高考数学总复习2-6幂函数与函数的图象变换但因为测试新人教B版

2013年高考数学总复习 2-6 幂函数与函数的图象变换但因为
测试 新人教B 版
1.(2011·烟台拟)幂函数y ＝f (x )的图象经过点(27，13)，则f (1
8
)的值为( )
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4 [答案] B
[解析] 设f (x )＝x α，由条件知f (27)＝1
3，
∴27α＝13，∴α＝－1
3，∴f (x )＝x -13 ，
∴f (18)＝(1
8
)-13 ＝2.
2．(文)(2011·聊城模拟)若方程f (x )－2＝0在(－∞，0)内有解，则函数y ＝f (x )的图象可以是( )
[答案] D
[解析] 由题意知函数y ＝f (x )的图象与直线y ＝2在(－∞，0)内有交点，观察所给图象可知，只有D 图存在交点．
(理)(2011·陕西文，6)方程|x |＝cos x 在(－∞，＋∞)内( ) A ．没有根 B ．有且仅有一个根 C ．有且仅有两个根 D ．有无穷多个根
[答案] C
[解析] 在同一坐标系中，画出函数y ＝|x |与y ＝cos x 的图象，易知有两个交点，即|x |＝cos x 有两个根．
3．(文)(2011·山东济南调研)下面给出4个幂函数的图象，则图象与函数的大致对应是( )
[答案] B
[解析] y ＝x 2为偶函数，对应②；y ＝x 1
2 定义域x ≥0，对应③；y ＝x －
1为奇函数，且图象与坐标轴不相交，对应④；y ＝x 3与y ＝x 13 均为奇函数，但y ＝x 3比y ＝x 1
3 增长率大，故①对应y ＝x 3.
(理)给出以下几个幂函数f i (x )(i ＝1,2,3,4)，其中f 1(x )＝x ，f 2(x )＝x 2，f 3(x )＝x 1
2 ，f 4(x )＝1
x .
若g i (x )＝f i (x )＋3x (i ＝1,2,3,4)．则能使函数g i (x )有两个零点的幂函数有( )
A ．0个
B ．1个
C ．2个
D ．3个
[答案] B
[解析] 函数g i (x )的零点就是方程g i (x )＝0的根，亦即方程f i (x )＋3x ＝0的根，也就是函
数f i (x )与y ＝－3x 的图象的交点，作出函数f i (x )(i ＝1,2,3,4)的图象，可知只有f 2(x )的图象与y ＝－3x 的图象有两个不同的交点，故能使g i (x )有两个零点的幂函数只有f 2(x )，选B.
4．(文)(2011·郑州一检)若0<x <y <1，则( ) A ．3y <3x B ．log x 3<log y 3 C ．log 4x <log 4y D ．(14)x <(1
4
)y
[答案] C
[解析] ∵0<x <y <1，∴由对数函数的单调性得，log 4x <log 4y ，故选C.
(理)(2011·天津理，7)已知a ＝b ＝c ＝则
( )
A ．a >b >c
B ．b >a >c
C ．a >c >b
D ．c >a >b
[答案] C
[解析] a ＝b ＝＝c ＝＝
显然有log 23.4>log210
3
>log 2 3.6，由对数函数、指数函数单调性，有a >c >b ，故
选C.
5．(文)幂函数y ＝x
－1
及直线y ＝x ，y ＝
1，x ＝1将平面直角坐标系的第一象限分在八个“区域”：①，②，③，④，⑤，⑥，⑦，⑧(如图所示)，那么幂函数y ＝x 1
2 的图象经过的“区域”是( )
A ．⑧，③
B ．⑦，③
C ．⑥，①
D ．⑤，① [答案] D
[解析] y ＝x 1
2 是增函数，∵1
2<1，∴其
图象向上凸，过点(0,0)，(1,1)，故经过区域①，⑤.
(理)幂函数y ＝x α (α≠0)，当α取不同的正数时，
在区间[0,1]上它们的图象是一族美丽的曲线(如图)．设点A (1,0)，B (0,1)，连结AB ，线段AB 恰好被其中的两个幂函数y ＝x α，y ＝x β的图象三等分，即有BM ＝MN ＝NA .那么，αβ＝( )
A ．1
B ．2
C ．3
D ．无法确定 [答案] A
[解析] 由条件知，M ⎝⎛⎭⎫13，23、N ⎝⎛⎭
⎫23，1
3，
6．(文)(2011·惠州模拟、安徽淮南市模拟)已知函数f (x )＝(x －a )(x －b )(其中a >b )的图象如下图所示，则函数g (x )＝a x ＋b 的图象是( )
[答案] A
[解析] ∵f (x )＝(x －a )(x －b )的两个零点为a 和b 且a >b ，由图象知0<a <1，b <－1，∴g (x )＝a x ＋b 单调减，且g (0)＝1＋b <0，故选A.
(理)(2011·新课标全国文，12)已知函数y ＝f (x )的周期为2，当x ∈[－1,1]时f (x )＝x 2，那么函数y ＝f (x )的图象与函数y ＝|lg x |的图象的交点共有( )
A ．10个
B ．9个
C ．8个
D ．1个
[答案] A
[解析] 由y ＝f (x )与y ＝|lg x |图象(如图)可知，选A.
7．若幂函数f (x )的图象经过点A ⎝⎛⎭⎫14，12，则它在A 点处的切线方程为________． [答案] 4x －4y ＋1＝0
[解析] 设f (x )＝x α，∵f (x )图象过点A ， ∴⎝⎛⎭⎫14α
＝12，∴α＝12.∴f (x )＝x 12 ， ∴f ′(x )＝12x ，∴f ′⎝⎛⎭⎫14＝1， 故切线方程为y －12＝1×⎝⎛⎭⎫x －14， 即4x －4y ＋1＝0.
8．(文)(2011·淮北模拟)已知函数f (x )＝x －
1，若f (a ＋1)<f (10－2a )，则a 的取值范围是________．
[答案] (－∞，－1)∪(3,5)
[解析] 由题意，得⎩
⎪⎨⎪⎧
a ＋1<010－2a >0
或⎩⎪⎨⎪
⎧
a ＋1>010－2a >0a ＋1>10－2a
或⎩⎪⎨⎪
⎧
a ＋1<010－2a <0a ＋1>10－2a
∴a <－1或3<a <5.
(理)若函数f (x )＝d
ax 2＋bx ＋c
(a 、b 、c ，d ∈R)，其图象如图所示，则a :b :c :d ＝________.
[答案] 1:(－6):5:(－8) [解析] 由图象知，x ≠1且x ≠5， 故ax 2＋bx ＋c ＝0的两根为1,5.
∴⎩⎨⎧
－b a
＝6c a ＝5
，∴⎩
⎪⎨⎪⎧
b ＝－6a
c ＝5a ，
又f (3)＝2，∴d ＝18a ＋6b ＋2c ＝－8a . 故a :b :c :d ＝1:(－6):5:(－8)．
9．若f (x )＝ax ＋1
x －1在区间(－∞，1)上是减函数，则a 的取值范围是________．
[答案] a >－1 [解析] f (x )＝ax ＋1x －1
＝
a
x －1＋a ＋1x －1＝a ＋a ＋1
x －1
.
∵f (x )在(－∞，1)上为减函数， ∴a ＋1>0，∴a >－1.
10．如图所示，函数图象由两条射线及抛物线的一部分组成，求函数的解析式．
[解析] 如图，设左侧射线对应的解析式为：y ＝kx ＋b (x ≤1)，将点(1,1)，(0,2)代入得
⎩⎪⎨⎪⎧ k ＋b ＝1b ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧
k ＝－1b ＝2
，所以左侧射线对应的函数解析式是y ＝－x ＋2(x ≤1)；同理，x ≥3时，函数解析式为：y ＝x －2(x ≥3)；再设抛物线段的解析式为y ＝a (x －2)2＋2(1≤x ≤3，a <0)，将(1,1)代入得，a ＋2＝1，∴a ＝－1，
∴抛物线的解析式为y ＝－x 2＋4x －2(1≤x ≤3)． 综上知，函数解析式为 y ＝⎩⎪⎨⎪
⎧
－x ＋2 x <1－x 2＋4x －2 1≤x <3x －2 x ≥3
.
11.(文)(2011·山东济宁一模)函数f (x )＝2|log2x |的图象大致是( )
[答案] C
[解析] f (x )＝2|log2x |＝⎩
⎪⎨⎪
⎧
2log2x ，x ≥12－log2x ，0<x <1，
∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪
⎧
x ，x ≥1，1x
，0<x <1.
(理)(2011·威海模拟)设函数y ＝x 3与y ＝(12)x －
2的图象的交点为(x 0，y 0)，则x 0所在的区间
是( )
A ．(0,1)
B ．(2,3)
C ．(1,2)
D ．(3,4)
[答案] C
[解析] 设f (x )＝x 3－⎝⎛⎭
⎫
12x －2
，则f (1)＝－1<0，f (2)＝7>0，所以x 0在区间(1,2)内．
12．(文)(2011·淮南模拟)函数y ＝lncos x (－π2<x <π2
)的图象是( )
[答案] A
[解析] 由已知得0<cos x ≤1，∴ln cos x ≤0，排除B 、C 、D.故选A.
(理)(2011·青岛模拟)现向一个半径为R 的球形容器内匀速注入某种液体，下面图形中能表示在注入过程中容器的液面高度h 随时间t 的函数关系的是( )
[答案] C
[解析] 根据球的形状可知，水的高度开始时增加的速度越来越慢，当超过半球时，增加的速度又越来越快．
13．(文)(2011·安徽省淮南市模拟)已知直线x ＝2及x ＝4与函数y ＝log 2x 图象的交点分别为A ，B ，与函数y ＝lg x 图象的交点分别为C ，D ，则直线AB 与CD ( )
A ．相交，且交点在坐标原点
B ．相交，且交点在第Ⅰ象限
C ．相交，且交点在第Ⅱ象限
D ．相交，且交点在第Ⅳ象限 [答案] A
[解析] 易求得两直线方程分别为AB ：y ＝12x 、CD ：y ＝lg2
2x ，则其交点为坐标原点．如
图所示．
(理)(2011·山东淄博一模)设动直线x ＝m 与函数f (x )＝x 3，g (x )＝ln x 的图象分别交于点M ，N ，则|MN |的最小值为( )
A.1
3
(1＋ln3) B.1
3ln3 C.1
3(1－ln3) D ．ln3－1
[答案] A
[解析] 设u (x )＝x 3－ln x ，则u ′(x )＝3x 2－1
x .
令u ′(x )＝0，得x ＝31
3
.
当0<x <31
3时，u ′(x )<0，u (x )单调递减；
当x >313时，u ′(x )>0，u (x )单调递增．
所以，当x ＝31
3时，u (x )取到最小值，
此极小值即为u (x )在(0，＋∞)上的最小值． ∴|MN |＝|13－13ln 13|＝1
3
(1＋ln3)．
14．(文)已知函数f (x )＝2x －x m ，且f (4)＝－7
2.
(1)求m 的值；
(2)判断f (x )在(0，＋∞)上的单调性，并给予证明． [解析] (1)∵f (4)＝－72，∴24－4m ＝－7
2.
∴m ＝1.
(2)f (x )＝2
x －x 在(0，＋∞)上单调递减，
证明如下：
任取0<x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)
＝(2x 1－x 1)－(2x 2－x 2)＝(x 2－x 1)(2x 1x 2＋1)． ∵0<x 1<x 2，∴x 2－x 1>0，2x 1x 2＋1>0.
∴f (x 1)－f (x 2)>0，∴f (x 1)>f (x 2)， 即f (x )＝2
x
－x 在(0，＋∞)上单调递减．
(理)(2011·山东烟台调研)设函数f (x )＝p ⎝⎛⎭⎫x －1x －2ln x ，g (x )＝2e
x .(p 是实数，e 是自然对数的底数)
(1)当p ＝2e 时，求f (x )＋g (x )的单调区间；
(2)若直线l 与函数f (x )，g (x )图象都相切，且与函数f (x )的图象相切于点(1,0)，求p 的值． [解析] (1)当p ＝2e 时，
f (x )＋
g (x )＝2e ⎝⎛⎭⎫x －1x －2ln x ＋2e
x ＝2ex －2ln x ， 则(f (x )＋g (x ))′＝2e －2
e
.
故当x >1
e 时，
f (x )＋
g (x )是增函数；
当0<x <1
e
时，f (x )＋g (x )是减函数．
综上，f (x )＋g (x )的单调增区间为[1
e ，＋∞)，
f (x )＋
g (x )的单调减区间为(0，1
e ]．
(2)∵f ′(x )＝p ＋p x 2－2
x ，∴f ′(1)＝2(p －1)．
设直线l ：y ＝2(p －1)(x －1)， 由⎩⎪⎨⎪
⎧
y ＝2p －1x －1
y ＝2e x
得(p －1)(x －1)＝e
x
，
即(p －1)x 2－(p －1)x －e ＝0. 当p ＝1时，方程无解； 当p ≠1时，∵l 与g (x )图象相切，
∴Δ＝(p －1)2－4(p －1)(－e )＝0，得p ＝1－4e . 综上，p ＝1－4e .
15．某机床厂2007年年初用98万元购进一台数控机床，并立即投入生产使用，第一年的维修保养费用为12万元，从第二年开始，每年所需维修保养费用比上一年增加4万元，该机床使用后，每年的总收入为50万元，设使用x 年后数控机床的盈利额为y 万元．
(1)写出y 与x 之间的函数关系式；
(2)从第几年开始，该机床开始盈利(盈利额为正值)；
(3)使用若干年后，对机床的处理方案有两种：①当年平均盈利额达到最大值时，以30万元价格处理该机床；②当盈利额达到最大值时，以12万元价格处理该机床．
问用哪种方案处理较为合理？请说明你的理由． [解析] (1)y ＝50x －[12x ＋x x －1
2×4]－98
＝－2x 2＋40x －98.(x ∈N *)
(2)解不等式－2x 2＋40x －98>0得，
10－51<x <10＋51. ∵x ∈N *，∴3≤x ≤17.
故从第三年起该机床开始盈利．
(3)①∵y x ＝－2x ＋40－98x ＝40－⎝⎛⎭⎫2x ＋98x ≤40－22×98＝12，当且仅当2x ＝98x ，即x ＝7时，等号成立．
∴到2014年，年平均盈利额达到最大值，机床厂可获利12×7＋30＝114万元． ②y ＝－2x 2＋40x －98＝－2(x －10)2＋102， 当x ＝10时，y max ＝102.
故到2017年，盈利额达到最大值，机床厂可获利102＋12＝114万元．
因为两种方案机床厂获利总额相同，而方案①所用时间较短，故方案①比较合理．
1．若函数y ＝f (x )与y ＝g (x )的图象分别如图，则f (x )·g (x )的图象可能是( )
[答案] C
[解析] 由f (x )为偶函数，g (x )为奇函数，可知f (x )·g (x )为奇函数，x ∈(－3,0)时，f (x )>0，g (x )>0，所以f (x )g (x )>0，故选C.
2．(2011·湖北理，2)已知U ＝{y |y ＝log 2x ，x >1}，P ＝{y |y ＝1
x ，x >2}，则∁U P ＝( )
A ．[1
2，＋∞)
B ．(0，1
2
)
C ．(0，＋∞)
D ．(－∞，0]∪[1
2
，＋∞)
[答案] A
[解析] ∵U ＝{y |y ＝log 2x ，x >1}＝(0，＋∞)，P ＝{y |y ＝1x ，x >2}＝(0，1
2)，
∴∁U P ＝[1
2
，＋∞)．
3．(2011·山东文，10)函数y ＝x
2－2sin x 的图象大致是( )
[答案] C
[解析] 利用特殊化思想求解；当x ＝0时，y ＝0，排除A ；当x →＋∞时，显然y >0，排除D ；当x ＝2π时，y ＝π<4，排除B ，故选C.
4．(2010·浙江宁波十校)如图所示是某一容器的三视图，现向容器中匀速注水，容器中水面的高度h 随时间t 变化的图象可能是( )
[答案] B
[解析] 由三视图可知，该几何体为倒立的圆锥，故随时间t 的增加，容器中水面的高度增加的越来越缓慢，即曲线切线的斜率在逐渐变小，故选B.
5．(2011·天津文，8)对实数a 和b ，定义运算“⊗”：a ⊗b ＝⎩⎪⎨⎪⎧
a ，a －
b ≤1，
b ，a －b >1，
设函数f (x )＝(x 2
－2)⊗(x －1)，x ∈R ，若函数y ＝f (x )－c 的图象与x 轴恰有两个公共点，则实数c 的取值范围是( )
A ．(－1,1]∪(2，＋∞)
B ．(－2，－1]∪(1,2]
C ．(－∞，－2]∪(1,2]
D ．[－2，－1]
[答案] B
[解析] 由题意得，f (x )＝⎩
⎪⎨⎪⎧
x 2－2 －1≤x ≤2
x －1 x <－1或x >2
由y ＝f (x )－c 的图象与x 轴恰有两个公共点， 即方程f (x )＝c 有两个不等的根，
即函数y ＝f (x )与y ＝c 的图象有两个交点． 由图象知：
∴－2<c≤－1或1<c≤2.
6．(2010·东营质检)函数y＝|x|与y＝x2＋1在同一坐标系的图象为()
[答案] A
[解析]由y＝x2＋1得，y2－x2＝1(y≥1)，它表示焦点在y轴上的等轴双曲线的上支，它以y＝±x的其渐近线，故选A.
7．若(a＋1) -
1
3<(3－2a) -
1
3，则a的取值范围是______．
[答案] (23，3
2
)∪(－∞，－1)
[解析] 幂函数y ＝x -13 在(0，＋∞)上为减函数，函数值y >0；在(－∞，0)上也是减函数，函数值y <0.
∴有a ＋1>3－2a >0或0>a ＋1>3－2a 或⎩
⎪⎨⎪⎧
a ＋1<03－2a >0，∴23<a <3
2或a <－1
即a 的取值范围为(23，3
2
)∪(－∞，－1)．
8．(2011·福建质量检查)设a >1，若仅有一个常数c 使得对于任意的x ∈[a,2a ]，都有y ∈[a ，a 2]，满足方程log a x ＋log a y ＝c ，这时a 的取值的集合为________．
[答案] {2}
[解析] 依题意得y ＝a c x ，当x ∈[a,2a ]时，y ＝a c x ∈
[12
a c －1，a c －
1]⊆[a ，a 2]，因此有⎩⎪⎨⎪⎧
12a c －1≥a a c －1≤a 2
，
即2a ≤a c －
1≤a 2，又常数c 是唯一的，因此a 2＝2a ， 又a >1，所以a ＝2.
9．函数f (x )＝2x 和g (x )＝x 3的图象的示意图如图所示．设两函数的图象交于点A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)，且x 1<x 2.
(1)请指出示意图中曲线C 1、C 2分别对应哪一个函数？
(2)若x 1∈[a ，a ＋1]，x 2∈[b ，b ＋1]，且a ，b ∈{1,2,3,4,5,6,7,8, 9,10,11,12}，指出a 、b 的值，并说明理由；
(3)结合函数图象示意图，请把f(8)、g(8)、f(2012)、g(2012)四个数按从小到大的顺序排列．
[解析](1)C1对应函数g(x)＝x3，C2对应函数f(x)＝2x.
(2)由于交点A(x1，y1)，B(x2，y2)，令h(x)＝f(x)－g(x)，显然有h(1)＝f(1)－g(1)＝1>0，h(2)＝f(2)－g(2)＝－4<0，h(9)＝29－93＝－217<0，h(10)＝24>0，∴x1∈[1,2]，x2∈[9,10]，∴a＝1，b＝9.
(3)由幂函数及指数函数增长率可知，f(8)<g(8)<g(2012)<f(2012)．
10．已知函数f(x)＝
(1)证明f(x)是奇函数，并求其单调区间；
(2)分别计算f(4)－5f(2)g(2)和f(9)－5f(3)g(3)的值，并由此概括一个涉及函数f(x)，g(x)的对所有非零实数x都成立的等式，并证明．
[解析](1)证明：因为f(x)的定义域(－∞，0)∪(0，＋∞)关于原点对称，
故f(x)在(0，＋∞)上是单调递增函数．又因为f(x)是奇函数，所以f(x)在(－∞，0)上也是单调递增函数，即f(x)的单调递增区间是(－∞，0)和(0，＋∞)．
(2)经过计算可得f(4)－5f(2)g(2)＝0，f(9)－5f(3)g(3)＝0，由此可得对所有非零实数x都成立的一个等式是f(x2)－5f(x)g(x)＝0.证明如下：。