第四讲矩阵的运算与逆矩阵

§2.2 矩阵的运算
1.矩阵的加法定义：设有两个n m ⨯矩阵)(),(ij ij b B a A ==,那么矩阵A 与B 的和记作A +B ,规定为
n m ij ij b a B A ⨯+=+)(
设矩阵)(),(ij ij a A a A -=-=记,A -称为矩阵A 的负矩阵.显然有 0)(=-+A A . 规定矩阵的减法为)(B A B A -+=-.
2.数与矩阵相乘定义:数λ与矩阵)(ij a A =的乘积记作A λ，规定为n m ij a A ⨯=)(λλ 由数λ与矩阵A 的每一个元素相乘。

数乘矩阵满足下列运算规律（设B A ,为同型矩阵，μλ,为数）： )(i )()(A A μλλμ=
)(ii A A A μλμλ+=+)(
)(iii B A B A λλλ+=+)(
3.矩阵与矩阵相乘定义:设)(ij a A =是一个s m ⨯矩阵,)(ij b B =是一个n s ⨯矩 那么规定矩阵A 与矩阵B 的乘积是一个n m ⨯矩阵)(ij c C =,其中),,2,1;,,2,1(,12211n j m i b a b a b a b a c kj s
k ik sj is j i j i ij ===+++=∑=
并把此乘积记作AB C =，两矩阵相乘，要求左边距阵的列等于右边矩阵的行，乘积的矩阵的行与左边的行相同，列与右边的列相同。

例3：求矩阵⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=043211,012301B A 的乘积BA AB 及. 解 ⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=1204638311,50113BA AB 从本例可以看出AB 不一定等于BA ,即矩阵乘法不满足交换律 注:若有两个矩阵B A 、满足0=AB ,不能得出00==B A 或的结论,即矩阵乘法不满
足消去律.
矩阵的乘法满足下列结合律与分配律
)(i )()(BC A C AB =
)(ii 为数）
其中λλλλ(),()()(B A B A AB == )(iii CA BA A C B AC AB C B A +=++=+)(,)(
对单位矩阵E ,易知
n m n n m n m n m m A E A A A E ⨯⨯⨯⨯=⋅=,
可简记为 A AE EA ==
4.矩阵的转置的定义：把矩阵A 的行列交换得到一个新矩阵,叫做A 的转置矩阵,记作T A
矩阵的转置运算满足下述运算规律(假设运算都是可行的) )(i A A T T =)(
)(ii T T T B A B A +=+)(
)(iii T T A A λλ=)(
)(iv T T T A B AB =)(
5.对称矩阵与反对称矩阵的定义：设A 是n 阶方阵,如果满足A A T =,即),,2,1,(,n j i a a ji ij ==则称A 是对称矩阵.对称矩阵的特点是:它的元素以对角线
为对称轴对应相等. 如果满足A A T
-=,即⎩⎨⎧=≠-=0)(ii ji ij a j i a a 则称A 是反对称矩阵.反对称矩阵的特点是:它的元素以对角线为对称轴对应相反
6.方阵的行列式：由n 阶矩阵A 的元素构成的行列式（各元素位置不变），称为矩阵A 的行列式，记作A 或A det
设A ，B 为n 阶方阵，λ为数，则有下列等式成立：
B A AB A A A A n T ===;;λλ
例4：设A 是n 阶反对称矩阵，B 是n 阶对称矩阵，证明：BA AB +是n 阶反对称矩阵
证明：)()()()()()(,BA AB B A A B B A A B BA AB BA AB B
B A A T T T T T T T T T +-=-+-=+=+=+∴=-=
所以结论成立
例5：设A 是n 阶方阵，满足E AA T =,且1-=A ，求E A + 解：由于A E A E A E A A E A AA A E A T T T T +-=+-=+=+=+=+)( 所以02=+E A ，即E A +=0
§2.3矩阵的逆
7.逆矩阵：对于n 阶矩阵A ，如果有一个n 阶矩阵B ，使E BA AB ==，则称矩阵A 是可逆的，并把B 称为A 的逆矩阵。

A 的逆矩阵记为1-A 注意：若A 可逆，则A 的逆唯一
设C B ,都是A 的逆矩阵，则一定有C EC C BA AC B BE B =====)()(
8.伴随矩阵:设)(ij a A =是n 阶方阵, ij A 为行列式A 的各元素ij a 的代数余子式.
记⎥⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=nn n n n n A A A A A A A A A A 2122221
11211*,称*A 为A 的伴随矩阵. 有行列式的按行(列)展开定理,我们可以证明E A A A AA ==**
9.定理:若矩阵A 是n 阶方阵，则A 可逆的充要条件是0≠A ，且A A A *1
=-,其中*A 是A 的伴随矩阵。

证：必要性：A 可逆，即有1-A ，使E AA =-1，故11==-E A A 所以0≠A 充分性：设0≠A ，由伴随矩阵的性质，有E A A A AA ==** 因0≠A ，则E A A A A A A ==**,这说明A 是可逆的，且A
A A *1=-
证 由例1知：E A A A AA ==** 因0≠A ，故有E A A A
A A A ==**11 所以有逆矩阵的定义，既有*11A A A =
- 10.推论：若E AB =（或E BA =），则1-=A B 证 1==E B A ，故0≠A ，因而1-A 存在，且1111)()(----=====A E A AB A B A A EB B
11.方程的逆矩阵满足下述运算规律
①若A 可逆，则1-A 也可逆，且A A =--11)( ②若A 可逆，数0≠λ，则A λ可逆，且111
)(--=A A λλ
③若B A .为同阶矩阵且均可逆，则B A .也可逆，且111)(---=A B AB ④若A 可逆，则1-A 也可逆，且1
1--=A A ⑤若A 可逆，则T A 也可逆，且T T A A )()(11--= ⑥设),,(21n diag A λλλ =是对角矩阵,则A 可逆的充要条件是)2,1(0n i i =≠λ，且),,(112111----=n diag A λλλ .
例2 求方程⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=343122321.A 的逆矩阵
解 023********≠=⋅+⋅+⋅=A A A A ，知1-A 存在
2.11=A 6.21=A 4.31-=A
3.12-=A 6.22-=A 532=A
2.13=A 2.23=A 2.33-=A
于是.A 的伴随矩阵为
⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=222563462.*A ,所以⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----==-1112532323
11.*1A A A
注：利用伴随矩阵法求逆矩阵的主要步骤是
1. 求矩阵.A 的行列式A ，判断.A 是否可逆；
2. 若1.-A 存在，求.A 的伴随矩阵*.A ；
3. 利用公式*11A A A =
-，求1.-A 小结与提问:
小结：本讲介绍了方程的行列式、逆矩阵及其求法 提问：求逆矩阵应注意什么？
课外作业:
P62 8. 9. 13. 15.。