热物理过程的数值模拟-计算传热学3

四、非线笥问题迭代式解法的收敛性

每一层次上满足迭代法求解的收敛条件+相邻次间代数方程的系数变化不太大（亦即未知量的变化不太大←多数情形下非线性问题迭代式解法是可以收敛的）。

使相邻两层次间未知量变化不太大的措施： 1、欠松弛迭代 常用逐次欠弛线迭法（SLUR ）：一组临时系数下逐线迭代求解+对所得的解施以欠松弛，再用欠松弛后的解去计算新的系数，常数，以进入下一层次的迭代。

实施：常把欠松弛处理纳入迭代过程，而不是在一个层次迭代完成后再行欠松弛。

)(

)

()()1(n p p

n n n p n p t a b bt a t t -∑+=+ω )()1()

1()(

n p p

n n n p p

t a b b t b a t a ω

ωω

-+++∑=+

∑+=+')1('b b bt a t a n n n p p

)('))(1(',n p p p p t a b b a a ωωω-+==，用交替方向线迭代法求解这一方程，就实现了SLUR

的迭代求解。为一般化起见，上式中b t n 上没有标以迭代层次的符号（J ，GS 时不相同）。 2、采用拟非稳态法

前面已指出，稳态问题的迭代解法与非稳态问题的步进法十分相似。对于非线性稳态问题，从代数方程的一组临时系数进入到另一组临时系数亦好象非稳态问题前进了一个时间层，非稳态问题的物理特性：系数热惯性越大（↑∆∆=τρ/v c a o

p ），温度变化越慢，仿此，对稳态非线性问题，可在离散方程中加入拟非稳态项，以减小未知量托两个层次间的变化，即

由

)()1()1()()(n p o p n n n p o p p n n n n p p n t a b b bt a t a V S b a b b bt a t V S b a ++∑=+∆-∑⇒+∑=∆-∑++

o p

p n n p

o p n n n p a V S b a t a b b bt a t +∆-∑++∑=

+)

()1(

一直进行到b t t n p ,收敛，虚拟时间步τ∆的大小通过计算实践确定。

3、采用Jacobi 点迭代法

中止迭代的判据（该层次迭代）除前述变化率判据外，还可以规定迭代的轮数，例如规定进行4-6次ADI 线迭代就结束该层次上的计算。此时，用收敛速度低的丁迭代也就起到了欠松弛的作用。

五、迭代法的收敛速度 1、收敛速度

对给定的代数方程组（包括是临时系数的情形），采用不同的迭代方法求解时，使一定的初始误差缩小成α倍所需要的迭代轮数K 是不相的。1<α

)0()0()(e G e G e k k k ≤=

因为G 是对称的，所以)()()(22

G G G G G T ρρρ===

所以 2

)0(2

)0(2

2

)

())(e G e G e k k

k ρ=≤

)(,))((/2

)

0(2)(G kl l G e e n n k k ραρα≤≤=

即 ))(/()(/G l l G l l k n n n n ραρα--=≥ )(,G ρα均<1 对于给定的α，所需迭代轮数k 与)(G l n ρ-成反比，规定用

)(G l R n ρ-=

表示迭代法的收敛速度，则

k l R or R l k n n //αα-≥-≥

即所需迭代轮数与收敛速度成反比，收敛速度又与谱半径成反比，收敛速度愈快，迭代轮数愈少。

注意：不同的迭代方法每进行一轮迭代所需的运算次数不同，最终所需的计算时间的多少取决于迭代轮数及每一轮迭代所需的时间。

2、收敛性的定性分析

为什么不同的迭代方法的收敛速度不同，亦即为达到满足一定精度要求所需的迭代轮数不同？以二维常物性、无内热源、稳态导热问题来进行讨论。

0'2

22=∂∂+∂∂y t

x t 1B 、C S S N N w w E E p p t a t a t a t a t a +++=

迭代法需要假定一个初场，例如假定一个均场，从微分方程为看，均匀是其一个解，但却不是所研究问题的解，为什么？因为它虽然满足内部节点上的离散方程，却不满足与边界有关的节点的离散方程（图中红点），即不满足边界条件。所以迭代法的实质是要通过迭代，尽快建立起与边界条件相适应的φ变量场，

关键：必须使B 、C 的影响迅速传入计算区域内部，以改进节点φ变量值，尽快与B 、C 相应，B 、C 的影响传入愈快，逼近真解就愈快，收敛就越快！

B 、

C 的影响传入计算区域内部的快慢与哪些因素有关？ （1）与迭代方法有关

J 迭代：节点温度的更新均用上轮迭代所得的“旧”值来计算，所以完成一轮迭代后，B 、C

TB

t RB

t j

的影响只能传入与边界相邻的一批节点上，即仅可传入一个网格，且扫描方向与收敛快慢无关。要在以后各轮迭代中，B 、C 的影响才由这些节点逐步向内渗透，所以收敛慢。

GS 迭代：假设从左向右扫描，则每做完一轮迭代，左边界和下边界的影响传遍全区域，而右边界的影响只能传入一个网格，且收敛速度受迭代扫描方向的影响。

线迭代：GS 线迭代。自左→右扫描，完成一轮迭代不仅左边界的影响逐步传入，而且在每一列的直接求解中，上、下边界的影响全部传入到该列的各节点上，即一轮迭代使左、上、下边界影响传入全区域，但右边界影响仍仅传入一个网格。

ADI ：一轮迭代包括一次逐行、一次逐列的扫描；所以在每一轮迭代后所有边界的影响均传入计算区域内部，从而加快了收敛速度。

（2）与边界条件的性质有关

t

t

tf t

1B 、C 规定了边界节点的温度，影响直接传入计算区域内部； 3B 、C 规定了环境温度及定向点位置，

∞-=∂∂t t x

t

l λ，对边界温度的限定程度比1B 、C 时

弱，所以对内部的影响也较弱；或将f t 视为外部温度，其对计算区域内部的影响被外部换热热阻削弱，而1B 、C 可视为∞→α或外部热阻0→的极限情况，故3B 、C 的影响比1B 、C 时弱。

2B 、C 仅规定了壁面的钭率，壁温完全不确定，对内部节点温度值的改进提供的信息最少，收敛最慢。

可见，为了提高代数方程迭代解法的收敛速度，应力求使边界条件的影响迅速传入计算区域内部，措施：

①增加迭代解法中直接解法的成分，从点迭代→线迭代→ADI ；

②适当选择扫描的始边，多以1B 、C 或3B 、C 的边界为始边，少以2B 、C （尤其是绝热边界）为扫描始边。

5-4 不规则区域的处理—网格生成技术

如何对不规则区域进行有效的处理，以便于进行传热与流动过程的数值模拟，是近年来计算传热研究中的一个重要课题。