重庆市北碚区2020-2021学年高一数学11月联合性测试试题
重庆市2020-2021学年高一上学期期末联合检测数学(康德卷)试题 PDF版含答案
2020年秋高一(上)期末联合检测试卷数学 参考答案一、单项选择题1～4 BCDB 5～8 CBDD第6题解析：因为13a =，2sin 32b π==，0.10441c =>=．第7题解析：428a b +==≥，当且仅当12a b ==，时取等． 第8题解析：因为2log (3)x +在(31]-， 上的值域为(2]-∞，，则2-x ax 在(1)+∞， 上的值域包含(2)+∞， ，即22x ax -≤在(1)+∞， 上有解，则2a x x-≥有解，则1a -≥． 二、多项选择题9．BC 10．AC 11．AD 12．ABD第11题解析：A 、函数两段均为偶函数，所以整个函数也为偶函数．B 、令()0=f x ，解得2=±x ．C 、()f x 在(12)，上单调递减．D 、(())5=f f x ，解得()3=±f x ，则()3=f x 解得1x x =±=， 或者；()3=-f x 解得18=±x ． 第12题解析：A 、令3()f x x =，则()f x 在(0)+∞， 上单调递增，所以()()>f a f b ． B 、令1()=-f x x x ，则()f x 在(0)+∞， 上单调递增，所以1111->-⇒+>+a b a b a b b a ． C 、反例：32a b ==， ． D 、令142()11441+-==-+--x x x h x ，由复合函数性质可知，()h x 在(0)+∞， 上单调递增，所以()()>f a f b ．三、填空题13．2± 14 15．1(1)2-， 16．47(33，第14tan 40tan 20tan(4020)1tan 40tan 20︒+︒=︒+︒=-︒︒，化简可得tan 40tan 2040tan 20︒+︒+︒︒=第15题解析：由韦达定理可得12212-+=-⎪⎪⎨⎪-⨯=⎪⎩a a ，解得11=-⎧⎨=⎩ab ，所以原不等式为2210+-<x x ， 即(1)(21)0+-<x x ，解得112-<<x ． 第16题解析：(0)x ∈π，时，333x ωωπππ-<-<π-，结合cos y x =的图象知，两条对称轴分别为 03x ωπ-=和π，所以23ωππ<π-π≤，解得4733ω<≤． 四、解答题17．（10分）解：（1）原式32212(5251251251012-=⨯+-=-+-=-． ……5分 （2）原式lg8lg375lg3lg10003=+-==． ……10分18．（12分）解：（1）原不等式分解为()(25)0x a x ++<，因为0<a ，所以52a ->-，则5()2B a =--， ．……6分 （2）解得(1)(2)A =-∞-+∞ ，， ，……8分 A B 中有且仅有一个整数，结合（1）中5()2B a =-- 且0a ->知，此整数为2-， 故只需3a -≤，即30a -<≤．……12分19．（12分）解：（1）由题可得函数定义域为(11)D =-， ， ……2分 ()ln(1)ln(1)()-=-++=f x x x f x ，所以为偶函数．……6分（2）2()ln(1)=-f x x ，所以2()1=-+g x x x ，对称轴为12=x ，……8分 ()g x 在1(12-， 上单调递增，在1(1)2上单调递减，所以max 15()()24==g x g ， ……10分 又(1)1-=-g ，(1)1=g ，所以()g x 的值域为5(14-，． ……12分 20．（12分）解：（1）21cos 1()sin 2sin(22226x f x x x -π=+-=-， 令222262k x k πππ-+π<-<+π，解得63k x k ππ-+π<<+π，∈k Z ． 所以()f x 的单调增区间为()()63k k k Z ππ-+π+π∈， ． ……6分636233则5222cos(2)cos()cos cos sin sin 6333A θθθ-π=-π=π+π 11(32326-=⨯-+⨯=． ……12分 21．（12分） 解：（1）代入图中两点坐标可得65010320=⋅+⎧⎨=⎩k b b ，解得33320=⎧⎨=⎩k b ；还可得265045010=+⨯a ，解得2a =． 所以233320,010()450210v v u v v v +<<⎧=⎨+⎩，≥． ……5分 （2）时间20t v =，则所需费用640066001090004010v v z ut v v v ⎧+<<⎪⎪==⎨⎪+⎪⎩， ， ≥ ……7分 ①010<<v 时：函数单调递减，所以min 6606401300z >+=；……8分 ②10v ≥时：1200z ==≥，此时15=v ．……11分 所以15=v 时，航行所需费用最小．……12分22．（12分）解：（1）当3θπ=时，'A 点在矩形OABC 外部，公共部分形状为三角形， 设'= A O BC D ，则11()132236S CD CO π=⨯⨯=⨯⨯=．……4分 （2）①当06θπ<<时，公共部分为四边形， 'A 点在矩形OABC 内部，过点'A 作线段AB 的平行线，分别交线段AO ，BC 于点E F ，． 设''= A B BC G ，则有如下长度：2cos 22cos '2sin '12sin (12sin )tan OE AE A E A F FG θθθθθθ==-==-=-， ， ， ， 则''()θ=---OABC AEFB OEA A FG S S S S S ，即11()12(22cos )2cos 2sin (12sin )(12sin )tan 22S θθθθθθθ=⨯---⨯⨯-⨯-- 45sin 2cos θθ-= …8分 由题知45sin 2cos 8θθ-=，两边同时平方得221640sin 25sin 494cos 32θθθ-+=，由22cos 1sin θθ=-整理得2249sin320sin 790θθ-+=，即(3sin 1)(83sin 79)0θθ--= 因为6θπ<，所以1sin 2θ<，故1sin 3θ=； ……11分②当6θπ≥时，公共部分为三角形，且1()1228S θ⨯=<≤，不合题意； 综上所述，1sin 3θ=． ……12分。
重庆市北碚区2020-2021学年高二数学11月联合性测试试题
重庆市北碚区2020-2021学年高二数学11月联合性测试试题(时间：120分钟 分值：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)1．设P 是椭圆x 2169＋y 2144＝1上一点，F 1、F 2是椭圆的焦点，若|PF 1|等于4，则|PF 2|等于( )A ．22B ．21C ．20D ．13 2．双曲线方程为x 2－2y 2＝1，则它的右焦点坐标为( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫22，0 B.⎝⎛⎭⎪⎫52，0 C.⎝⎛⎭⎪⎫62，0 D ．(3，0)3．已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的虚轴长是实轴长的2倍，则该双曲线的一条渐近线方程为( ) A ．y ＝14xB ．y ＝4xC ．y ＝12xD ．y ＝2x4．F 1、F 2是椭圆x 29＋y 27＝1的两个焦点， A 为椭圆上一点，且∠AF 1F 2＝45°，则△AF 1F 2的面积为( )A ．7 B.72 C.74 D.7525．双曲线x 213－y 23＝1的渐近线与圆(x －4)2＋y 2＝r 2(r >0)相切，则r 的值为( )A ．4B ．3C ．2 D. 36．若抛物线x 2＝2py 的焦点与椭圆x 23＋y 24＝1的下焦点重合，则p 的值为( )A ．4B ．2C ．－4D ．－27．已知M (x 0，y 0)是双曲线C ：x 22－y 2＝1上的一点，F 1，F 2是C 的两个焦点，若·<0，则y 0的取值范围是( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－33，33 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－36，36 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－223，223D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－233，2338．过双曲线x 2－y 22＝1的右焦点F 作直线l 交双曲线于A ，B 两点，若|AB |＝4，则这样的直线l 有( ) A ．1条 B ．2条 C ．3条D ．4条9．已知双曲线x 2a －y 24＝1的渐近线方程为y ＝±233x ，则此双曲线的离心率是( )A.72 B.133 C.53 D.21310．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)与双曲线x 2m 2－y 2n2＝1(m >0，n >0)有相同的焦点(－c,0)和(c,0)，若c 是a 、m 的等比中项，n 2是2m 2与c 2的等差中项，则椭圆的离心率是( ) A.33 B.22 C.14 D.1211．若点O 和点F 分别为椭圆x 24＋y 23＝1的中心和左焦点，点P 为椭圆上的任意一点，则·的最大值为( )A ．2B ．3C ．6D ．812．已知抛物线y 2＝x ，点A ，B 在该抛物线上且位于x 轴的两侧，·＝2(其中O 为坐标原点)，则△ABO 与△AFO 面积之和的最小值是( ) A ．2 B ．3 C.1728 D.10二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．已知过抛物线y 2＝4x 的焦点F 的直线交该抛物线于A 、B 两点，|AF |＝2，则|BF |＝________.14．已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ，b >0)的离心率等于2，它的焦点到渐近线的距离等于1，则该双曲线的方程为________________．15．已知直线l ：x －y －m ＝0经过抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点，l 与C 交于A 、B 两点．若|AB |＝6，则p 的值为________．16．已知P (1,1)为椭圆x 24＋y 22＝1内一定点，经过P 引一条弦，使此弦被P 点平分，则此弦所在的直线方程为________________． 三、解答题(本大题共6小题，共70分)17．(10分)中心在原点，焦点在x 轴上的一个椭圆与一双曲线有共同的焦点F 1，F 2，且|F 1F 2|＝213，椭圆的长半轴与双曲线的半实轴之差为4，离心率之比为3∶7，求这两条曲线的方程．18．(12分)已知直线y ＝x －4被抛物线y 2＝2mx (m ≠0)截得的弦长为62，求抛物线的标准方程．19．(12分)已知椭圆C 的左，右焦点坐标分别是(－2，0)，(2，0)，离心率是63，直线y ＝t 与椭圆C 交于不同的两点M ，N ，以线段MN 为直径作圆P ，圆心为P . (1)求椭圆C 的方程；(2)若圆P 与x 轴相切，求圆心P 的坐标．20.(12分)如图线段AB 过x 轴正半轴上一定点M (m,0)，端点A ，B 到x 轴距离之积为2m ，以x 轴为对称轴，过A ，O ，B 三点作抛物线． (1)求抛物线方程； (2)若·＝－1，求m 的值．21．(12分)设椭圆方程为x 2＋y 24＝1，过点M (0,1)的直线l 交椭圆于点A ，B ，O 是坐标原点，点P 满足＝12(＋)，点N 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12，当l 绕点M 旋转时，求： (1)动点P 的轨迹方程；(2)||的最小值与最大值．22．(12分)已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，离心率等于32，它的一个顶点恰好在抛物线x2＝8y的准线上．(1)求椭圆C的标准方程；(2)如图，点P(2，3)，Q(2，－3)在椭圆上，A，B是椭圆上位于直线PQ两侧的动点，当A，B运动时，满足∠APQ＝∠BPQ，试问直线AB的斜率是否为定值，请说明理由．2020-2021学年度上期北碚区高中11月联合性测试高二数学 答案1．A [由椭圆的定义知， |PF 1|＋|PF 2|＝26，又∵|PF 1|＝4，∴|PF 2|＝26－4＝22.]2．C [将双曲线方程化为标准方程为x 2－y 212＝1，∴a 2＝1，b 2＝12，∴c 2＝a 2＋b 2＝32，∴c ＝62， 故右焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫62，0.] 3．D [根据题意，有b ＝2a ， 则b a＝2，故其中一条渐近线方程为y ＝2x ， 故选D.]4．B [|F 1F 2|＝22，|AF 1|＋|AF 2|＝6， |AF 2|＝6－|AF 1|.|AF 2|2＝|AF 1|2＋|F 1F 2|2－2|AF 1|·|F 1F 2|cos 45° ＝|AF 1|2－4|AF 1|＋8＝(6－|AF 1|)2∴|AF 1|＝72.S ＝12×72×22×22＝72.] 5．D [因为双曲线的渐近线为y ＝±313x ，即3x ±13y ＝0，已知圆的圆心为(4,0)，利用直线与圆相切， 得到d ＝|43±0|3＋13＝3＝r ，故r ＝3，故选D.]6．D [椭圆x 23＋y 24＝1的下焦点为(0，－1)，即为抛物线x 2＝2py 的焦点， ∴p2＝－1，∴p ＝－2.] 7．A [由题意知a ＝2，b ＝1，c ＝3， ∴F 1(－3，0)，F 2(3，0)， ∴＝(－3－x 0，－y 0)， ＝(3－x 0，－y 0)． ∵·<0，∴(－3－x 0)(3－x 0)＋y 20<0， 即x 20－3＋y 20<0.∵点M (x 0，y 0)在双曲线上， ∴x 202－y 20＝1，即x 20＝2＋2y 20， ∴2＋2y 20－3＋y 20<0，∴－33<y 0<33.故选A.] 8．C [当直线l 交双曲线于左右两支时，因为2a ＝2，而|AB |＝4，故可有两条，若直线l 交双曲线于同支，当直线l 垂直于x 轴时，|AB |＝4，故只有一条，所以满足条件的直线有3条．]9．D [∵双曲线x 2a －y 24＝1的渐近线方程为y ＝±2ax ，则2a＝233，即4a ＝43，∴a ＝3，半焦距c ＝3＋4＝7， ∴e ＝73＝213， 故选D.]10．D [由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧c 2＝m 2＋n 2，c 2＝am ，2n 2＝2m 2＋c 2，解得c 2a 2＝14，∴e ＝c a ＝12.]11．C [由椭圆方程得F (－1,0)， 设P (x 0，y 0)，则·＝(x 0，y 0)·(x 0＋1，y 0)＝x 20＋x 0＋y 20.∵P 为椭圆上一点，∴x 204＋y 203＝1.∴·＝x 2＋x 0＋3(1－x 204)＝x 204＋x 0＋3＝14(x 0＋2)2＋2. ∵－2≤x 0≤2，∴·的最大值在x 0＝2时取得，且最大值等于6.] 12．B [如图，可设A (m 2，m )，B (n 2，n )，其中m >0， n <0，则＝(m 2，m )，＝(n 2，n )，·＝m 2n 2＋mn ＝2，解得mn ＝1(舍)或mn ＝－2. ∴l AB ：(m 2－n 2)(y －n )＝(m －n )· (x －n 2)，即(m ＋n )(y －n )＝x －n 2， 令y ＝0，解得x ＝－mn ＝2，∴C (2,0)，点C 为直线AB 与x 轴的交点．S △AOB ＝S △AOC ＋S △BOC ＝12×2×m ＋12×2×(－n )＝m －n ，S △AOF ＝12×14×m ＝18m ，则S △AOB ＋S △AOF ＝m －n＋18m ＝98m －n ＝98m ＋2m ≥ 298m ·2m ＝3，当且仅当98m ＝2m ，即m ＝43时等号成立．故△ABO 与△AFO 面积之和的最小值为3.] 13．2解析 设点A ，B 的横坐标分别是x 1，x 2，则依题意有焦点F (1,0)，|AF |＝x 1＋1＝2，∴x 1＝1，直线AF 的方程是x ＝1，故|BF |＝|AF |＝2. 14．3x 2－y 2＝1解析 由题意可得e ＝ca＝2，则c ＝2a ，设其一焦点为F (c,0)，渐近线方程为bx ±ay ＝0， 那么d ＝bc b 2＋a 2＝bcc＝b ＝1， 而c 2＝4a 2＝a 2＋b 2， 解得a 2＝13，那么所求的双曲线方程为3x 2－y 2＝1. 15.32解析 因为直线l 过抛物线的焦点， 所以m ＝p2，由⎩⎪⎨⎪⎧x －y －p 2＝0，y 2＝2px得x 2－3px ＋p 24＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则x 1＋x 2＝3p ，故|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝4p ＝6， ∴p ＝32.16．x ＋2y －3＝0解析 方法一 易知此弦所在直线的斜率存在， 所以设其方程为y －1＝k (x －1)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．由⎩⎪⎨⎪⎧y －1＝k (x －1)，x 24＋y22＝1，消去y 得，(2k 2＋1)x 2－4k (k －1)x ＋2(k 2－2k －1)＝0， ∴x 1＋x 2＝4k (k －1)2k 2＋1， 又∵x 1＋x 2＝2，∴4k (k －1)2k 2＋1＝2， 解得k ＝－12.故此弦所在的直线方程为y －1＝－12(x －1)，即x ＋2y －3＝0.方法二 易知此弦所在直线的斜率存在，所以设斜率为k ，A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)，则x 214＋y 212＝1，①x 224＋y 222＝1，②①－②得(x 1＋x 2)(x 1－x 2)4＋(y 1＋y 2)(y 1－y 2)2＝0，∵x 1＋x 2＝2，y 1＋y 2＝2， ∴x 1－x 22＋y 1－y 2＝0，∴k ＝y 1－y 2x 1－x 2＝－12. ∴此弦所在的直线方程为y －1＝－12(x －1)，即x ＋2y －3＝0.17．解 设椭圆的方程为x 2a 21＋y 2b 21＝1，双曲线的方程为x 2a 22－y 2b 22＝1，半焦距c ＝13，由已知得：a 1－a 2＝4，c a 1∶c a 2＝3∶7，解得：a 1＝7，a 2＝3，所以：b 21＝36，b 22＝4，所以两条曲线的方程分别为： x 249＋y 236＝1，x 29－y 24＝1.18．解 设直线与抛物线的交点为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)．由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝2mx ，y ＝x －4，得x 2－2(4＋m )x ＋16＝0， 所以x 1＋x 2＝2(4＋m )，x 1x 2＝16， 所以弦长为(1＋k 2)(x 1－x 2)2＝2[4(4＋m )2－4×16] ＝22(m 2＋8m ).由22(m 2＋8m )＝62，解得m ＝1或m ＝－9. 经检验，m ＝1或m ＝－9均符合题意．所以所求抛物线的标准方程为y 2＝2x 或y 2＝－18x . 19．解 (1)因为c a ＝63，且c ＝2， 所以a ＝3，b ＝a 2－c 2＝1， 所以椭圆C 的方程为x 23＋y 2＝1.(2)由题意知P (0，t )(－1＜t ＜1)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝t ，x 23＋y 2＝1得x ＝±3(1－t 2)，所以圆P 的半径为3(1－t 2).当圆P 与x 轴相切时，|t |＝3(1－t 2)，解得t ＝±32， 所以点P 的坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫0，±32. 20．解 (1)设直线AB 为y ＝k (x －m )， 抛物线方程为y 2＝2px .由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －m )，y 2＝2px 消去x ，得ky 2－2py －2pkm ＝0. ∴y 1·y 2＝－2pm .又∵y 1·y 2＝－2m ，∴p ＝1， ∴抛物线方程为y 2＝2x . (2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则＝(x 1，y 1)，＝(x 2，y 2)． 则·＝x 1x 2＋y 1y 2＝y 21y 224＋y 1y 2＝m 2－2m .又·＝－1，∴m 2－2m ＝－1， 解得m ＝1.21．解 (1)直线l 过点M (0,1)，设其斜率为k ，则l 的方程为y ＝kx ＋1.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由题设可得点A 、B 的坐标是方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，①x 2＋y 24＝1②的解．将①代入②并化简得(4＋k 2)x 2＋2kx －3＝0，所以⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝－2k4＋k2，y 1＋y 2＝84＋k2.于是＝12(＋)＝⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22，y 1＋y 22＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－k 4＋k 2，44＋k 2，设点P 的坐标为(x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－k 4＋k 2，y ＝44＋k 2，消去参数k 得4x 2＋y 2－y ＝0，③当k 不存在时，A 、B 中点为坐标原点(0,0)，也满足方程③， 所以点P 的轨迹方程为4x 2＋y 2－y ＝0. (2)由点P 的轨迹方程知x 2≤116， 即－14≤x ≤14.所以||2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －122＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋y 2－y ＋14＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋14－4x 2＝－3⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋162＋712，故当x ＝14时，||取得最小值，最小值为14.当x ＝－16时，||取得最大值，最大值为216.22．解 (1)设椭圆C 的标准方程为x 2a 2＋y 2b2＝1 (a >b >0)，∵椭圆的一个顶点恰好在抛物线x 2＝8y 的准线y ＝－2上， ∴b ＝2， 又c a ＝32，a 2＝b 2＋c 2， ∴a ＝4，c ＝23，∴椭圆C 的标准方程为x 216＋y 24＝1.(2)为定值．理由如下：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，∵∠APQ ＝∠BPQ ，∴直线PA ，PB 的斜率互为相反数， 可设直线PA 的斜率为k ，则直线PB 的斜率为－k ， 直线PA 的方程为y －3＝k (x －2)， 联立⎩⎨⎧y －3＝k (x －2)，x 2＋4y 2＝16，消去y ，得(1＋4k 2)x 2＋8k (3－2k )x ＋4(3－2k )2－16＝0， ∴x 1＋2＝8k (2k －3)1＋4k2， 同理可得x 2＋2＝－8k (－2k －3)1＋4k 2＝8k (2k ＋3)1＋4k2， ∴x 1＋x 2＝16k 2－41＋4k2，x 1－x 2＝－163k1＋4k2， ∴k AB ＝y 1－y 2x 1－x 2＝k (x 1＋x 2)－4k x 1－x 2＝36，即直线AB 的斜率为定值36.。
2020-2021学年重庆市高一上学期期末联合检测(康德卷)数学试卷
绝密★启用前2020-2021学年重庆市高一上学期期末联合检测（康德卷）数学试题注意事项：1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2、请将答案正确填写在答题卡上一、单选题1．已知集合{}1,2,3,4,5,6U =，{}2,4,5A =，则UA（）A ．{}1,3B ．{}1,3,6C ．{}2,3,6D ．{}2,3,5答案：B思路：利用补集的定义可求得集合UA .集合{}1,2,3,4,5,6U =，{}2,4,5A =，因此，1,3,6UA .故选：B.2．675︒用弧度制表示为（） A ．114π B ．134π C ．154π D ．174π 答案：C思路：根据弧度制与角度制的关系求解即可. 因为180π︒=弧度， 所以156********4ππ︒=⨯=， 故选：C3．若α是第二象限角，角β的终边经过点(cos(),sin())2ππαα+-，则β为（）A ．第一象限角B ．第二象限角C ．第三象限角D ．第四象限角答案：D思路：由α是第二象限角及诱导公式判断cos(),sin()2ππαα+-的正负，从而判断β为第几象限角.由诱导公式：cos()=cos ,sin()=cos 2ππαααα+--，因为α是第二象限角，所以cos 0,cos 0,sin02παπαα，故β为第四象限角. 故选：D4．函数()xf x e x =+的零点所在的一个区间是（） A ．(2,1)-- B ．(1,0)- C ．(0,1) D ．(1,2)答案：B思路：由函数的单调性及零点存在性定理即可得解. 由题意，函数()xf x e x =+在R 上单调递增，且()2220f e --=-<，()1110f e --=-<，()0000f e =+>，所以函数的零点所在的一个区间是(1,0)-. 故选：B.5．函数()ln(21)f x x =-A ．[]0,1B ．1[0,)2C ．1,12⎛⎤⎥⎝⎦D ．1(,)2+∞答案：C思路：根据题目中使函数有意义的x 的值满足条件：2210x x x ->⎧⎨-⎩，解不等式即可得到结论．解：因为()ln(21)f x x =-，所以22100x x x ->⎧⎨-⎩，解得1201x x ⎧>⎪⎨⎪≤≤⎩，所以112x <，所以函数的定义域为1,12⎛⎤⎥⎝⎦故选：C6．已知8log 2a =，8sin 3b π=，0.14c =，则（） A ．a c b << B ．a b c << C ．b a c << D ．b c a <<答案：B思路：根据对数的性质可求a ，依据诱导公式可求b ，利用指数函数的性质可判断c 的大小，从而可得正确的选项.因为81log 32a ==，22sin 2sin 33b πππ⎛⎫=+== ⎪⎝⎭，0.10441c =>=，故c b a >>，故选：B.7．已知0a >，0b >，2ab =，则42a b +的最小值为（）A ．B ．4C ．D ．8答案：D思路：由于0a >，0b >且2ab =，则利用基本不等式可得428a b +=≥=≥，从而可得答案因为0a >，0b >且2ab =，所以428a b +=≥==≥，当且仅当2a b =时，即1a =，2b =时取等号. 故选：D.点评：关键点点睛：该题考查的是有关利用基本不等式求最值的问题，正确解题的关键是要明确等号成立的条件.8．已知函数()()22log 3,31,1x x f x x ax x ⎧+-<≤=⎨->⎩的值域为R ，则实数a 的取值范围是（）A ．(]1,0-B ．[]1,0-C ．()1,-+∞D ．[)1,-+∞答案：D思路：求出函数()f x 在(]3,1-上的值域，进而可知，存在()1,x ∈+∞，使得22x ax -≤，利用参变量分离法得出2a x x≥-，求出函数()g x x x 2=-在()1,+∞上的值域，由此可解出实数a 的取值范围.当31-<≤x 时，034x <+≤，则()()(]2log 3,2f x x =+∈-∞， 所以，函数()2f x x ax =-在区间()1,+∞上的值域包含()2,+∞，所以，存在()1,x ∈+∞，使得22x ax -≤，即2a x x≥-，而函数()g x x x2=-在区间()1,+∞上为增函数，()()11g x g ∴>=-，1a ∴≥-. 故选：D.点评：结论点睛：利用参变量分离法求解函数不等式恒（能）成立，可根据以下原则进行求解：（1）x D ∀∈，()()min m f x m f x ≤⇔≤； （2）x D ∀∈，()()max m f x m f x ≥⇔≥； （3）x D ∃∈，()()max m f x m f x ≤⇔≤； （4）x D ∃∈，()()min m f x m f x ≥⇔≥. 二、多选题9．下列命题是真命题的是（） A ．0a b +=是0ab <的充要条件B ．1a >，1b >是222a b +>的充分不必要条件C ．x ∀∈R ，221x x -≥-D ．0x ∃>，ln x e x < 答案：BC思路：根据不等式的性质及举反例可判断A ，B 选项，做差法可判断C ，利用函数图象判断D. 对于A ，当0ab 时，0ab <不成立，故错误；对于B ，当1a >，1b >时，221,1a b >>，故222a b +>成立，反之不成立，如2,0a b ==，故正确；对于C ，2221(1)0x x x -+=-≥，221x x ∴-≥-，故正确；对于D ，由指数函数xy e =图象与对数函数ln y x =图象，可知，选项错误.故选：BC10．下图是函数sin()y x ωϕ=+的部分图象，则sin()x ωϕ+=（）A ．sin(2)3x π+B ．5sin(2)6x π-C ．cos(2)6x π- D ．2cos()3x π+答案：AC思路：首先利用周期确定ω的值，然后确定ϕ的值即可确定函数的解析式，最后利用诱导公式可得正确结果. 由函数图像可知：7212122T πππ=-=，则222T ππωπ===，所以不选D,当712x π=时，1y =-，()7322122k k Z ππϕπ∴⨯+=+∈，解得：()23k k Z πϕπ=+∈，即函数的解析式为：sin 22sin 233y x k x πππ⎛⎫⎛⎫=++=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，而sin 5sin 23)62(x x ππ⎛+-≠⎫ ⎪⎝⎭，故A 正确B 错误； 而cos 2cos(2)sin(2)6323x x x ππππ⎛⎫-=+-=+ ⎪⎝⎭，故C 正确. 故选：AC点评：方法点睛：已知f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的部分图象求其解析式时，A 比较容易看图得出，困难的是求待定系数ω和φ，常用如下两种方法： (1)由ω＝2Tπ即可求出ω；确定φ时，若能求出离原点最近的右侧图象上升(或下降)的“零点”横坐标x 0，则令ωx 0＋φ＝0(或ωx 0＋φ＝π)，即可求出φ.(2)代入点的坐标，利用一些已知点(最高点、最低点或“零点”)坐标代入解析式，再结合图形解出ω和φ，若对A ，ω的符号或对φ的范围有要求，则可用诱导公式变换使其符合要求.11．已知函数22log,01 ()4,1x xf xx x⎧<<⎪=⎨-≥⎪⎩，则下列说法正确的是（）A．()f x为偶函数B．函数()f x有4个零点C．函数()f x在(0,)+∞上单调递增D．函数()()5y f f x=-有6个零点答案：AD思路：依题意根据函数解析式画出函数图象，数形结合即可判断；解：因为22log,01,()4,1x xf xx x⎧<<⎪=⎨-≥⎪⎩，函数图象如下所示：A.函数两段均为偶函数，所以整个函数也为偶函数.B.令()0f x=，解得2x=±.C.()f x在()1,2上单调递减.D.5()()f f x=，即()245f x-=，且()1f x≥，解得()3f x=±，则()3f x=，即243x-=，解得1x=±，或者7x=()3f x=-，即2log3x=-解得18=±x. 故选：AD12．已知0a b >>，下列不等关系一定正确的是（） A ．33a b > B ．11a b b a+>+ C ．32log log a b > D ．14141414a ba b++>-- 答案：ABD思路：利用函数3()f x x =的单调性判断A 选项；根据1()f x x x=-单调性判断B 选项；举反例确定C 选项正误；根据函数142()11441x x xh x +-==-+--的单调性判断D. A.令3()f x x =，则()f x 在(0,)+∞上单调递增，所以()()f a f b >，选项正确； B.令1()f x x x=-则()f x 在(0,)+∞上单调递增，所以1111a b b a b b a a->-⇒+>+，故选项正确； C.反例：3a =，2b =，可知选项错误；D.令142()11441x x xh x +-==-+--，由复合函数性质可知，()h x 在(0,)+∞上单调递增，所以()()f a f b >，选项正确. 故选：ABD 三、填空题13．已知函数21()(3)m f x m x -=-是幂函数，则实数m =___________.答案：2±思路：根据幂函数的定义求解即可. 因为21()(3)m f x m x -=-是幂函数，所以231m -=， 解得2m =±， 故答案为：2±14．tan 40tan 203tan 40tan 20++=___________.思路：由两角和的正切公式可得()tan 40tan 2031tan 40tan 20+=-，代入所求代数式化简可得结果.()tan 40tan 20tan40201tan40tan20+=+=-化简可得)1tan40tan203tan40tan203 tan40tan2040tan20︒︒︒︒++=-=.15．已知关于x的不等式220ax bx++>的解集为{}|12x x-<<，则关于x的不等式220x bx a++<的解集为___________.答案：1(1,)2-思路：依题意1-和2为方程220ax bx++=的两根，利用韦达定理得到方程即可求出a和b的值，再代入解一元二次不等式即可；解：因为关于x的不等式220ax bx++>的解集为{}|12x x-<<所以1-和2为方程220ax bx++=的两根，由韦达定理可得12212baa⎧-+=-⎪⎪⎨⎪-⨯=⎪⎩，解得11ab=-⎧⎨=⎩，所以原不等式为2210x x+-<，即()()1210x x+-<，解得112x-<<.即不等式220x bx a++<的解集为11,2⎛⎫-⎪⎝⎭故答案为：11,2⎛⎫-⎪⎝⎭16．若函数()cos()(0)3f x xπωω=->的图象在(0,)π内有且只有两条对称轴，则ω的取值范围是___________.答案：47(,33]思路：求出函数图象的对称轴的一般形式，再根据其所在的范围可求ω的取值范围.令3x k πωπ-=，则3k x πωπ+=，其中k Z ∈.由题设可得：存在整数k Z∈，使得471033330k k k k πππππππππωωωω++++≤<<<≤，由4330k k ππππωω++≤<可得4133k -<≤-，结合k Z ∈可得1k =-，故71033πππππωω-+-+<≤即4733ω<≤. 故答案为：47(,33].点评：方法点睛：对于含参数的余弦型函数（正弦型函数），如果知道它在给定范围上的单调性或对称轴的条数、零点的个数等，一般是求出性质的一般形式，再把存在性问题转化为不等式的整数解问题，确定出整数的取值后可求参数的取值范围. 四、解答题17．求值：（1）21.532cos2401250.04︒-+- （2）53lg 2lg375lg5log 3+-⋅. 答案：（1）101-；（2）3.思路：（1）根据诱导公式、特殊角的三角函数，以及指数幂的运算法则计算可得； （2）根据换底公式及对数的运算法则计算即可； 解：（1）原式()()1.5223312cos 1805560-︒︒⎡⎤⎛⎫=+-⎢⎥ ⎪⎝⎢⎥⎣+⎭⎦321602cos 55-︒⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭12()251251012-=⨯+-=-. （2）原式3lg 3lg 2lg 375lg 5lg 5=+-⋅lg8lg375lg3lg10003=+-==.18．已知0a <，集合{}2|20A x x x =-->，{}22(25)50B x x a x a =|+++<. （1）求B ；（2）若A B 中有且仅有一个整数，求a 的取值范围.答案：（1）5(,)2a --；（2）30a -≤<.思路：（1）根据0a <判断根的大小，进而写出集合B; （2）要使AB 中有且仅有一个整数，利用数轴找到整数解为2-，并在数轴上确认a-应满足的条件.解：（1）原不等式分解为()()250x a x ++<， 因为0a <，所以52a ->-，则5(,)2B a =--. （2）易得(,1)(2,)A =-∞-⋃+∞，A B 中有且仅有一个整数，结合（1）中5(,)2B a =--且0a ->，此整数为2-，故只需3a -≤，即30a -≤<.19．已知函数()()()ln 1ln 1f x x x =++-. （1）判断()f x 的奇偶性； （2）设()()ef xg x x =+，求函数()g x 的值域答案：（1）偶函数；（2）(]51,4-. 思路：（1）根据函数的奇偶性定义判断； （2）根据二次函数的单调性求函数值域. （1）由题可得函数定义域为()1,1D =-，()()()()ln 1ln 1f x x x f x -=-++=，所以为偶函数.（2）2()ln(1)f x x =-，所以2()1g x x x =-+，对称轴为12x =， ()g x 在1(1,)2-上单调递增，在1(,1)2上单调递减，所以max 15()()24g x g ==， 又()11g -=-，()11g =，所以()g x 的值域为(]51,4-.20．已知函数21()cos sin 2f x x x x =+-.（1）求()f x 的单调递增区间；（2）若(,)123A ππ∈，1()3f A =，求5cos(2)6A π-的值.答案：（1）(,)()63k k k ππππ-++∈Z ；（2）6-.思路：（1）先把21()cos sin 2f x x x x =+-化为“一角一名一次”结构，利用“同增异减”讨论单调区间；（2）由1()3f A =，得到1sin(2)cos(2)6363A A ππ-=-=，，利用两角差公式求5cos(2)6A π-的值.解：（1）21cos 1()2sin(2)226x f x x x π-=+-=-， 令222262k x k πππππ-+<-<+， 解得,63k x k k Z ππππ-+<<+∈. 所以()f x 的单调增区间为(,)()63k k k ππππ-++∈Z .（2）1()sin(2)63f A A π=-=，令26A πθ=-，则02πθ<<，所以1sin 3θ=，cos 3θ=， 则5222cos(2)cos()cos cos sin sin 6333A πθπθπθπ-=-=+11()323=⨯-+⨯=. 点评：利用三角公式求三角函数值的关键：(1)角的范围的判断；(2)根据条件进行合理的拆角，如()()2()βαβαααβαβ=+-=++-，等． 21．已知某船舶每小时航行所需费用u(单位：元)与航行速度v(单位：公里/小时)的函数关系为2,010()450,10kv b v u v av v +<<⎧=⎨+≥⎩，(其中a ，b ，k 为常数)，函数()u v 的部分图象如图所示.（1）求()u v 的解析式；（2）若该船舶需匀速航行20公里，问船舶的航行速度v 为多少时，航行所需费用最小？答案：（1）233320,010()4502,10v v u v v v +<<⎧=⎨+≥⎩；（2）15v =时，航行所需费用最小. 思路：（1）将(0,320),(10,650)代入()u v kv b =+，求出,k b 的值，再把(10,650)代入2()450u v av =+中求出a 的值，可求得解析式， （2）由题意可得所需费用6400660,010900040,10v v z ut v v v ⎧+<<⎪⎪==⎨⎪+≥⎪⎩，然后分010v <<和10v ≥两种情况求z 的最小值即可解：（1）由题意(0,320),(10,650)代入()u v kv b =+，得65010320k b b=⋅+⎧⎨=⎩，解得33320k b =⎧⎨=⎩； 把(10,650)代入2()450u v av =+，得265045010a +⨯=，解得2a =.所以233320,010()4502,10v v u v v v +<<⎧=⎨+≥⎩， （2）时间20t v =，则所需费用6400660,010900040,10v v z ut v v v ⎧+<<⎪⎪==⎨⎪+≥⎪⎩①010v <<时，函数单调递减，所以min 6606401300z >+=；②10v ≥时：900024029000401200z v v≥⨯=⨯=，此时15v =. 所以15v =时，航行所需费用最小.22．如图，在矩形OABC 中，22OA OC ==，将矩形OABC 绕着顶点O 逆时针旋转，得到矩形OA B C '''，记旋转的角度为θ，0,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭旋转前后两个矩形公共部分的面积为()S θ.（1）求3S π⎛⎫ ⎪⎝⎭； （2）若()28S θ=，求sin θ. 答案：（1）33S π⎛⎫= ⎪⎝⎭（2）1sin 3θ=. 思路：（1）作出图形，可知公共部分区域为直角三角形，计算出两直角边的长，由此可求得该直角三角形的面积；（2）分6πθ=、06πθ<<、62ππθ<<三种情况讨论，求出()S θ的表达式，结合()28S θ=可求得sin θ的值. （1）当3πθ=时，A '点在矩形OABC 外部，公共部分形状为三角形，设A O BC D '⋂=，则6COD π∠=，3tan 63CD CO π==， 则1133132236S CD CO π⎛⎫=⨯⨯=⨯⨯= ⎪⎝⎭；（2）①当6πθ=时，点A '在线段BC 上，此时，223A C A O OC ''=-=，113136222S OC A C π⎛⎫'=⨯=⨯⨯= ⎪⎝⎭； ②当06πθ<<时，公共部分为四边形，A '点在矩形OABC 内部，过点A '作线段AB 的平行线，分别交线段AO 、BC 于点E 、F ，设A B BC G ''⋂=，则有如下长度：2cos OE θ=，22cos AE θ=-，2sin A E θ'=，12sin A F θ'=-，()12sin tan FG θθ=-， 则()OEA A FG OABC AEFB S S S S S θ''=---△△矩形矩形，即()()()()111222cos 2cos 2sin 12sin 12sin tan 22S θθθθθθθ=⨯---⨯⨯-⨯-- ()2sin 12sin 45sin 2cos 2sin cos 2cos 2cos θθθθθθθθ--=--=， 由题知45sin 22cos 8θθ-=，两边同时平方得221640sin 25sin 494cos 32θθθ-+=， 由22cos 1sin θθ=-，整理得2249sin 320sin 790θθ-+=，即()()3sin 183sin 790θθ--=，因为06πθ<<，所以1sin 2θ<，故1sin 3θ=；③当62ππθ<<时，公共部分为三角形，且()11628S S πθ⎛⎫<=⨯=< ⎪⎝⎭，不合题意； 综上所述，1sin 3θ=. 点评：关键点点睛：解决本题第二问的关键就是找出θ的临界情况，然后对θ的取值进行分类讨论，确定公共区域的形状，计算求出()S θ的表达式，结合已知条件求解sin θ的值.。
2020-2021学年重庆市部分学校高一下学期期末联合检测数学试卷及答案
2020-2021学年重庆市部分学校高一下学期期末联合检测数学试题数学测试卷共4页.满分150分.考试时间120分钟. 注意事项：1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.3. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知向量()2,1a =-，()4,b m =-，//a b ，则实数m =（ ） A. -4 B. -2 C. 2 D. 42. 已知复数z 满足210z iz +=，则z =（ ）A. 2i +B. 2i -C. 42i +D. 42i -3. 正方体1111ABCD A BC D -的六个面的对角线中与直线1AC 垂直的有（ ） A. 0条B. 3条C. 6条D. 12条4. 甲、乙、丙三位同学在学校举办的建党100周年党史知识竞赛活动中获得优胜奖，颁奖时甲、乙、丙三位同学随机站成一排，则甲乙两人恰好相邻而站的概率为（ ） A.16B.13C.12D.235. 为迎接北京2022年冬奥会，推广冰上运动，某班体育老师调查了全班同学对冰上运动项目的了解程度，调查结果分为三个等级：“不了解”“基本了解”和“非常了解”，其中等级为“基本了解”的人数比等级为“不了解”的人数多8人.接下来，该体育老师采用分层抽样的方法从全班同学中抽取部分同学参加冰壶运动的体验活动，参加体验活动的同学中对冰上运动项目“不了解”的有1人，“基本了解”的有3人，“非常了解”的有6人，那么该班全体同学中对冰上运动项目“非常了解”的人数为（ ） A. 10人B. 12人C. 18人D. 24人6. 已知运动员甲每次射击击中目标的概率为12，运动员乙每次射击击中目标的概率为13，若两人各射击一次，且两人是否击中目标相互独立，则恰有一人击中目标的概率是（ ） A.16B.13 C.12D.237. 已知四面体P ABC -中，PA ⊥平面ABC ，2PA AB ==，BC =，且3tan 2ABC ∠=，则四面体P ABC -的外接球的表面积为（ ） A. 15πB. 17πC. 18πD. 20π8. 在四边形ABCD 中，//AB CD ，120BAD ∠=︒，4AB =，2AD =，3CD =，E ，F 分别为BC ，CD 的中点，则FE AC ⋅=（ ） A. 92-B. -3C.52D.72二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9. 下列说法正确的是（ ）A. 有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形的几何体一定是棱柱B. 棱锥的侧面一定都是三角形C. 棱台各侧棱所在直线必交于一点D. 有两个面为矩形且相互平行，其余四个面均为等腰梯形的几何体一定是四棱台 10. 关于平面非零向量a ，b ，c ，下列说法错误的是（ ） A. 若0a b ⋅>，则a 与b 的夹角为锐角 B. 若()()a b c a b c ⋅⋅=⋅⋅，则//a c C. 若a b a c +>+，则b c >D. 若230a b c ++=，则()()//a c b c ++11. 已知非零复数1z ，2z 满足12z z R ∈，则（ ） A. 12z z =B. 12z z R ⋅∈C.12z R z ∈ D. 12z z R +∈12. 在长方体1111ABCD A BC D -中，2AB =，11AD AA ==，E 为棱AB 上的动点（不包含端点），则（ ）A. 四面体1E DCD -的体积恒为13B. 直线1D E 与平面11BCC B 所成角一定小于3πC. 存在点E 使得1//D E 平面11A BCD. 存在点E 使得11D E DB ⊥三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13. 某工厂对一批产品的净重（单位：克）进行抽样调查得到样本数据：230，235，237，238，238，239，240，242，244，246，据此估计这批产品的第80百分位数为___________.14. 已知ABC △的面积为3，且6AB BC ⋅=，则B =__________.15. 如图，'''O A B △是OAB △在斜二测画法下的直观图，其中''''2O A O B ==，且''''O A O B ⊥，则OAB △的面积为___________.16. 在等边三角形ABC 中，2AD DB =，2DE EC =，P 为线段AE 上一点，且BP CA CD λ=+，则实数λ的值为___________.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. 已知2a =，3b =，()()2219a b a b +⋅-=-. （1）求向量a 与b 的夹角； （2）求2a b +.18. 某课外活动小组有三项不同的任务需要完成，已知每项任务均只分配给组员甲和组员乙中的一人，且每项任务的分配相互独立，根据两人的学习经历和个人能力知，这三项任务分配给组员甲的概率分别为12，13，34. （1）求组员甲至少分配到一项任务的概率；（2）设甲、乙两人分配到的任务数分别为x 项和y 项，求()P x y >.19. 在ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，222222tan a b c B a c b--=+-. （1）求A ；（2）若34a =__________，求ABC △的周长.在①ABC △的面积为3，②417cos 17B =答.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.20. 在正方体1111ABCD A BC D -中，M ，N ，P 分别为11A D ，DC ，1CC 的中点.（1）求证：1//AC 平面DPB ； （2）求证：MN ⊥平面DPB .21. 如图，正四棱锥P ABCD -中，2AB PA ==，E 是棱AP 上靠近点P 的三等分点，F 是棱PC 的中点.（1）求异面直线BF 与PD 所成角的余弦值； （2）求四面体P EBF -的体积.22. 自疫情爆发以来，由于党和国家对抗疫工作的高度重视，在人民群众的不懈努力下，我国抗疫工作取得阶段性成功，国家经济很快得到复苏.在餐饮业恢复营业后，某快餐店统计了近100天内每日接待的顾客人数，将前50天的数据进行整理得到频率分布表和频率分布直方图如下. 组别 分组频数 频率 第1组 [)20,30 40.08 第2组 [)30,40a第3组 [)40,50 20 b第4组 [)50,600.32 第5组 [)60,704 0.08 合计501.00（1）求a ，b ，c 的值，并估计该快餐店在前50天内每日接待的顾客人数的平均数；（2）已知该快餐店在前50天内每日接待的顾客人数的方差为104，在后50天内每日接待的顾客人数的平均数为51、方差为100，估计这家快餐店这100天内每日接待的顾客人数的平均数和方差.重庆市部分学校2021年春高一（下）期末联合检测试卷 数学参考答案一、选择题 1-5：CDCDD6-8：CBD第8题提示：以A 为原点建立如图所示的坐标系， 则()2,3C ，()4,0B ，()1,3D -，33,2E ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，1,32F ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 53,22FE ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，()2,3AC =，72FE AC ⋅=，故D 正确.二、选择题9. BC 10. AC 11. BC 12. AB第9题提示：如左图，将两个平行六面体合在一起，可知A 错误；如右图，该几何体的上下底面是两个全等的矩形，两矩形平行，且上面矩形的长与下面矩形的宽对应平行，则四个侧面均为等腰梯形，但四条侧棱并不交于同一点，故D 错误.第10题提示：当a ，b 同向时，夹角为0，但0a b ⋅>，故A 错误；当0a b ⋅≠时，0b c ⋅≠，()//a b c c ⋅⋅，()//a b c a ⋅⋅，故//a c ，当0a b ⋅=时，0b c ⋅=，则a b ⊥，c b ⊥，故//a c ，故B 正确；若b a =，c a =-，则a b a c +>+，但b c =，故C 错误；由230a b c ++=可知()2a c b c +=-+，故()()//a c b c ++，即D 正确.第11题提示：取12z z i ==，则121z z R =-∈，但12z z ≠，122z z i R +=∉，故A 、D 均不正确； 设1z a bi =+，2z c di =+，则12()z z ac bd ad bc i =-++，由题知0ad bc +=， 故12()()()z z a bi c di ac bd ad bc i ac bd R ⋅=-⋅-=--+=-∈，故B 正确；112222z z z R z z =∈，故C 正确. 第12题提示：由//AB 平面1DCD 知，点E 到平面1DD C 的距离即为 直线AB 到平面1DD C 的距离AD ， 故111133E DD C DD C V S AD -=⋅=△，A 正确； ∵平面11//BCC B 平面11ADD A ，∴1D E 与平面11BCC B 所成角即为1D E 与平面11ADD A 所成角1ED A ∠，1tan 2)2ED A ∠=，∴13ED A π∠<，B 正确；∵1//D A BC ，∴1//D A 平面11A BC ，若1//D E 平面11A BC ，则平面1//D AE 平面11A BC ，则//AB 平面11A BC ，显然矛盾，故C 错误； ∵11D A A D ⊥，111D A A B ⊥，∴1D A ⊥平面11A B D ，∴11D A DB ⊥，若11D E DB ⊥，则1DB ⊥平面1D AE ，则1DB AB ⊥，即1DB DC ⊥，显然矛盾，故D 错误.三、填空题 13. 243 14.34π 15. 42 16. 43- 第15题提示：过'B 分别作'y ，'x 轴的平行线，且交'x ，'y 轴于点M ，N ， ∴'22O N =，'2O M =，∴在原坐标系xOy 中，点()2,42B -， 点()2,0A ，∴42OAB S =△.第16题提示：以A 为原点建立如图所示坐标系， 不妨设()6,0B ，由题知()4,0D ，(3,33C ，10,233E ⎛⎝， 由P 在AE 上，设33P m ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，33BP m ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭， (3,33CA =--，(1,33CD =-，∵BP CA CD λ=+，∴63m λ-=-，3333(1)5m λ=-+， 解得43λ=-.四、解答题17. 解：（1）由题知2223219a a b b -⋅-=-，2223cos 219a a b b θ-⋅-=-， 即818cos 1819θ--=-，1cos 2θ=，3πθ=； （2）222222444cos 4523a b a a b b a a b b π+=+⋅+=+⋅+=，∴252213a b +==.18. 解：（1）记事件A 为甲一项任务都没有被分配，则1131()11123412P A ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-⋅-⋅-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， ∴组员甲至少分配到一项任务的概率为111()12P A -=； （2）满足x y >即3x =，0y =或2x =，1y =，三项任务的具体分配对象依次为：甲甲甲，甲甲乙，甲乙甲，乙甲甲，故所求概率11311112311313()23423423423424P x y >=⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅=. 19. 解：（1）由余弦定理2222cos b c a bc A +-=，2222cos a c b ac B +-=，∴2cos tan 2cos bc AB ac B-=，sin cos 0a B b A +=，故sin sin sin cos 0A B B A +=，∴tan 1A =-，34A π=；（2）由余弦定理222342a b c bc ==+（*） 若选①，1sin 32S bc A ==，62bc =*）式得2222b c +=， ∴222322b c b c bc +=++=，∴周长为23234+若选②，17sin B =sin sin b a B A =得2b =， 代入（*）式得32c =23234+20. 解：（1）设ACBD O =，则AC 中点为O ，∴1//OP AC ，又OP ⊆平面DPB ，∴1//AC 平面DPB ；（2）连接1D N ，在正方形11DCC D 中，∵N ，P 为DC ，1CC 中点. ∴1D N DP ⊥，又1MD ⊥平面11DCC D ，∴1MD DP ⊥， ∴DP ⊥平面1MD N ，∴DP MN ⊥，过M 作1MM AD ⊥于1M ，连接1M N ，则1MM ⊥平面ABCD ， 且1M 为AD 中点，∴1MM DB ⊥，1M N DB ⊥， ∴DB ⊥平面1MM N ，∴DB MN ⊥，∴MN ⊥平面DPB .21. 解：（1）取DC 中点M ，连接MF ，BM ，则//MF PD ， 故异面直线BF 与PD 所成角为MFB ∠或其补角，在MFB △中，1MF =，5MB PCB △中，3BF =∴2223cos 2623MF FB MB MFB MF FB +-∠===-⋅， ∴异面直线BF 与PD 3（2）连接AC ，取AC 中点O ，连接PO ，则PO ⊥底面ABCD ，∵222PA PO OA =+，∴2PO =14233P ABCD ABCD V S PO -=⋅=， 由题知11111sin sin 22326PEF PAC S PE PF APC PA PC APC S =⋅∠=⋅⋅∠=△△， ∴1126129B PEF B PAC P ABCD V V V ---===.22. 解：（1）由表可知第4组的频数为500.3216⨯=，∴504201646a =----=，200.4050b ==， 第2组的频率为60.1250=，0.120.01210c ==， 前50天内每日接待的顾客人数的平均数为：250.08350.12450.40550.32650.0847⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=；（2）设前50天接待的顾客人数分别为1x ，2x ，…，50x ，后50天接待的顾客人数分别为1y ，2y ，…，50y ，则由（1）知前50天的平均数47x =，方差2104x s =，后50天的平均数51y =，方差2100y s =，故这100天的平均数为4750515049100⨯+⨯=，()()50502222215011112505050xi i i i s x x x x x x x x ==⎡⎤⎡⎤=-++-=-+⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦∑∑505022221111250505050i i i i x x x x x x ==⎡⎤=-⋅+=-⎢⎥⎣⎦∑∑， 同理502221150y i i s y y ==-∑，这100天的方差25050505022211111100100i i i i i i i i x y s x y ====⎛⎫+ ⎪⎛⎫ ⎪=+- ⎪⎪⎝⎭ ⎪⎝⎭∑∑∑∑， 结合三式可得()2222221505050505050100100x y x y s s x s y ⎛⎫+=+++- ⎪⎝⎭()222222221111()1()1062222424x y x y x y x y s x s y s s +-=+++-=++=.。
重庆市2020-2021学年下学期七校联考高一期末考试数学试题(含答题卡+答案)
A. B.C. D.8.有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4,5，6，从中有放回的随机抽取两次，每次取一个球，甲表事2”，丙表示事件“两次取出的7”，则()C.乙与丙相互独立D.丙与丁相互独立20分．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0()”互为对立事件”为互斥事件”为互斥事件”互为对立事件△ABC为等腰三角形△ABC为等腰三角形sin sinA C+，则△ABC为正三角形CC1的中点，则下列说法正确的是（）),下列说法正确的是（）()2222,24z i x y−=+−=若则C.若zi≠为纯虚数，则x0,y=0 D. z≥三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)高2023级高一下期期末数学试题第 1 页共 2 页高2023级高一下期期末 数学试题 第 2 页 共 2 页20.（改编）（本小题满分12分）我校近几年加大了对学生奥赛的培训，为了选择培训的对象，今年5月我校进行一次化学竞赛，从参加竞赛的同学中，选取50名同学将其成绩（百分制，均为整数）分3组[)60,70，第4组[)70,80，第5组[)80,90，第6组[]90,100，90分时为优秀等级，若从第52人中至少1人成绩优秀的概率. ABCD 中，60A ∠=°，2AD =，4AB =，将ABD ∆2．图2 M BD C −−的大小为45°？若存在，指出点M 的位置；若不中，角C B A ,,所对的边分别为c b a ,,，若.2π，（1）当4π=∠BAD 时，求ABC ∆面积的最小值；（2） 若ABC ∆的面积不小于32，求BAD ∠的取值范围.（本小题12分）解：5分，共高2023级高一下期七校联考数学 一．选择题（60分）二．填空题（20分）13.1255i -; 14.40; 15.25π ; 16. 2。
三．解答题（70分）17.(10分)【详解】（1）5,2a b ==，()()22222223.223.cos 25030cos 827a b a b aa b b a a b bθθ-⋅+=--=--=--=， （4分）∴1cos 2θ=，∴60θ=，∴向量a 与b 的夹角60θ. （5分）（2）1993199304225693222=-∴=-+=⋅-+=-→→→→→→→→b a b a b a b a. （10分） 18.（12分）【详解】（1）因为()()sin sin c B C A a A B +-=+由正弦定理得()()sin sin 2sin sin sin sin C A A C C A ππ-=-=， （2分） 因为sin 0C ≠，所以()sin 2sin A A π-=，（3分） 即sin 22sin cos sin A A A A ==.因为sin 0A ≠，所以1cos 2A =， （5分） 因为0A π<<，所以3A π=. （6分）（2）由1sin 2ABC S bc A ∆==8bc =. （8分） 因为sin 2sin B C =，所以2b c =，解得4,2b c == （10分）由余弦定理得2222cos 12b c bc a A =+-=，a =6+ （12分）19.（12分）【详解】（1）取PA 的中点M ，连接,HM MB ， （2分） 因为H 为PD 的中点，且M 为PA 的中点， 则12HM AD =且//HM AD ，12BD AD =且//BD AD ， 所以//HM BD 且HM BD =，所以四边形DHMB 为平行四边形， （4分） 所以//EH BM ，又由EH ⊄平面,PAB BM ⊂平面PAB ，所以//EH 平面PAB . （6分） 由（1）3h 3222133421h =∴⨯⨯⨯=⨯⨯⨯=--ABEP PABE V V法2：3,=⊥∴⊥=⊥∴⊥EF PAB EF F AB AB EF E AB ABCD PAB ABCD PAB ABCD PA 平面于点交点做过平面平面平面平面平面故E 点到平面PAB 的距离为3。
重庆市北碚区西南大学附中2023-2024学年高一上学期11月阶段检测数学试题
A．函数
y
=
x
+
4 x
(x
>
0)
是“严格下凸函数”；
B．指数函数 f (x) = ax (a > 0 且 a ¹ 1 ) 为“严格下凸函数”的充要条件是 a > 1 ；
C．函数
f
(x)
=
x2
+
k x
(x
>
0)
为“严格下凸函数”的充要条件是 k
³
0
；
D．函数
f
(x)
=
x3
-
3 x
+1(x Î
(0,1))
试卷第21 页，共33 页
C．函数 f ( x) = 2x + m 的图象不过第四象限，则 m 的取值范围是 (-1, +¥)
D．函数
f
(x)
=
a 3x-1
（a
>
0
且a
¹ 1），
f
(1)
=
1 9
，则
f
(x)
的单调递减区间是
é êë
1 3
,
+¥
ö ø÷
11．已知函数
f
(x)
=
m
+
2x+1 是奇函数，下列选项正确的是（ 2x +1
）
A． m = -1
( ) B． "x1, x2 Î R ，且 x1 ¹ x2 ，恒有 ( x1 - x2 ) f ( x1) - f ( x2 ) > 0
C．函数
f
(x)
在 [-2,1)
上的值域为
æ çè
-
2020-2021重庆北碚区数学水平测试试卷(含答案)下载
2020-2021重庆北碚区数学水平测试试卷（含答案）下载第Ⅰ卷选择题（共30分）一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）1．-2的相反数是（）A．2 B．1/2 C．-1/2 D．-22．解方程5x-3=2x+2，移项正确的是（）A．5x-2x=3+2 B．5x+2x=3+2C．5x-2x=2-3 D．5x+2x=2-33．解方程移项正确的是（）A． B． C． D．4、在数轴上，与表示数－1的点的距离是2的点表示的数是（）A．1 B. 3 C. ±2 D. 1或－35．① x－2＝y；② 0.3x =1；③x2－4x=3；④ 5x= 5x －１；⑤x=6；⑥x+2y=0.其中一元一次方程的个数是（）A．2 B．3 C．4 D．56．一个两位数的两个数字之和为7，则符合条件的两位数的个数是……………( ) A．8 B．7 C．6 D．57．已知2是关于x的方程3x+a=0的解．那么a的值是( )A．-6 B．-3 C．-4 D．-58．在快速计算法中，法国的“小九九”从“一一得一”到“五五二十五”和我国的“小九九”算法是完全一样的，而后面“六到九”的运算就改用手势了．如计算时，左手伸出根手指，右手伸出根手指，两只手伸出手指数的和为，未伸出手指数的积为，则．那么在计算时，左、右手伸出的手指数应该分别为（ ）A ．2 、3B ． 2 、 1C ． 3 、2D . 1 、29、一个数的绝对值是1/9，则这个数可以是（ ） A.1/3 B.1/9 C.1/9或者-1/9 D.-1/910、小宇同学在一次手工制作活动中，先把一张矩形纸片按图1的方式进行折叠，使折痕的左侧部分比右侧部分短1cm ，展开后按图2的方式再折叠一次，使第二次折痕的左侧部分比右侧部分长1cm ，，再展开后，在纸上形成的两条折痕之间的距离是（ ）A 、0.5cmB 、1cm C第Ⅱ卷 非选择题（共90分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分）11. -1/7的相反数是_______；-8/9的倒数是 .12、如果a 与1互为相反数，则︱a+2︱= .13.甲乙丙三地的海拔高度分别为20米, －15米, －10米,那么最高的地方比最低的地方高 （ ）A ．5米B ．10米C ．25米D ．35米14．在下表中，我们把第i 行第j 列的数记为a i ，j （其中i ，j 都是不大于5的正整数），对于表中的每个数a i ，j ，规定如下：当i ≥j 时，a i ，j =1；当i ＜j 时，a i ，j =0．例如：当i =2，j =1时，a i ，j =a 2，1=1．则a 1，1•a i ，1+a 1，2•a i ，2+a 1，3•a i ，3+a 1，4•a i ，4+a 1，5•a i ，5= ．15．汽车开始行驶时，油箱内有油 50 升，如果每小时耗油 6 升，则油箱内剩余油量 Q （升）与行驶 时间 t （小时）的函数关系为，其中常量为 ，变量为 ．第一次折叠 第一次折叠 图 1 图 2( 第 1题图 )三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）16.计算：（1）13+5×（-2）-（-4）÷（-8）（2）75.0431218522-52+⎪⎭⎫⎝⎛-⨯-⎪⎭⎫⎝⎛÷（3）()()3216183437513-÷⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⨯⎪⎭⎫⎝⎛-+-（4）332475521212211324.032⎪⎭⎫⎝⎛-⨯⎪⎭⎫⎝⎛-+⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫⎝⎛⨯⎪⎭⎫⎝⎛-÷+--17．化简①x2+5y－4x2－3y－1 ②－(2a－3b)－(4a－5b)18.如图，所有小正方形的边长都为1，A、B、C都在格点上．（1）过点C画直线AB的平行线（不写画法，下同）；（2）过点A画直线BC的垂线，并注明垂足．．为G；过点A画直线AB的垂线，交BC于点H．（3）线段的长度是点A到直线BC的距离；（4）线段AG、AH的大小．．关系为AG AH．(填写下列符号>,<,之一)19．小强买了张50元的乘车IC卡，如果他乘车的次数用m表示，则记录他每次乘车后的余额n（元）如下表：次数m 余额n（元）1 50﹣0.82 50﹣1.63 50﹣2.44 50﹣3.2……（1）写出乘车的次数m表示余额n的关系式．（2）利用上述关系式计算小强乘了13次车还剩下多少元？（3）小强最多能乘几次车？20．某工厂一周计划每日生产自行车100辆，由于工人实行轮休，每日上班人数不一定相等，实际每日生产量与计划量相比情况如下表（以计划量为标准，增加的车辆数记为正数，减少的车辆数记为负数）：星期一二三四五六日增减/辆﹣1 +3 ﹣2 +4 +7 ﹣5 ﹣10（1）生产量最多的一天比生产量最少的一天多生产多少辆？（2）本周总的生产量是多少辆？21．学校会议室采用大小相同的长方形木块镶嵌地面，第一次铺2块，如图1，第二次把第一次铺的部分完全围起来，如图2，第三次把第二次铺的部分完全围起来，如图3……依次类推．如果把从开始到第n次铺完后总共用的木块数记作a n，把第n次镶嵌时用来围铺前一次木块所用的木块（即周围一圈的木块）数记作b n．则(1) a3 = ___________；b3 =____________；(2) b n = ________________________(用含n的代数式表示)(3) a99 + b100 = _______________．图1 图2 图322、（12分）水是生命之源泉，是人体需要的第一营养素，具有极为重要的生理功能。
2020-2021学年重庆市某校高一(上)11月月考数学试卷
2020-2021学年重庆市某校高一（上）11月月考数学试卷一、选择题1. 已知集合M={−1,0,1, 2, 3, 4}，N={−2, 2}，则下列结论成立的是( )A.N⊆MB.M∪N=MC.M∩N=ND.M∩N={2}2. 已知命题：若x>3，则x>m是真命题，则实数m的取值范围是( )A.m≤3B.m≥3C.m<3D.m>33. 集合M={(x,y)|(x+3)2+(y−1)2=0}，N={−3,1}，则M与N的关系是( )A.M=NB.M⊆NC.M⊇ND.M，N无公共元素4. 已知命题p：某班所有的男生都爱踢足球，则命题¬p为（）A.某班至多有一个男生爱踢足球B.某班至少有一个男生不爱踢足球C.某班所有的男生都不爱踢足球D.某班所有的女生都爱踢足球5. 设集合A={1,a2,−2}，B={2,4}，则“a=2”是“A∩B={4}”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件6. 已知正实数a，b满足1a +1b=1，则ab的最小值为( )A.1B.√2C.2D.47. 已知全集U=R，集合A={x|x<3或x≥7}，B={x|x<a}．若(∁U A)∩B≠⌀，则实数a的取值范围为( )A.{a|a>3}B.{a|a<3}C.{a|a<7}D.{a|a>7}8. 已知集合A={a,b,c}，集合B={d,e}，其中a，b，c，d，e∈R，对应关系f：对于集合A中任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，则满足条件的函数f共有( ) A.6个 B.7个 C.8个 D.9个二、多选题若a>b，x>y，则下列不等式错误的是( )A.a+x>b+yB.a−x>b−yC.ax>byD.xa>yb下列各组函数中不是同一函数的是( )A.y=x−1和y=x2x−1B.y=x0和y=1(x∈R)C.y=(√x)2和y=√x2D.f(x)=x2−x，x∈R和g(m)=m2−m，m∈R关于函数f(x)=x+2x−6，以下说法正确的是（）A.点(10,3)在函数f(x)图象上B.函数f(x)的图象与x轴没有交点C.函数f(x)的有最小−13D.函数f(x)的值域为{y|y≠1}有关集合的性质，其中正确的有( )A.∁U(A∩B)=(∁U A)∪(∁U B)B.∁U(A∪B)=(∁U A)∩(∁U B)C.A∪(∁U A)=UD.A∩(∁U A)=⌀三、填空题设a，b∈R，P={1,a}，Q={−1,−b}，若P=Q，，则a2+b2=________.已知函数f(x)=√4−xx−1+x0，则函数f(x)的定义域为________．（用区间表示）若−π2≤α≤π2，−π2≤β≤π2，则α−β的取值范围为________.设函数y=x+ax(a>0)．(1)当a =2时，y 在区间(0,+∞)上的最小值为________；(2)若该函数在区间(2,+∞)上存在最小值，则满足条件的一个a 的值为________. 四、解答题解答.(1)比较x 2+y 2+3与2x −2y 的大小；(2)已知b 克糖水中含有a 克糖(b >a >0)，再添加m 克糖(m >0)（假设全部溶解），糖水变甜了，请将这一事实表示为一个不等式，并证明这个不等式成立．已知集合P ={x|a +1≤x ≤2a +1}，Q ={x|x 2−3x ≤10}. (1)若a =3，求P ∩Q ;(2)若P ⊆Q 且a ≥0，求实数a 的取值范围．已知函数f (x )=x 2+ax +b 满足f (−1)=0，f (2)=0. (1)求函数f (x )的解析式，并作出图象；(2)若x ∈[−1,1]，求函数f (x )的值域．赵世炎烈士纪念馆坐落在龙潭古镇赵家庄子，是重庆市爱国主义教育基地．其内雕像满足头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是（√5−12，称为黄金分割比例），此外头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是√5−12.(1)若某人满足上述两个黄金比例，且头顶至咽喉的长度为26cm ，试估计该人身高（√5−12≈√5−1≈1.618，答案仅保留整数部分）；(2)现欲布置一简易栅栏，将底座附近面积约9m 2的区域包围起来，如图所示，请问如何设计长宽才能使得用料最省？并求出最少用料为多少？已知函数y =x 2+x+3x+1的部分草图如图所示．(1)若x >0，函数的最小值为m ，根据以上事实，写出含有量词的全称量词命题或存在量词命题；(2)若x >0，求函数的值域（用区间表示）．已知函数y =x 2ax+b（a ，b 为常数），且方程y −x +12=0的两个实根为x 1=3，x 2=4．(1)求a ，b 的值；(2)设k >1，解关于x 的不等式y <(k+1)x−k 2−x．参考答案与试题解析2020-2021学年重庆市某校高一（上）11月月考数学试卷一、选择题1.【答案】D【考点】交集及其运算并集及其运算集合的包含关系判断及应用【解析】由M={1, 2, 3, 4}，N={−2, 2}，则可知，−2∈N，但是−2∉M，则N⊄M，M∪N={1, 2, 3, 4, −2}≠M，M∩N={2}≠N，从而可判断．【解答】解：A，由M={−1,0,1, 2, 3, 4}，N={−2, 2}，可知，−2∈N，但是−2∉M，则N⊄M，故A错误；B，M∪N={−1,0,1, 2, 3, 4, −2}≠M，故B错误；C，M∩N={2}≠N，故C错误；D，M∩N={2}，故D正确．故选D.2.【答案】A【考点】命题的真假判断与应用集合关系中的参数取值问题【解析】由题意可得：{x|x>3}⊆{x|x>m}，利用集合之间的包含关系求解即可.【解答】解：由题意可得：{x|x>3}⊆{x|x>m}，∴m≤3.故选A.3.【答案】D【考点】集合的包含关系判断及应用【解析】由集合M={(x,y)|(x+3)2+(y−1)2=0}是点集，集合N={−3,1}为数集，可得两集合无公共元素，即可得到答案.【解答】解：∵集合M={(x,y)|(x+3)2+(y−1)2=0}={(−3,1)}是点集，集合N={−3,1}为数集，∴M与N无公共元素.故选D.4.【答案】B【考点】命题的否定【解析】命题“某班所有男生都爱踢足球”是一个全称命题，它的否定是一个特称命题，书写其否定时不光要否定结论还要改变量词，由此规律易得其否定．【解答】解：命题“某班所有男生都爱踢足球”是一个全称命题，它的否定是一个特称命题，所以命题¬p为”某班至少有一个男生不爱踢足球”.故选B.5.【答案】A【考点】交集及其运算必要条件、充分条件与充要条件的判断【解析】先求出满足A∩B={4}成立的a的值，再利用充分必要条件进行判定即可得到答案.【解答】解：若A∩B={4}，则a2=4，解得a=2或a=−2，经验证，a=2或a=−2都满足题意.∵当a=2时，A∩B={4}成立；反之则不一定成立，∴ “a=2”是“A∩B={4}”的充分不必要条件.故选A.6.【答案】D【考点】基本不等式在最值问题中的应用【解析】直接利用基本不等式得到1a+1b=1≥2√1ab，求解即可.【解答】解：∵a>0，b>0，∴1a+1b=1≥2√1ab，当且仅当a=b时等号成立，∴ab≥4，∴ab的最小值为4.故选D.7.【答案】A【考点】交、并、补集的混合运算集合关系中的参数取值问题【解析】先求出集合A的补集，利用(∁U A)∩B≠⌀，结合数轴即可得到答案. 【解答】解：∵集合A={x|x<3或x≥7}，∴∁U A={x|3≤x<7}.又∵B={x|x<a}，且(∁U A)∩B≠⌀，∴a>3.故选A.8.【答案】C【考点】函数的概念函数的对应法则【解析】本题主要是考查映射，只能由A到B多对1，不能一对多.【解答】解：满足条件的“f”为：三对一：f(a)=f(b)=f(c)=d，f(a)=f(b)=f(c)=e，二对一：f(a)=f(b)=d,f(c)=ef(a)=f(c)=d，f(b)=e，f(b)=f(c)=d，f(a)=e，f(a)=f(b)=e，f(c)=d，f(a)=f(c)=e，f(b)=d，f(b)=f(c)=e，f(a)=d．∴对应关系f:A→B共有8个．故选C.二、多选题【答案】B,C,D【考点】不等式比较两数大小不等式的基本性质【解析】通过不等式的性质结合取特殊值找出不等式不成立的反例从而进行求解即可.【解答】解：a>b，x>y，A，根据不等式同向相加性质可得a+x>b+y，故A正确；B，令a=1，b=0，x=5，y=1，符合题目要求，但a−x<b−y，故B错误；C，令a=2，b=−3，x=1，y=−5，符合题目要求，但ax<by，故C错误；D，令a=1，b=−1，x=1，y=−5，符合题目要求，但xa<yb，故D错误.故选BCD.【答案】A,B,C【考点】判断两个函数是否为同一函数【解析】利用判定函数的定义域，法则是否相同，断定是否是同一函数.【解答】解：对于A，y=x−1，x∈R，y=x2x−1，{x|x≠0}，故函数的定义域不同，不是同一函数；对于B，y=x0，{x|x≠0}，y=1，x∈R，故函数的定义域不同，不是同一函数；对于C，y=(√x)2，{x|x≥0}，y=√x2，x∈R，故函数的定义域不同，不是同一函数；对于D，函数的定义域相同，对应关系相同，故是同一个函数.故选ABC.【答案】A,D【考点】函数的值域及其求法函数的图象【解析】此题暂无解析【解答】解：f(x)=x+2x−6=1+8x−6，将点(10,3)代入函数，可知函数成立，故A正确，当x =−2时，f(x)=0,所以函数f (x )的图象与x 轴有交点，故B 错误， 函数没有最小值，故C 错误，由化简后的f(x)可知，因为x ≠6,所以其值域为{y|y ≠1}，故D 正确. 故选AD . 【答案】 A,B,C,D 【考点】交、并、补集的混合运算 【解析】利用交、并、补集的定义判断即可得到结果． 【解答】解：∁U (A ∩B)=(∁U A)∪(∁U B)，正确； ∁U (A ∪B)=(∁U A)∩(∁U B)，正确； A ∪(∁U A)=U ，正确； A ∩(∁U A)=⌀，正确. 故选ABCD . 三、填空题【答案】 2【考点】 集合的相等 【解析】利用两集合相等，两集合的元素完全一样，求出a ，b ，代入即可得到答案. 【解答】解：∵ P ={1,a }，Q ={−1,−b }，P =Q ， ∴ a =−1，−b =1， ∴ b =−1，∴ a 2+b 2=(−1)2+(−1)2=2. 故答案为：2.【答案】(−∞,0)∪(0,1)∪(1,4] 【考点】函数的定义域及其求法 【解析】由题设需满足{4−x ≥0，x −1≠0，x ≠0，解得函数的定义域.【解答】解：由题意得f(x)需满足{4−x ≥0，x −1≠0，x ≠0，解得：x ≤4且x ≠1且x ≠0.故答案为：(−∞,0)∪(0,1)∪(1,4].【答案】 [−π,π] 【考点】不等式性质的应用 【解析】先求出−π2≤−β≤π2，结合−π2≤α≤π2，两不等式相加，即可得到答案.【解答】解：∵ −π2≤β≤π2， ∴ −π2≤−β≤π2.又∵ −π2≤α≤π2，∴ −π2−π2≤α−β≤π2+π2，即−π≤α−β≤π. 故答案为：[−π,π]. 【答案】 2√2 3【考点】基本不等式在最值问题中的应用 【解析】①当a =2时，利用基本不等式求得最小值．②利用基本不等式，研究函数的最小值，并根据基本不等式等号成立的条件，求得a 的取值范围． 略【解答】解：(1) 当a =2时，由基本不等式得x +2x ≥2√x ⋅2x =2√2，当且仅当x =2x ，即x =√2时等号成立，故最小值为2√2．故答案为：2√2.(2) 由基本不等式得x +ax ≥2√x ⋅ax =2√a ，当且仅当x =ax =√a 对等号成立，故√a >2，即a >4，则满足条件的一个a 的值为3.故答案为：3.四、解答题 【答案】解：(1)（x 2+y 2+3）−(2x −2y) =(x −1)2+(y +1)2+1, ∵ (x −1)2≥0,(y +1)2≥0, ∴ x 2+y 2+3>2x −2y . (2)不等式：ab <a+mb+m .a+m b+m−a b =m(b−a)b(b+m),∵ b >a >0,m >0, ∴m(b−a)b(b+m)>0,即ab <a+mb+m .【考点】不等式比较两数大小 【解析】 【解答】解：(1)（x 2+y 2+3）−(2x −2y) =(x −1)2+(y +1)2+1, ∵ (x −1)2≥0,(y +1)2≥0, ∴ x 2+y 2+3>2x −2y . (2)不等式：ab<a+m b+m.a+m b+m−a b=m(b−a)b(b+m),∵ b >a >0,m >0, ∴ m(b−a)b(b+m)>0, 即ab <a+m b+m .【答案】解：(1)a =3，P ={x|4≤x ≤7}. ∵ Q ={x|−2≤x ≤5}， ∴ P ∩Q ={x|4≤x ≤5}. (2)∵ a ≥0， ∴ P ≠⌀.由P ⊆Q ，得{−2≤a +1，2a +1≤5，a ≥0，解得0≤a ≤2. 【考点】 交集及其运算一元二次不等式的解法 集合的包含关系判断及应用 交、并、补集的混合运算 【解析】 【解答】解：(1)a =3，P ={x|4≤x ≤7}. ∵ Q ={x|−2≤x ≤5}， ∴ P ∩Q ={x|4≤x ≤5}. (2)∵ a ≥0， ∴ P ≠⌀.由P ⊆Q ，得{−2≤a +1，2a +1≤5，a ≥0，解得0≤a ≤2. 【答案】解：(1)由题意得，{f(−1)=1−a +b =0,f(2)=4+2a +b =0⇒{a =−1,b =−2,故函数f(x)的解析式为：f(x)=x 2−x −2.图象如图，(2)由(1)可知，当x =12时，y min =−94; 当x =−1时，y max =0, 故函数的值域为：[−94,0]. 【考点】函数解析式的求解及常用方法 函数的值域及其求法二次函数的图象 二次函数的性质 【解析】【解答】解：(1)由题意得，{f(−1)=1−a +b =0,f(2)=4+2a +b =0⇒{a =−1,b =−2,故函数f(x)的解析式为：f(x)=x 2−x −2.图象如图，(2)由(1)可知，当x =12时，y min =−94; 当x =−1时，y max =0, 故函数的值域为：[−94,0].【答案】解：(1)由已知可得，该人身高ℎ=(26+26√5−1)×(1√5−1)=26×(1+2√5−1)2≈178cm .(2)由已知可设栅栏的长度为l , 且l =x +2y ,x ⋅y =9， ∴ l =x +2y ≥2√2xy =6√2， 当且仅当{x =2y ，xy =9，即当{x =3√2，y =32√2时取等， 所以当x =32√2,y =32√2时，用料最省，且最小值为6√2. 【考点】黄金分割法—0.618法基本不等式在最值问题中的应用 【解析】【解答】解：(1)由已知可得，该人身高ℎ=(26+26×√5−1)×(1√5−1)=26×(1+2√5−1)2≈178cm .(2)由已知可设栅栏的长度为l , 且l =x +2y ,x ⋅y =9， ∴ l =x +2y ≥2√2xy =6√2，当且仅当{x =2y ，xy =9，即当{x =3√2，y =32√2时取等， 所以当x =32√2,y =32√2时，用料最省，且最小值为6√2. 【答案】解：(1)全称量词命题：∀x >0，y =x 2+x+3x+1≥m .(2)令x +1=t ，则t >1，x =t −1， 代入原式化简可得y =(t−1)2+(t−1)+3t=t 2−t+3t=t +3t −1.∵ t >1， ∴ t +3t ≥2√3，当且仅当t =3t ，即t =√3时等号成立， ∴ 函数的值域为[2√3−1,+∞). 【考点】全称量词与存在量词 函数的值域及其求法基本不等式在最值问题中的应用 【解析】 此题暂无解析 【解答】解：(1)全称量词命题：∀x >0，y =x 2+x+3x+1≥m .(2)令x +1=t ， 则t >1，x =t −1，代入原式化简可得y =(t−1)2+(t−1)+3t=t 2−t+3t=t +3t−1.∵ t >1， ∴ t +3t ≥2√3，当且仅当t =3t ，即t =√3时等号成立， ∴ 函数的值域为[2√3−1,+∞). 【答案】解：(1)将x 1=3，x 2=4分别代入方程x 2ax+b −x +12=0中，得{93a+b =−9,164a+b=−8,解得{a =−1,b =2.(2)由(1)知y =x 22−x，则不等式即为x 22−x <(k+1)x−k 2−x，可化为x 2−(k+1)x+k2−x<0，即(x −2)(x −1)(x −k)>0．①当1<k <2时，解集为(1, k)∪(2, +∞)；②当k =2时，不等式为(x −2)2(x −1)>0，解集为(1, 2)∪(2, +∞)； ③当k >2时，解集为(1, 2)∪(k, +∞)． 【考点】函数解析式的求解及常用方法 分式不等式的解法【解析】(2)不等式即为：(x −2)(x −1)(x −k)>0．下面对k 进行分类讨论：①当1<k <2，②当k =2时，③当k >2时，分别求出此不等式的解集即可． 【解答】解：(1)将x 1=3，x 2=4分别代入方程x 2ax+b −x +12=0中， 得{93a+b =−9,164a+b=−8,解得{a =−1,b =2.(2)由(1)知y =x 22−x ，则 不等式即为x 22−x <(k+1)x−k 2−x，可化为x 2−(k+1)x+k2−x <0，即(x −2)(x −1)(x −k)>0．①当1<k <2时，解集为(1, k)∪(2, +∞)；②当k =2时，不等式为(x −2)2(x −1)>0，解集为(1, 2)∪(2, +∞)； ③当k >2时，解集为(1, 2)∪(k, +∞)．。
重庆市缙云教育联盟高一数学11月月考试题-人教版高一全册数学试题
某某市某某教育联盟2020-2021学年高一数学11月月考试题注意：本试卷包含Ⅰ、Ⅱ两卷。
第Ⅰ卷为选择题，所有答案必须用2B铅笔涂在答题卡中相应的位置。
第Ⅱ卷为非选择题，所有答案必须填在答题卷的相应位置。
答案写在试卷上均无效，不予记分。
第I卷（选择题）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知则使p成立的一个充分不必要条件为A. B. C. D.2.设，设过定点A的动直线和过定点B的动直线交于点，则的最大值是A. B. C. D.3.已知函数，若，则下列一定不正确的是A. B. C. D.4.函数，若实数a、b、c满足，且下列结论不恒成立的是A. B. C. D.5.已知，，若对任意，都有，使得成立，若在区间上的值域为，则实数的取值不可能是A. B. 1C. D.6.数学中一般用表示a，b中的较小值关于函数有如下四个命题：的最小正周期为的图象关于直线对称的值域为在区间上单调递增．其中是真命题的是A. B. C. D.7.定义：若函数在区间上存在，满足，，则称函数是在区间上的一个双中值函数．已知函数是区间上的双中值函数，则实数t的取值X围是A. B. C. D.8.设函数，若存在实数，使在上的值域为，则实数m的取值X围是A. B. C. D.9.已知表示不超过x的最大整数，称为高斯取整函数，例如，，方程的解集为A，集合，且R，则实数a的取值X围是A. 或B. 或C. 或D. 或10.已知函数，则下列关于的零点个数判别正确的是A. 当时，有无数个零点B. 当时，有3个零点C. 当时，有3个零点D. 无论k取何值，都有4个零点11.已知函数，若关于x的方程有5个不同的实数根，则实数t的取值X围是A. B. C. D.12.已知的三条边a，b，c满足，，分别以边a，c为一边向外作正方形ABEF，如图，分别为两个正方形的中心其中，，B三点不共线，则当的值最大时，的面积为A. B. C. 2 D.第II卷（非选择题）二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.“”为假命题，则实数a的最大值为___________．14.设正实数x，y，z满足，则当取得最大值时，的最大值为_________．15.已知函数，若，则x的取值X围为___________．16.已知点和点，若线段MN上的任意一点P都满足：经过点P的所有直线中恰好有两条直线与曲线相切，则的最大值为．三、解答题（本大题共6小题，共72.0分）17.已知全集，集合，集合．若，求和B；若，某某数a的取值X围．18.已知和是椭圆的两个焦点，且点在椭圆C上．Ⅰ求椭圆C的方程；Ⅱ直线l：与椭圆C有且仅有一个公共点，且与x轴和y轴分别交于点M，N，当面积取最小值时，求此时直线l的方程．19.已知定义域为R的函数是奇函数．求a的值；若对任意的，不等式恒成立，某某数k的取值X围．20.某农业科研单位打算开发一个生态渔业养殖项目，准备购置一块1800平方米的矩形地块，中间挖成三个矩形池塘养鱼，挖出的泥土堆在池塘四周形成基围阴影部分所示种植桑树，鱼塘周围的基围宽均为2米，如图所示，池塘所占面积为S平方米，其中．试用表示S；若要使S最大，则的值分别为多少？21.如图，游客从某旅游景区的景点A处下山至C处有两种路径。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
重庆市北碚区2020-2021学年高一数学11月联合性测试试题(时间：120分钟 分值：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分) 1．sin 300°＝( ) A ．－32 B ．－12 C ．12 D ．322．下列关于向量a ，b 的叙述中，错误的是( ) A ．若a 2＋b 2＝0，则a ＝b ＝0B ．若k ∈R ，k a ＝0，所以k ＝0或a ＝0C ．若a ·b ＝0，则a ＝0或b ＝0D ．若a ，b 都是单位向量，则a ·b ≤1恒成立 3.函数f (x )＝tan x 1＋tan 2x 的最小正周期为( )A.π4 B.π2C.πD.2π 4．已知a ＝(1，－2)，b ＝(3,4)，则a 在b 方向上的投影是( ) A ．1 B ．－1 C ． 5 D ．－ 5 5．将函数f (x )＝sin(2x ＋π6)的图象向右平移π6个单位，那么所得的图象对应的函数解析式是( )A ．y ＝sin 2xB ．y ＝cos 2xC ．y ＝sin(2x ＋2π3)D ．y ＝sin(2x －π6)6．函数f (x )＝sin(ωx ＋π3)(ω>0)相邻两个对称中心的距离为π2，以下哪个区间是函数f (x )的单调减区间( )A ．[－π3，0]B ．[0，π3]C ．[π12，π2]D ．[π2，5π6]7．已知向量a ＝(4，－2)，向量b ＝(x,5)，且a ∥b ，那么x 的值等于( ) A ．10 B ．5 C ．－52 D ．－108．如图所示，D 是△ABC 的边AB 的中点，则向量CD →＝( ) A ．－BC →＋12BA → B ．－BC →－12BA → C ．BC →－12BA → D ．BC →＋12BA →9．设a ＝12cos 6°－32sin 6°，b ＝2tan 13°1－tan 213°，c ＝1－cos 50°2，则有( ) A ．a >b >c B ．a <b <c C ．a <c <b D ．b <c <a10．若O 是△ABC 所在平面内一点，D 为BC 边中点，且4OA →＋OB →＋OC →＝0，那么( ) A ．OD →＝－AO → B ．OD →＝－2AO → C ．OD →＝2AO → D ．OD →＝AO → 11．角α顶点在坐标原点O ，始边与x 轴的非负半轴重合，点P 在α的终边上， 点Q (－3，－4)，且tan α＝－2，则OP →与OQ →夹角的余弦值为( ) A ．－55 B ．1152 C ．55或－55 D ．11525或115512．已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，|φ|<π2)的部分图象如图所示，下列说法正确的是( )A ．f (x )的图象关于直线x ＝－2π3对称B ．f (x )的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫－5π12，0对称 C ．将函数y ＝3sin 2x －cos 2x 的图象向左平移π2个单位得到函数f (x )的图象D ．若方程f (x )＝m 在[－π2，0]上有两个不相等的实数根，则m 的取值范围是(－2，－3]二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．设向量a ＝(3,3)，b ＝(1，－1)．若(a ＋λb )⊥(a －λb )，则实数λ＝________． 14．函数f (x )＝sin(x ＋2φ)－2sin φcos(x ＋φ)的最大值为________．15．在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，A ，B ，C 三点满足OC →＝23OA →＋13OB →，则|AC →||AB →|＝________．16．已知P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)是以原点O 为圆心的单位圆上的两点，∠P 1OP 2＝θ(θ为钝角)．若sin(θ＋π4)＝35，则x 1x 2＋y 1y 2的值为________．三、解答题(本大题共6小题，共70分)17．(10分)已知向量a 与b 的夹角θ为120°，且|a |＝4，|b |＝2，求： (1)a ·b ；(2)(a ＋b )·(a －2b )；(3)|a ＋b |．18.(12分)已知tan(π4＋α)＝12．(1)求tan α的值；(2)求sin (2α＋2π)－sin 2(π2－α)1－cos (π－2α)＋sin 2α的值．19．(12分)设函数f (x )＝sin x ＋sin(x ＋π3)．(1)求f (x )的最小值，并求使f (x )取得最小值时x 的集合；(2)不画图，说明函数y ＝f (x )的图象可由y ＝sin x 的图象经过怎样的变化得到．20．(12分)已知a ＝(cos α，sin α)，b ＝(cos β，sin β)，|a －b |＝255．(1)求cos(α－β)的值；(2)若0<α<π2，－π2<β<0，cos β＝1213，求sin α．21．(12分)已知向量a ＝(sin ωx ＋cos ωx ，sin ωx )，向量b ＝(sin ωx －cos ωx,23cos ωx )，设函数f (x )＝a ·b ＋1(x ∈R )的图象关于直线x ＝π3对称，其中常数ω∈(0,2)．(1)若x ∈[0，π2]，求f (x )的值域；(2)将函数f (x )的图象向左平移π12个单位，再向下平移1个单位，得到函数g (x )的图象，用五点法作出函数g (x )在区间[－π2，π2]上的图象．22．(12分)函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，|φ|<π2，x ∈R )的部分图象如图，M是图象的一个最低点，图象与x 轴的一个交点坐标为(π2，0)，与y 轴的交点坐标为(0，－2)．(1)求A ，ω，φ的值；(2)关于x 的方程f (x )－m ＝0在[0,2π]上有两个不同的解，求实数m 的取值范围．2020-2021学年度上期北碚区高中11月联合性测试高一数学 答案1.解析 s in 300°＝sin(－60°＋360°)＝sin(－60°)＝－sin 60°＝－32，故选A ． 答案 A2.解析 ∵a 2＋b 2＝0，a 2＝|a |2≥0，b 2＝|b |2≥0，∴|a |＝|b |＝0，∴a ＝b ＝0，故A 正确；∵k a ＝0，∴k 2|a |2＝0，∴k ＝0或|a |＝0，故k ＝0或a ＝0，∵a ·b ＝|a ||b |cos θ＝0，∴|a |＝0或|b |＝0或cos θ＝0，故a ＝0或b ＝0或a ⊥b ，故C 错误；∵a ，b 是单位向量，∴a ·b ＝cos θ≤1，故D 正确；故选C ．答案 C3.解析 f (x )＝tan x 1＋tan 2x ＝sin x cos x 1＋sin 2x cos 2x ＝sin x cos x cos 2x ＋sin 2x ＝sin x cos x ＝12sin 2x ，所以f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π.故选C.答案 C4.解析 由题意，∵a ＝(1，－2)，b ＝(3,4)，∴a 在b 方向上的投影是a ·b |b |＝3－85＝－1． 答案 B5.解析 ∵f (x )＝sin(2x ＋π6)，∴将函数f (x )＝sin(2x ＋π6)的图象向右平移π6个单位，得f (x －π6)＝sin[2(x －π6)＋π6]＝sin(2x －π6)，所得的图象对应的函数解析式是y ＝sin(2x－π6)，故选D ． 答案 D6.解析 根据f (x )＝sin(ωx ＋π3)(ω>0)相邻两个对称中心的距离为π2，可得T 2＝πω＝π2，∴ω＝2，f (x )＝sin(2x ＋π3)．令2k π＋π2≤2x ＋π3≤2k π＋3π2，k ∈Z ，求得k π＋π12≤x ≤k π＋7π12，k ∈Z ，故选C ．答案 C7.解析 ∵a ＝(4，－2)，b ＝(x,5)，且a ∥b ，∴4×5＝－2x ，解之得x ＝－10，故选D ．答案 D8.解析 由三角形法则和D 是△ABC 的边AB 的中点得，BD →＝12BA →，∴CD →＝CB →＋BD →＝－BC →＋12BA →.故选A ． 答案 A9.解析 a ＝12cos 6°－32sin 6°＝sin 30°cos 6°－cos 30°sin 6°＝sin 24°．b ＝2tan 13°1－tan 213°＝tan 26°，c ＝1－cos 50°2＝sin 25°， ∴a <c <b ． 答案 C10.解析 如图，D 为BC 中点，∴OB →＋OC →＝2OD →，∴4OA →＋2OD →＝0，∴OD →＝2AO →.故选C ．答案 C11.解析 由题意，设角α终边上点P 的坐标为(m ，－2m )(m ≠0)， 所以cos 〈OP →，OQ →〉＝OP →·OQ →|OP →||OQ →|＝(m ，－2m )·(－3，－4)55|m |＝5m 55|m |＝±55．答案 C12.解析 由函数的图象可得A ＝2，由14·2πω＝π3－π12，求得ω＝2．再根据五点法作图可得2×π3＋φ＝2k π+π,又|φ|＜π2，求得φ＝π3，∴函数f (x )＝2sin(2x ＋π3)．当x ＝－2π3时，f (x )＝0，不是最值，故A 不成立;当x ＝－5π12时，f (x )＝－2，不等于零，故B 不成立;将函数y ＝3sin 2x －cos 2x ＝2sin(2x －π6)的图象向左平移π2个单位得到函数y ＝sin[2(x ＋π2)－π6]＝sin(2x ＋5π6)的图象，故C 不成立;当x ∈[－π2，0]时，2x ＋π3∈[－2π3，π3]．∵sin(－2π3)＝sin(－π3)＝－32，sin(－π2)＝－1，故方程f (x )＝m 在[－π2，0]上有两个不相等的实数根时，则m 的取值范围是(－2，－3]，故D 成立，故选D ．答案 D13.解析 因为a ＋λb ＝(3＋λ，3－λ)，a －λb ＝(3－λ，3＋λ)，又(a ＋λb )⊥(a －λb )，所以(a ＋λb )·(a －λb )＝(3＋λ)·(3－λ)＋(3－λ)(3＋λ)＝0，解得λ＝±3．答案 ±314.解析 函数f (x )＝sin(x ＋2φ)－2sin φcos(x ＋φ)＝sin[(x ＋φ)＋φ]－2sinφcos(x ＋φ)＝sin(x ＋φ)cos φ－cos(x ＋φ)sin φ＝sin x ，故其最大值为1．答案 115.解析 ∵OC →＝23OA →＋13OB →，∴OC →－OA →＝－13OA →＋13OB →＝13(OB →－OA →)，∴AC →＝13AB →，∴|AC →||AB →|＝13． 答案 1316.解析 因为θ为钝角，所以θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，所以θ＋π4∈⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4，5π4，所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝－45，设∠P 1Ox ＝α，∠P 2Ox ＝β，不妨设θ＝α－β，x 1x 2＋y 1y 2＝cos αcos β＋sin αsin β＝cos(α－β)＝cos θ＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4－π4＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4cos π4＋sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4sin π4＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－45×22＋35×22＝－210． 答案 －21017.解 (1)a ·b ＝|a ||b |cos θ＝4×2×cos 120°＝－4． (2)(a ＋b )·(a －2b )＝a 2－a ·b －2b 2＝16＋4－8＝12．(3)|a ＋b |2＝a 2＋2a ·b ＋b 2＝16－8＋4＝12，∴|a ＋b |＝12＝23．18.解 (1)∵tan(π4＋α)＝tan π4＋tan α1－tan π4tan α＝1＋tan α1－tan α＝12，解得tan α＝－13．(2)原式＝sin 2α－cos 2α1＋cos 2α＋sin 2α＝2sin αcos α－cos 2α2cos 2α＋sin 2α＝2tan α－12＋tan 2α＝－1519． 19.解 (1)f (x )＝sin x ＋12sin x ＋32cos x ＝32sin x ＋32cos x ＝3sin(x ＋π6)，∴当x ＋π6＝2k π－π2(k ∈Z )，即x ＝2k π－2π3(k ∈Z )时，f (x )取得最小值－3，此时x 的取值集合为{x |x ＝2k π－2π3(k ∈Z )}． (2)先由y ＝sin x 的图象上的所有点的纵坐标变为原来的3倍，横坐标不变，即为y ＝3sin x 的图象，再由y ＝3sin x 的图象上所有点向左平移π6个单位，得到y ＝f (x )的图象．20.解 (1)∵a ＝(cos α，sin α)，b ＝(cos β，sin β)， |a －b |＝(cos α－cos β)2＋(sin α－sin β)2＝2－2cos (α－β)＝255．∴cos(α－β)＝35．(2)由(1)得cos(α－β)＝35，∵0<α<π2，－π2<β<0，∴0<α－β<π，∴sin(α－β)＝1－cos 2(α－β)＝45，又∵cos β＝1213，∴sin β＝－1－cos 2β＝－513．∴sin α＝sin[(α－β)＋β]＝sin(α－β)cos β＋cos(α－β)sin β ＝45·1213＋35·(－513)＝3365． 21.解 (1)∵向量a ＝(sin ωx ＋cos ωx ，sin ωx )，向量b ＝(sin ωx －cos ωx,23cos ωx )，∴f (x )＝a ·b ＋1＝sin 2ωx －cos 2ωx ＋23sin ωx cos ωx ＋1＝3sin 2ωx －cos 2ωx ＋1＝2sin(2ωx －π6)＋1，∵图象关于直线x ＝π3对称，其中常数ω∈(0,2)．∴2ω·π3－π6＝k π＋π2，k ∈Z ，得ω＝3k2＋1，结合ω∈(0,2)，可得ω＝1，∴f (x )＝2sin(2x －π6)＋1，∵x ∈[0，π2]，∴2x －π6∈[－π6，5π6]，∴sin(2x －π6)∈[－12，1]，∴f (x )＝2sin(2x －π6)＋1∈[0,3]．(2)将函数f (x )的图象向左平移π12个单位，得y ＝2sin[2(x ＋π12)－π6]＋1＝2sin 2x ＋1．再向下平移1个单位后得到函数g (x )＝2sin 2x ． 列表：2x－π －π2 0 π2 π x －π2－π4 0 π4 π2 y－22函数的图象为：22.解 (1)由题图可知，函数的周期T ＝4×[π2－(－π2)]＝4π，∴2πω＝4π，ω＝12． ∵图象与x 轴的一个交点坐标为(π2，0)，∴A sin(12×π2＋φ)＝0，∴sin(π4＋φ)＝0，∴π4＋φ＝k π，k ∈Z ，故φ＝k π－π4(k ∈Z )．由|φ|<π2得，－π2<φ<π2，∴φ＝－π4，∴y ＝A sin(12x －π4)．当x ＝0时，y ＝A sin(－π4)＝－2，∴A ＝2．综上可知，A ＝2，ω＝12，φ＝－π4．(2)由(1)可得：f (x )＝2sin(12x －π4)．当x ∈[0,2π]时，12x －π4∈[－π4，3π4]，可得：f (x )＝2sin(12x －π4)∈[－2，2]．由f (x )－m ＝0得f (x )＝m ，要使方程f (x )－m ＝0在x ∈[0,2π]上有两个不同的解． 则f (x )＝m 在x ∈[0,2π]上有两个不同的解，即函数f (x )和y ＝m 在x ∈[0,2π]上有两个不同的交点，即2≤m <2．。