第三章对偶理论

右边项的系数对应目标 函数系数 约束条件个数 n 变量个数 m 约束条件类型
目标函数系数与右边项 目标函数各变量系数对应 的对应关系 约束条件右边项的系数 变量个数与约束条件个 变量个数 n 数的对应关系 约束条件个数 m
原问题变量类型与对偶 问题约束条件类型的对 变量类型 应关系
原问题约束条件类型与 对偶问题变量类型的对 约束条件类型 应关系
原始问题有4个变量，3个约束，对偶问题应该有3个变量， 4个约束。根据定义，对偶问题为：
x1 x2 x3 x4
非对称形式的对偶—原始问题有“=”约束
max z=2x1+3x2-x3
s.t. x1+2x2+x3=6 2x1-3x2+2x3≤9
x1, x2, x3≥0
min w=6y1+9y2 s.t. y1+2y2 ≥ 2 2y1- 3y2 ≥ 3 y1+2y2 ≥ -1 y1:Free y2≥0
y1=w2-w1,y1:Free,y2=w3
如果原始问题中一个约束是等号约束，则对偶问题中相应的变 量没有符号限制
非对称形式的对偶—原始问题有“≥”约束
max z=2x1+3x2-x3 s.t. x1+2x2+x3 ≥ 6 2x1-3x2+2x3≤9 x1, x2, x3≥0 max z=2x1+3x2-x3
s.t. -x1-2x2-x3≤-6 2x1-3x2+2x3≤9 x1, x2, x3≥0 min w=-6y1’+9y2 s.t. -y’1+2y2≥2 -2y’1 -3y2≥3 -y’1+2y2≥-1 y’1, y2≥0
min w=6y1+9y2 s.t. y1+2y2≥2 2y1- 3y2≥3 y1+2y2≥-1 y1≤0, y2≥0
2
对偶问题的提出
从两个不同的角度讨论线性规划问题
原始的角度
对偶的角度
例
引例——两家具制造商间的对话：
家具生意还真赚钱，但 是现在的手机生意这么好， 不如干脆把我的木工和油漆 工租给他，又能 收租金又可做生意。 唉!我想租您的木工和油漆工一 用。咋样？价格嘛……好说， 肯定不会让您兄弟吃亏讪。 王老板做家具赚了 大钱，虽然我也想做家具 生意，却苦于没有 足够的木工和油漆工 咋办？只有租咯。
对偶问题
其约束系数矩阵的转置 目标函数中的价格系数向量 约束条件的右端项向量 min W = bTY ATY ≥ C Y≥0
对称的原始问题和对偶问题
根据定义，原始问题为 max z=6x1+9x2 s.t. x1+2x2≤2 2x1- 3x2≤3 x1+2x2≤-1 x1, x2≥0 对偶问题为 min w=2y1+3y2-y3 s.t. y1+2y2+y3≥6 2y1-3y2+2y3≥9
根据定义写出对偶问题的练习
max z=2x1+x2-3x3 s.t. x1-3x2+2x3- 5x4 ≤ 6 4x1+x2- 5x3+2x4 ≤ 9 -x1+2x2 +x4 ≤12 x1, x2, x3, x4 ≥0 min w=6y1+9y2+12y3 s.t. y1+4y2- y3 ≥2 -3y1+ y2+2y3 ≥ 1 2y1-5y2 ≥ -3 -5y1+2y2+ y3 ≥ 0 y1, y2, y3 ≥0 y1 y2 y3
互补松弛关系的分量表示
o o x1 xn 1 o o x 2 x n2 O O X o XS o x j x ni o o x n x n m
n
j 1 m
0 xo y j m j
o yio xn i
o 0 xn ymn 0
o o ym xn m 0
由于原始问题和对偶问题的所有变量和松弛变量都是非 负的，因此以上两式中的每一项都等于0。即
0 xo y j 1, 2, , n j m j 0 o yio xn i 1, 2, , m i 0
≥0 ≤0 无限制
≥ ≤ =
≥ ≤ =
≤0 ≥0 无限制
变量类型
写对偶问题的练习（1）
max z=2x1+x2-3x3 s.t. x1-3x2+2x3- 5x4≤6 4x1+x2- 5x3+2x4 ≥9 -x1+2x2 +x4 ＝12 x1, x2 ≥0, x3Free, x4 ≤0
写对偶问题的练习（2）
第三章—对偶问题与灵敏度分析
•
― ― ― ―
学习目标
理解对偶问题的基本理论； 掌握对偶问题的经济解释——影子价格； 理解对偶单纯性法； 掌握灵敏度分析
引 言
对偶理论是线性规划中最重要的理论之一，是深入了解线性规 划问题结构的重要理论基础。同时，由于问题提出本身所具有 的经济意义，使得它成为对线性规划问题系统进行经济分析和 敏感性分析的重要工具。那么，对偶问题是怎样提出的，为什 么会产生这样一种问题呢？
y1o o y2 O Y o yi o ym
o ym 1 o ym 2 O YS o ym j o ym n
互补松弛关系的分量表示
互补松弛关系的分量形式
在原始问题和对偶问题的最优解中，原始问题的一 个变量和对偶问题相应的松弛变量，对偶问题的一个变 量和原始问题相应的松弛变量，组成互补松弛对，在每 一对变量中，其中一个大于0，另一个一定等于0。
互补松弛关系的分量表示
原始问题的变量 原始问题的松弛变量
x1
...
xj ...
xn
xn+1 xn+i xn+m
原始问题是极大化问题
原始问题的约束全为≤ 原始问题有2个变量，3个约束
原始问题的变量全部为非负
对偶问题是极小化问题
对偶问题的约束全为≥
对偶问题有3个变量，2个约束 对偶问题的变量全部为非负
y1, y2, y3≥0
对偶问题变量的个数(3)等于原始问题约束条件的个数(3) 对偶问题约束条件的个数(2)等于原始问题变量的个数(2)
对偶的定义
min w=bTY s.t. ATY≥C Y ≥0
min z’=-CTX s.t. -AX≥-b X ≥0
对偶的定义
max w=-bTY s.t. -ATY≤-C Y ≥0
2、两个问题的可行解对应的目标函数值互为 上下界 例： min z=2x1+3x2 s.t. x1+3x2≥3 2x1+x2 ≥4 x1, x2 ≥0
4
3 2 D(2,2) B(1.8,0.4) A(3,0) 0 1 2 3 C(0,4)
可行解 A
z 6
最优解
B
C D
4.8
12 10
是
1
max w=3y1+4y2 s.t. y1+2y2≤2 3y1+y2 ≤3 y1, y2 ≥0
3 2 1 O(0,0) C(0,1) B(1.9,0.4) A(1,0) 0 1 2
o X OT YSO x 1
o x2
xo j
O o Y OT X S y 1
o y2
yio
互补松弛关系的分量表示
o o o 0 o 0 x y x y x j m j 1 m1 2 ym2
o o o o o o y x y x y i ni 1 n1 2 xn2 i 1
价格嘛……好商量， 好商量。只是…...
Hi：王老板，听说 近来家具生意好惨了， 也帮帮兄弟我哦!
王 老 板
李 老 板
对偶问题
王老板的家具生产模型： x1 、 x2是桌、椅生产量。 Z是家具销售总收入（总利润）。 max Z = 50x1 + 30x2 s.t. 4x1+3x2 ≤ 120（木工） 2x1+ x2 ≤ 50 （油漆工） x1 ， x2
max z=2x1+3x2-x3 s.t. x1+2x2+x3≥6 x1+2x2+x3≤6 2x1-3x2+2x3≤9 x1, x2, x3≥0
min w=6(w2-w1)+9w3 s.t. (w2-w1)+2w3 ≥ 2 2(w2-w1)-3w3 ≥ 3 (w2-w1)+2w3 ≥ -1 w1, w2, w3≥0
max z=2x1+3x2-x3 s.t. -x1-2x2-x3 ≤-6 x1+2x2 +x3 ≤6 2x1-3x2+2x3≤9 x1, x2, x3≥0
min w=-6w1+6w2+9w3 s.t. -w1+w2+2w3 ≥ 2 -2w1+2w2-3w3 ≥ 3 -w1+w2+2w3 ≥ -1 w1, w2, w3≥0
≥
王老板的资源出租模型： y1、 y2单位木、漆工出租价格。 W是资源出租租金总收入。 min W =120y1 + 50y2 s.t. 4y1+2y2 ≥ 50 3y1+ y2 ≥ 30 y1，y2
≥
0
0
原始线性规划问题，记为（P）
对偶线性规划问题，记为（D）
王老板按（D）的解 y1 、y2出租其拥有的木、漆工资源，既保证了自 己不吃亏(出租资源的租金收入并不低于自己生产时的销售收入)，又使 得出租价格对李老板有极大的吸引力(李老板所付出的总租金W最少).
y1=-y’1, y1≤0
如果极大化原始问题中一个约束是结
max z=CTX s.t. AX≤b X ≥0 max z=CTX s.t. AX=b X ≥0 max z=CTX s.t. AX≥b X ≥0
min w=bTY s.t. ATY≥C Y ≥0
min z= 2x1+4x2-x3 s.t. 3x1- x2+2x3 ≥ 6 -x1+2x2-3x3 = 12 2x1+x2+2x3 ≤ 8 x1+3x2-x3 ≥ 15 x1≥0 x2≤0 x3: Free
max y=6w1+12w2+8w3+15w4 s.t. 3w1- w2+2w3+ w4≤ 2 -w1+2w2+ w3+3w4 ≥ 4 2w1- 3w2+2w3- w4 = -1 w1 ≥ 0,w2Free ,w3 ≤ 0,w4 ≥ 0
可行解 O
y 0
最优解
A
B C
3
4.8 4 是
3、若原问题解无界，则其对偶问题无可行解。 4、两个问题最优解的目标函数值必相等。 5、两个问题都有可行解时则两个问题必都有 最优解。 6、两个问题最优解中，一个问题中某个变量 取值非零，则该变量在对偶问题中对应的 约束条件必为紧约束；反之，如果约束条 件为松约束，则其对应的对偶变量一定取 值为零。——互补松弛性定理
原始问题变量的个数(3)等于对偶问题约束条件的个数(3)； 原始问题约束条件的个数(4)等于对偶问题变量的个数(4)。 原始问题变量的性质影响对偶问题约束条件的性质。 原始问题约束条件的性质影响对偶问题变量的性质。
对偶问题的性质总结
1、对偶的对偶就是原始问题
max z=CTX s.t. AX≤b X ≥0
对偶的定义
原始问题 max z=CTX s.t. AX≤b X ≥0 max CT 对偶问题 min W=bTY s.t. ATY≥C Y ≥0 min n bT AT ≥ C
m
A n
≤ b
m
对称形式下对偶问题的一般形式
项目
A b C 目标函数 约束条件 决策变量
原问题
约束系数矩阵 约束条件的右端项向量 目标函数中的价格系数向量 max Z = CTX AX ≤ b X≥0
min w=bTY s.t. ATY≥C Y :Free
min w=bTY s.t. ATY≥C Y ≤0
原始问题约束条件的性质，影响对偶问题变量的性质。 原始问题变量的性质，影响对偶问题约束条件的性质。
非对称形式下对偶问题的一般形式
项目 目标函数类型 原问题（对偶问题） max 对偶问题（原问题） min
o ym 1 o ym 2 n o o o xn y o x j ym j 0 m j j 1 o ym n
o xn 1 o xn 2 m o o o ym x o yi xn i 0 n i i 1 o xn m