aaa,奇妙的图形密铺

奇妙的图形密铺

【摘要】一次偶然的机会我了解了图形密铺并对之发生了兴趣，这篇论文里我思考了什么样的正多边形能密铺，并进一步去探究多种正多边形组合的密铺问题。

【关键词】正多边形、组合、密铺

【研究方法】查询法、画图法，测量法、列表归纳法、实验法、计算法。

一、问题提出

最近同学们间流行养乌龟，

我也买了几只在家养着。有一天

我和妹妹在观察完乌龟以后，爸

爸问妹妹，小涡你知道乌龟背上

是什么图案吗？妹妹说是很多五

边形。爸爸又问我，我说是六边

形。爸爸说我说得对。爸爸还说，

乌龟背上的图案是许多个正六边

形，还有像蜂巢也是正六边形组

成的，正六边形可以密铺一个平

面，而如果是正五边形就不能了，

会有空隙。爸爸又叫我去想想，

哪些正多边形能单独密铺一个平面。

于是我就带着这个问题去研究了。

二、初步研究——研究4个正多边形的密铺问题

我先上网用百度搜索了“密铺”是什么意思，在百度百科里我看到了“密铺”的定义：用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间不留空隙、不重叠地铺成一片，这就是平面图形的密铺，又称做平面图形的镶嵌。

我想从最简单的正多边形开始，于是在爸爸的指导下，用直尺和圆规画了下面这些图：

那么有没有办法不用量角器就得知正多边形的内角，然后通过内角的规律去求证边长大于六的正多边形能不能密铺。

我用已经研究过的4种正多边形的度数去寻找规律，可是愣没发现。于是我去问数学老师，数学老师告诉了我一个公式，正N边形内角的度数＝(N-2) ×180°÷N，譬如正三边形的内角度数是（3－2）×180°÷3＝60°，正四边形的内角度数是（4－2）×180°÷4＝90°。爸爸叫我列个表格找下规律。于是我列了下面这个表格（表格1）。

正多边形名称内角度数能否整除360°

能否单独密

铺

正三边形（3－2）×180°÷3＝60°360°÷60°＝6 √正四边形（4－2）×180°÷4＝90°360°÷90°＝6 √正五边形（5－2）×180°÷5＝108°360°÷108°＝3……36°×正六边形（6－2）×180°÷6＝120°360°÷120°＝3 √

正七边形（7－2）×180°÷7≈128.5°360°÷128.5°＝2……

103°

×

正八边形（8－2）×180°÷8＝135°360°÷135°＝2……90°×正九边形（9－2）×180°÷9＝140°360°÷140°＝2……80°×

正十边形（10－2）×180°÷10＝144°360°÷144°＝2……72°×正十一边形（11－2）×180°÷11≈147°360°÷147°＝2……66°×

正十二边形（12－2）×180°÷12＝150°360°÷150°＝2……60°×……………………

正N边形(N>2) (N-2) ×180°÷N

360÷〔(N-2)×180°÷N〕＝

2N/N-2

2N/N-2是整

数时能；否

则不能。

我认真地在这个表格里找起规律来。我发现正多边形边越多，每个内角就越大，从正七边形开始，每个正多边形的内角都大于120°，而前面我已经知道了一个正多边形如果要密铺，它的内角度数应该可以整除360°。那么，还有哪个数字大于120°，而且360°可以被它整除？360°除以3是120°，除以2就是180°，除以1就是它自身，所以大于120°，而且360°可以被它整除的数除了360°就只有一个180°了。那么有没有正多边形的内角是180°呢？显然这是不可能的，因为内角如果是180°，相邻的两条边就组成一条直线了，那么就不可能组成一个正多边形了。

我把我的想法告诉爸爸，爸爸夸我想得很有道理。爸爸说也可以从另一方面去考虑这个问题。爸爸说，正多边形的内角肯定小于180°，所以不管这个正多边形是几条边的，两个正多边形肯定不能密铺，因为两个小于180°的内角相加不可能等于360°，所以，不管是什么正多边形，肯定得3个或3个以上才能密铺。而正六边形的内角已经等于120°，从正七边形开始，内角都大于120°，那么3个大于120°的内角相加就已经大于360°，说明边长多于正六边形的正多边形，三个摆在一起，就必然会有重叠。

结论2：能够进行单独密铺的正多边形只有三种：

(1)正三边形；

(2)正四边形；

(3)正六边形。

到些为止，对密铺问题的研究就暂时告了

一段落。直到有一天，我在一个地方看到下面

这幅图6的图案。我突然发现，这幅图也是密

铺的图，但是这幅图里却出现了正八边形，我

想，正八边形不是不能密辅吗？我再仔细看了

一下，这幅图里不单单是一种正八边形，还有

一种是正四边形。原来，正多边形还可以通过

这种组合方式进行密辅。我马上又去问爸爸，

我说是不是所有正多边形组合在一起都可以密铺呢？爸爸说，那你再去研究研究吧。

四、更深入的研究——研究多种正多边形组合的密铺问题

1、两种正多边形组合的密铺问题

我去仔细看了看图6不同正多边形的接合处，发现接合处是两个正八边形加一个正四边形。我又对照了表格1的内角度数。我发现正八边形的内角度数是135°，两个135°是270°，再加上一个正四边形内角是90°，270°+90°＝360°。原来，不同的正多边形的组合要能够密铺，它们的内角之和也要能刚好达到360°。我就做了一个试验来验证一下。我想，如果密铺图案要用到正三边形和正四边形，两个正四边形内角的度数之和是90°+90°＝180°，三个正三边形的内角度数之和是60°×3＝180°，180°+180°＝360°，所以三个正三边形和两个正四边形就能密铺了。我试了画了一下。果然可以（如图7）。那是不是任意两种正多边形的组合都能密铺呢？我又用正四边形和正五边形来试了一下：90°+90°+108°+108°=396°，所以这两者一起不能密铺。

我把这个结果告诉爸爸，爸爸夸奖了我，爸爸叫我再去看看表格1。对照之前的结论2，问我能不能再归纳出什么规律来。

我回忆了结论2的得出过程：想到边长多于6

的正多边形，它的内角的度数是大于120°小于

180°，它们不能进行单独密铺，同样的道理，它

们的组合肯定也不能密铺。因为任意两个这样的度

数之和会小于360°，任意三个这样的度数之和会

大于360°。于是我得出了结论3。

结论3：两种正多边形组合如果能密铺，里面

肯定有一个是正三边形、正四边形、正五边形中的

一个。

那么，三种及三种以上正多边形的组合又能不能密铺呢？

2、三种及三种以上正多边形组合的密铺问题

同样道理，只要三种正多边形内角之和能刚好达到360°，它们的组合就能密铺。我尝试着用正三边形、正四边形和正六边形也作了一个图（图8）。如图所示一个正三边形加两个正四边形加一个正六边形为60°+90°+90°+120°＝360°，所以可以密铺。

那么，三种以上的正多边形能否进行密铺呢？

经过这段时间的探索我对正多边形的内角度数

已经非常清楚，所以我很快得出了结论：不能。因

为拿内角度数最小的正三边形、正四边形、正五边

形、正六边形的四个内角度数来算，它们的内角之

和为：60°+90°+108°+120°=378°，大于密铺图

形的内角度数要求之和360°，因此不能密铺。

结论4：四种或四种以上的正多边形不能进行

密铺。

研究到这里，我问爸爸，既然密铺有这么多的

办法，为什么家家户户的地板瓷砖基本上都是边长

为1米或0.8米的正四边形？爸爸说，这个要考虑

到成本问题。因为房屋的地面基本上都是正方形或

长方形，用正四边形的瓷砖去铺设，浪费较少。如

果用其他的正多边形瓷砖去铺的话，在边缘处浪费会很多。我把餐厅的饭桌当作地板，用自己剪好的各种正多边形试着去铺，果然，在边缘处会有很多突出需要裁剪掉，造成了材料浪图8 图7