人教版八年级数学上册 因式分解

人教版八年级数学上册因式分解

1．因式分解

(1)定义

把一个多项式化为几个整式的积的形式，像这样的式子变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式．

(2)因式分解与整式乘法的关系

因式分解与整式乘法是相反方向的变形．如：

(a＋b)(a－b)a2－b2.

即多项式乘以多项式或单项式乘以多项式(整式乘法)是“积化和”，而因式分解则是“和化积”，故可以用整式乘法来检验因式分解的正确性．

谈重点因式分解的理解(1)因式分解专指多项式的恒等变形，等式的左边必须是多项式，右边每个因式必须是整式．(2)因式分解的结果必须要以积的形式表示，否则不是因式分解．(3)因式分解中每个括号内如有同类项要合并，因式分解的结果要求必须将每个因式分解彻底．

【例1】下列各式由左边到右边的变形中，是因式分解的是( )．

A．a(x＋y)＝ax＋ay

B．y2－4y＋4＝y(y－4)＋4

C．10a2－5a＝5a(2a－1)

D．y2－16＋y＝(y＋4)(y－4)＋y

答案：C

点拨：A是整式乘法，B、D等号右边不是整式积的形式，而是和的形式，不是因式分解．

2．公因式

(1)定义

多项式的各项中都含有的公共的因式叫做这个多项式各项的公因式．

(2)确定多项式的公因式的方法

确定一个多项式的公因式时，要对数字系数和字母分别进行考虑，确定公因式时：一看系数，二看字母，三看指数．

解技巧确定公因式的方法确定公因式的方法：(1)对于系数(只考虑正数)，取各项系数的最大公约数作为公因式的系数．(2)对于字母，需考虑两条，一是取各项相同的字母；二是各相同字母的指数取次数最低次，即取相同字母的最低次幂．最后还要根据情况确定符号．

【例2】把多项式6a3b2－3a2b2－12a2b3分解因式时，应提取的公因式是( )．A．3a2b B．3ab2

C．3a3b3D．3a2b2

答案：D

点拨：在多项式6a3b2－3a2b2－12a2b3中，这三项系数的最大公约数是3，各项都含有字母a，b，字母a的最低次幂是a2，字母b的最低次幂是b2，所以各项的公因式是3a2b2，故选D.

3．提公因式法

(1)定义

一般地，如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提取出来，将多项式写成公因式与另一个因式的乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法．

(2)提公因式的步骤

①确定应提取的公因式；

②用公因式去除这个多项式，所得的商作为另一个因式；

③把多项式写成这两个因式的积的形式．

警误区提公因式要彻底(1)所提的公因式必须是“最大公因式”，即提取公因式后，另一个因式中不能还有公因式；(2)如果多项式的首项系数是负数，应先提出“－”号．可按下列口诀分解因式：各项有“公”先提“公”，首项有“负”先提“负”，某项提出莫漏“1”，括号里面分到“底”．

【例3】用提公因式法分解因式：

(1)12x2y－18xy2－24x3y3；

(2)5x2－15x＋5；

(3)－27a2b＋9ab2－18ab；

(4)2x(a－2b)－3y(2b－a)－4z(a－2b)．

解：(1)12x2y－18xy2－24x3y3

＝6xy·2x－6xy·3y－6xy·4x2y2

＝6xy(2x－3y－4x2y2)；

(2)5x2－15x＋5

＝5(x2－3x＋1)；

(3)－27a2b＋9ab2－18ab

＝－9ab(3a－b＋2)；

(4)2x(a－2b)－3y(2b－a)－4z(a－2b)＝2x(a－2b)＋3y(a－2b)－4z(a－2b)

＝(a－2b)(2x＋3y－4z)．

4．用平方差公式分解因式

(1)因式分解的平方差公式

两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积．即a2－b2＝(a＋b)(a－b)．

这个公式就是把整式乘法的平方差公式等号左右两边颠倒过来．

(2)平方差公式的特点

左边是二项式，两项都能写成平方的形式，且符号相反；右边是两个数(或整式)的和与这两个数(或整式)的差的积．凡是符合平方差公式左边特点的多项式都可以用这个公式分解因式．

【例4】把下列多项式分解因式：

(1)4x2－9；(2)16m2－9n2；(3)a3b－ab；(4)(x＋p)2－(x＋q)2.

解：(1)4x2－9＝(2x)2－32＝(2x＋3)(2x－3)；

(2)16m2－9n2＝(4m)2－(3n)2＝(4m＋3n)·(4m－3n)；

(3)a3b－ab＝ab(a2－1)＝ab(a＋1)(a－1)；

(4)(x＋p)2－(x＋q)2＝[(x＋p)＋(x＋q)]·[(x＋p)－(x＋q)]

＝(2x＋p＋q)(p－q)．

5．用完全平方公式分解因式

(1)因式分解的完全平方公式

两个数的平方和加上(或减去)这两个数的积的2倍，等于这两个数的和(或差)的平方．即a2＋2ab＋b2＝(a＋b)2，a2－2ab＋b2＝(a－b)2.

这个公式就是把整式乘法的完全平方公式等号左右两边颠倒过来．

(2)完全平方公式的特点

左边是一个三项式，其中两项同号且均为一个整式的平方(平方项)，另一项是平方项幂的底数的2倍(乘积项)，符号可正也可负，右边是两个整式的和(或差)的平方，中间的符号同左边的乘积项的符号．

【例5】把下列多项式分解因式：

(1)x2＋14x＋49；

(2)(m＋n)2－6(m＋n)＋9；