
利用冲激函数匹配法求h(0+)和h (0+). 设
d dt
2 2
h ( t ) a ( t ) b ( t ) c ( t ) d u ( t ) d dt h ( t ) a ( t ) b ( t ) c u ( t ) h (t ) a (t ) b u (t )
求系统的冲激响应h(t). 解: h(t)满足方程
d dt
2 2
h (t ) 7
d dt
h ( t ) 10 h ( t ) ( t ) 6 ( t ) 4 ( t )
(1)
它的齐次解形式为
h ( t ) A1 e
2 t
A2 e
3t
(t 0 )
h (t ) (t ) ( 4 3 e
2t

1 3
e
5t
)u (t )
冲激响应h(t)是系统分析中极为重要的函数,它的性 质可以表示系统的因果性和稳定性,h(t)的变换域表示更 是分析LTI系统的重要手段.
例2-6:给定系统的微分方程
d dt
2 2 2 2
r (t ) 7
d dt
r ( t ) 10 r ( t )
d dt
e (t ) 6
d dt
e (t ) 4 e (t )
冲激函数匹配法
设激励信号为e(t),系统响应为r(t),则可以用一高阶微分方 程表示系统
C0 E0 d dt d dt
n n m m
r (t ) C 1 e (t ) E1
d dt d dt
n 1 n 1 m 1 m 1
r ( t ) C n 1
d dt d dt
r (t ) C n r (t ) e (t ) E m e (t )
0+状态为
冲激响应h(t) 满足方程
C0 d dt
n n
h (t ) C 1 ( t ) E 1
(k )
d dt
n 1 n 1
h ( t ) C n 1
d dt
h (t ) C n h (t )
E 0
(m )
( m 1 )
( t ) E m 1 ( t ) E m ( t )