初中数学——方程思想解题实例

方程思想解题实例

一、知识梳理

方程思想是指从分析问题的数量关系入手，适当设定未知数,把所研究的数学问题中已知量和未知量之间的数量关系,转化为方程或方程组的数学模型，从而使问题得到解决的思维方法

方程思想的独特优势是使问题简单化,方便解题，我们在初中阶段陆续学习了一元一次方程，二元一次方程（组),分式方程,一元二次方程，感受到了方程思想在解决实际问题中的魅力。同样，方程思想在几何问题及函数问题中仍然有相当广泛的应用,我们会经常利用到这些方程、方程组作为解题的工具方程思想的本质是用设未知数用未知量表示已知量的方法，通过分析题中的等量关系，利用所学定理、性质等寻找出等量关系。本专题主要从几何中的方程思想及函数中的方程思想展开讨论。

二、课堂案例讲练

几何中的方程思想

在几何中建立等量关系的常用方法有

错误!利用勾股定理建立等量关系；

错误!利用图形中的线段相等建立等量关系；

错误!利用图形中的相似三角形对应边成比例建立等量关系。

○，4利用三角形外角定理及三角形内角和建立等式

(一)利用勾股定理建立等量关系

例1如图所示，折叠长方形(四个角都是直角)的一边AD使点Ｄ落在BC边的点Ｆ处,已知AB=Ｄ

C=8cm,AＤ=BC＝10cm，求EC的长．

解析:想求得EC长,利用勾股定理计算，需求得FC长,那么就需求出BＦ的长，利用勾股定理即可求得B Ｆ长

解：设EC的长为xcm,

∴DE=(8－x）ｃm．

∵△ＡDE折叠后的图形是△AFＥ,

∴AＤ=AＦ,∠D＝∠ＡＦE，DE＝ＥF.ﻫ∵AD=BC=1０cm，ﻫ∴ＡF=AＤ=１０cm.

又∵AB=8cm，在Rｔ△ABF中,根据勾股定理，得AB２+BＦ２=AF2ﻫ∴82+BF２=102

∴BF＝6cm．

∴FC=ＢC-BF=1０-６=4ｃm.ﻫ在Rt△EFC中，根据勾股定理,得:FＣ2+EC2＝ＥF2ﻫ∴４2+ｘ2=（8-x)2,即１6+ｘ２=64-16x+ｘ２,ﻫ化简，得1６x=48．

∴x=3.

故ＥＣ的长为３cｍ．

前思后想：翻折中较复杂的计算,需找到翻折后相应的直角三角形,利用勾股定理求解所需线段,另本题也可以利用三角形相似，及线段相等建立等量关系来解决.

课堂训练:

1．有两张相同的矩形纸片，边长分别为2和８,若将两张纸片交叉重叠,则得到重叠部分面积最小是

__＿＿_＿，最大的是_____＿＿_＿.

2.动手操作：在一张长１2cm、宽５cm的矩形纸片内,要折出一个菱形．小颖同学按照取两组对边中点的方法折出菱形EＦGＨ（见方案一),小明同学沿矩形的对角线AC折出∠CAE=∠CＡＤ,∠ACF=∠AＣＢ的方法得到菱形AＥＣＦ(见方案二).ﻫ(１)你能说出小颖、小明所折出的菱形的理由吗?

(2)请你通过计算,比较小颖和小明同学的折法中,哪种菱形面积较大?

（二）利用三角形相似的性质建立等量关系

例1:有一块两直角边长分别为３cm和4cm的直角三角形铁皮,要利用它来裁剪一个正方形,有两种方法:一种是正方形的一边在直角三角形的斜边上，另两个顶点在两条直角边上，如图(1）;另一种是一组邻边在直角三角形的两直角边上,另一个顶点在斜边上，如图（２）.两种情形下正方形的面积哪个大？

解析:(１)利用三角形的面积关系求出ＡB边上的高，再利用相似三角形的性质求出正方形的边长;

(2）设出正方形的边长,再利用相似三角形的性质求出正方形的边长.

前思后想:(1)利用面积法求出直角三角形斜边上的高是解答此题的关键； (2）也可根据△ADE ∽△ＡCB 或△BF Ｅ∽△ＢＣA 来解答．

课堂训练：

1. 如图，铁道口的栏杆AB 的短臂OA=１．２5ｍ,长臂O Ｂ=16．5m,•当短臂端点A•下降０.85m 时,长臂端点B 升高多少？ 下面是小明的解题过程：

“如图,连接AA ′,B Ｂ′，因为AO=A ′Ｏ，BO=Ｂ′O ，所以''AO A O

BO B O

=

.又∠1＝∠2,所以△A Ａ•′O ∽△BB ′Ｏ，有'

'

AO AA BO BB =

,因为AO=1.2５，ＢO ＝１6.5,AA ′=0.85,所以

1.250.85

16.5'

BB =

,解得BB ′＝11.22，•即长臂端点B 升高了11.２2ｍ”． 你认为小明的解题过程正确吗?如果不正确,请写出你的答案．

2.如图，在矩形FG ＨN 中,点Ｆ、G 在边BC 上,点N 、H 分别在边AB 、AC 上,且AD ⊥BC ，垂足为D,A Ｄ交ＮH 于点E,AD ＝8c ｍ，B Ｃ=24cm,NF ：NH ＝1：２,求此矩形的面积．

3. 如图３，在梯形ABCD 中,354245AD BC AD DC AB B ====︒∥，，，，∠．动点M 从B 点出发沿线段BC 以每秒2个单位长度的速度向终点C 运动;动点N 同时从C 点出发沿线段CD 以每秒1个单位长度的速度向终点D 运动．设运动的时间为t 秒. （1）求BC 的长.

(2）试探究：t 为何值时，MNC △为等腰三角形．

A

D

（三）利用线段相等建立等量关系

例1.如图，等腰梯形AＢCD中，ＡＤ∥BC，ＡB=CD，AＤ=10ｃm，ＢC=３0cｍ,动点P从点Ａ开始沿AD边向点D以每秒1cm的速度运动,同时动点Ｑ从点C开始沿CB边向点B以每秒3cm的速度运动,当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为ｔ秒．

（1)ｔ为何值时，四边形ＡBＱP是平行四边形?

（2）四边形ＡBQP能成为等腰梯形吗?如果能，求出t的值；如果不能,请说明理由.

解析：(1）当AＰ=ＢQ时,四边形ABQP是平行四边形；

(2)若四边形ABQP能成为等腰梯形，则一定要满足PD＝ＣQ.

解：（1)当AP＝ＢQ时,四边形ABＱＰ是平行四边形,而AP＝t×1=t；BQ=BC－CQ=30-t×3=30－3t

∴t=30－3t解之得：t=7.５

（2)四边形ABQＰ能成为等腰梯形.∵四边形AＢCD为等腰梯形

∴AB=CD,∠B=∠Ｃ．

若四边形ABQＰ是等腰梯形.则AＢ=PQ，∠B=∠PQB，

∴ＣD=ＰQ,∠C=∠ＰＱB∴CD∥PＱ

∴四边形PQＣD为平行四边形∴PＤ=CQ ．

而ＰD=AD-AP=10-ｔ×1=1０-t；CQ＝t×3=3t,则１0-ｔ=3ｔ,

解得t=2.5．

前思后想：做此类运动题时要先在图上画出符合题意的大致图象,然后设出未知量，根据题意寻找等量关系，第(2）问可这样思考：先逆向假设四边形AＢQＰ能成为等腰梯形，则P Ｄ=CQ,建立相关的等式,若能解出符合题意的值,则存在，然后再顺向写出过程