第三章与或图搜索.

(3 2 2) (3 3 3)
(1 1 1) (1 1 3)
(1 2 3)
(3 2 2) (3 2 1)
(3 3 1) (3 3 3)
(1 2 2)
(1 1 3)
(3 2 1)
(1 2 3)
(3 3 1)

小结
– 状态空间法与问题归约法的比较 状态空间——问题空间 操作——归约 求解路径——本原问题 – 归约就是化简，即把复杂问题分解为若干子
A
P1
P2
Pk
P1
P2
Pk
no n1 n2 n3 n5 n4
n6
n8
n7 与或图
– 与或图搜索 从代表原始问题的根节点开始，按一定的规则 (归约操作)进行与或扩展，直到代表本原问题 的终节点。 要选择适当的或分枝进行扩展，以求找到一个 最佳分解方案。 在与或图中搜索最佳分解方案，即在问题空间 搜索一个最佳解图。
解图－－－在与或图是无环的假定条件下，解图 可递归定义如下： 定义：一个与或图Ｇ中，从节点n到节点集Ｎ的 解图记为Ｇ’，Ｇ’是Ｇ的子图． ①若n是N的一个元素,则G’由单一节点组成; ②若n有一个指向节点{n1,n2,……nk}的外向连接 符K,使得从每一个ni到N有一个解图(i=1,2,……k), 则G’由节点n,连接符K,及{n1,n2,……nk}中的每一 个节点到N的解图所组成; ③否则n到N不存在解图. 同样可以递归定义局部图如下： ①单一节点是局部图 ②对于一个局部图的任意叶节点n，选择一个n 的外向连接符K，则该局部图、外向连接符K以及 K所连接的后继节点一起组成图，仍然组成一个局 部图
问题，且使得：

每个子问题比原问题好解； 这些子问题解决了，原问题就解决了。
– 归约法的分类 有序归约(分段归约) 无序归约(分解归约)
梵塔难题 求五边形的面积
与或图表示法
– 与扩展 将一个问题分解为若干 子问题， 所有的子问题 有解，原问题才有解。 K-联接符 – 或扩展 将一个问题转化为若干 子问题，只要一个子问 题有解，原问题就有解。 单线联接符
第三章
与或图搜索问题 ---问题归约法
§3.0 引言
归约(Reduction)
– 例1
问题1：现有煤气灶、水龙头、水壶和火 柴，你怎样烧水？ 答：向水壶中注满水，把水壶放在煤气 灶上，擦火柴点燃煤气灶。 •问题2：问题1中其他情况不变，只是水壶 中已经灌满了水，你怎样烧水？
答：把水壶放在煤气灶上，擦火柴点燃煤气 灶或擦火柴点燃煤气灶，把水壶放在煤气灶上。

将上面的分析理一下顺序：就把原问题归约 为3个子问题：
– 移动A、B至柱2的双圆盘问题； – 移动C至柱3的单元盘问题；（本原问题） – 移动A、B至柱3的双圆盘问题。
– 将梵塔问题归约为本原问题的问题空间
(1 1 1) (3 3 3)
(1 1 1) (1 2 2)
(1 2 2) (3 2 2)
问题，对子问题再归约，直至成为可 以直接求解的本原问题。
§3.1问题空间及与或图表示

梵塔难题的两种解法 A – 状态空间法 B

1
2
3
C 初始数据库 (1 1 1) 表示C, B, A三个盘都在柱1上 目标数据库 (3 3 3) 表示C, B, A三个盘都在柱3上

状态空间
(1 1 1) 其中(i j k)表示 MOVE(A,1,3) C在柱i, B在柱j, (1 1 2) (1 1 3) MOVE(B,1,2) A在柱k上 (1 2 3) (1 3 2) MOVE(A,3,2) (1 3 3) (1 2 2) (1 3 1) (1 2 1) MOVE(C,1,3) (2 3 3) (3 2 2) MOVE(A,2,1) (2 3 1) (3 2 1) (2 3 2) (3 2 3) MOVE(B,2,3) (2 2 1) (2 1 2) (3 1 3) (3 3 1) MOVE(A,1
3
②
求解步骤：
① I 1 求五边形面积 求 1面积 求 I面积 求 2面积 求 II面积 求 3面积 求 III面积 求• ③面积 2 II III
本原问题
– 可直接得到答案的问题称为本原问题 例1中的原始的烧水问题 例2中根据鸽巢原理直接可回答的问题 例3中求矩形面积的问题 归约法 – 把原问题转化(分解)为一个或几个子
– 若干概念 终节点 可解节点 不可解节点 解图 耗散值 最佳解图 可解过程 不可解过程
与或图中某一个节点n到节点集N的一个解图类似于普 通图中的一条解路径。

解图的求法：从节点n开始，正确选择一个外向 连接符，在从该连接符所指的每一个后继节点出 发，继续选一个外向连接符，如此进行下去直到 由此产生的每一个后继节点成为集合N中的一个 元素为止． n n
例2 在边长为2的正方形内，任意放置5个点 ，求证其中必存在两个点，它们之间的距 离不大于2。 . 问题可转化为： . 在四个单位正方形内， . 任意放置5个点，至少 . . 有两个点在同一正方形内。
例3
假定我们已经会求 矩形的面积，现在要 求如图所示的五边形 的面积。
①
I 1
III ③
2 II


解图的生成——自根节点开始选一外向连接， 并从该连接指向的每个子节点出发，再选一 外向连接，如此反复进行，直到所有外向连 接都指向终节点为止。 * 解图纯粹是一种“与”图； *由于与或图中存在“或”关系；可产生或 搜索到多个解图（上图）， * 解图应无环，即任何节点的外向连接均不 得指向自己或自己的先辈，否则会使搜索陷 入死循环。
S
(2 2 2)
(2 1 3) (3 1 1) (3 3 2) (3 3 3) (2 2 3) (2 1 1) (3 1 2)
t

采用归约法
– 要把所有圆盘移至柱3，必须先把C盘移至
柱3，而在移动C盘至柱3前，柱3必须为空。 – 只有把A、B移至柱2后，才能将C移到柱3。 – 在C移至柱3后，再解决将A、B移至柱3。
o 0
n1 n3 n5 n5 n4 n5
n0
n4
n8
no n7
n8
（1）
n7
（2） 三个解图
n8 n7 （3）
·K-连接——表示从父节点到子节点间的连接 * 也称为父节点的外向连接， * 以园弧指示同父子节点间的“与”关系， * K为这些子节点的个数，K>1时成为超连接， * 一个父节点可以有多个外向的K-连接。 * 当所有超连接的K都等于1时，与或图蜕化为一 般图。 · 根、叶、终节点 * 无父节点的节点——根节点，用于指示问题的 初始状态； * 无子节点的节点——叶节点。 * 用于联合表示目标状态的节点——终节点， * 终节点必定是叶节点，反之不然；