江苏省扬州市广陵区2020年中考数学模拟卷

2020年江苏省扬州市广陵区中考
数学模拟试卷
一．选择题（共8小题）
1．计算10+（﹣24）÷8+2×（﹣6）的结果是（）
A．﹣5 B．﹣1 C．1 D．5
2．一个正常人的心跳平均每分钟70次，一天大约跳的次数用科学记数法表示这个结果是（）
A．1.008×105B．100.8×103C．5.04×104D．504×102
3．（3分）下列运算正确的是（）
A．x6÷x2=x3B．2x﹣1=C．（﹣2x3）2=4x6D．﹣2a2•a3=﹣2a6
4．（3分）﹣sin60°的倒数为（）
A．﹣2 B．C．﹣D．﹣
5．（3分）某青年排球队12名队员的年龄情况如表：
年龄18 19 20 21 22
人数 1 4 3 2 2
则这个队队员年龄的众数和中位数是（）
A．19，20 B．19，19 C．19，20.5 D．20，19
6．（3分）不等式组的解集在数轴上可以表示为（（）
A．B． C． D．
7．（3分）下列事件中，属于确定事件的个数是（）
（1）打开电视，正在播广告；
（2）投掷一枚普通的骰子，掷得的点数小于10；
（3）射击运动员射击一次，命中10环；
（4）在一个只装有红球的袋中摸出白球．
A．0 B．1 C．2 D．3
8．（3分）关于x的方程rx2+（r+2）x+r﹣1=0有根只有整数根的一切有理数r的值有（）
个．
A．1 B．2 C．3 D．不能确定
二．填空题（共10小题，满分30分，每小题3分）
9．（3分）科学家发现，距离地球2540000光年之遥的仙女星系正在向银河系靠近．其中2540000用科学记数法表示为．
10．（3分）分解因式： a2﹣a+2= ．
11．（3分）反比例函数和一次函数y=k2x+b的图象交于点M（3，﹣）和点N（﹣1，2），则k1= ，k2= ，一次函数的图象交x轴于点．
12．（3分）某电信局现有300部已申请装机的电话等待装机．假设每天新申请装机的电话部数相同，该电信局每个电话装机小组每天装的电话部数也相同，那么安排3个装机小组，恰好30天可将需要装机的电话全部装完；如果安排5个装机小组，则恰好10天可将需要装机的电话全部装完．试求每个电话装机小组每天装机多少部？每天有多少部新申请装机的电话？
13．（3分）抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）过点A（1，﹣3）、B（3，﹣3）、C（﹣1，5），顶点为M点．在抛物线上是找一点P使∠POM=90°，则P点的坐标．
14．（3分）某市对九年级学生进行“综合素质”评价，评价结果分为A，B，C，D，E五个等级．现随机抽取了500名学生的评价结果作为样本进行分析，绘制了如图所示的统计图．已知图中从左到右的五个长方形的高之比为2：3：3：1：1，据此估算该市80000名九年级学生中“综合素质”评价结果为“A”的学生约为人．
15．（3分）如图，已知AB∥CD，CE、BE的交点为E，现作如下操作：
第一次操作，分别作∠ABE和∠DCE的平分线，交点为E1，
第二次操作，分别作∠ABE1和∠DCE1的平分线，交点为E2，
第三次操作，分别作∠ABE2和∠DCE2的平分线，交点为E3，…，
第n次操作，分别作∠ABE n﹣1和∠DCE n﹣1的平分线，交点为E n．
若∠E n=1度，那∠BEC等于度
16．（3分）如图，在菱形ABCD中，∠B=60°，对角线AC平分角∠BAD，点P是△ABC内一点，连接PA、PB、PC，若PA=6，PB=8，PC=10，则菱形ABCD的面积等于．
17．（3分）如图，AB是⊙O的直径，AB=15，AC=9，则tan∠ADC= ．
18．（3分）如图，直线y1=kx+b与直线y2=mx交于点P（1，m），则不等式mx＞kx+b的解集是．
三．解答题（共10小题，满分96分）
19．（8分）（1）（﹣2）﹣1﹣|﹣|+（3.14﹣π）0+4cos45°
（2）已知x2﹣2x﹣7=0，求（x﹣2）2+（x+3）（x﹣3）的值．
20．（8分）当x满足条件时，求出方程x2﹣2x﹣4=0的根．
21．（8分）某校九年级开展征文活动，征文主题只能从“爱国”“敬业”“诚信”“友善”
四个主题选择一个，九年级每名学生按要求都上交了一份征文，学校为了解选择各种征文主题的学生人数，随机抽取了部分征文进行了调查，根据调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图．
（1）求共抽取了多少名学生的征文；
（2）将上面的条形统计图补充完整；
（3）在扇形统计图中，选择“爱国”主题所对应的圆心角是多少；
（4）如果该校九年级共有1200名学生，请估计选择以“友善”为主题的九年级学生有多少名．
22．（8分）小明学习电学知识后，用四个开关按键（每个开关按键闭合的可能性相等）、一个电源和一个灯泡设计了一个电路图
（1）若小明设计的电路图如图1（四个开关按键都处于打开状态）如图所示，求任意闭合一个开关按键，灯泡能发光的概率；
（2）若小明设计的电路图如图2（四个开关按键都处于打开状态）如图所示，求同时时闭合其中的两个开关按键，灯泡能发光的概率．（用列表或树状图法）
23．（10分）列方程解应用题：
某城市为了治理污水，需要铺设一条全长为3000米的污水排放管道．为使工程提前10天完成，在保证质量的前提下，必须把工作效率提高25%．问原计划每天铺设管道多少米？24．（10分）如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD的中点，延长BE到F，使BE=EF，连接AF、CF、DF．
（1）求证：AF=BD；
（2）若AB⊥AC，试判断四边形ADCF的形状，并证明你的结论．
25．（10分）有一个二次函数满足以下条件：
①函数图象与x轴的交点坐标分别为A（1，0），B（x2，y2）（点B在点A的右侧）；
②对称轴是x=3；
③该函数有最小值是﹣2．
（1）请根据以上信息求出二次函数表达式；
（2）将该函数图象x＞x2的部分图象向下翻折与原图象未翻折的部分组成图象“G”，平行于x轴的直线与图象“G”相交于点C（x3，y3）、D（x4，y4）、E（x5，y5）（x3＜x4＜x5），结合画出的函数图象求x3+x4+x5的取值范围．
26．（10分）如图，AB是⊙O的直径，点P在BA的延长线上，弦CD⊥AB于点E，OE：EA=1：2，PA=6，∠POC=∠PCE．
（1）求证：PC是⊙O的切线；
（2）求⊙O的半径；
（3）求sin∠PCA的值．
27．（12分）在△ABC中，AB=AC，∠BAC=α，点P是△ABC内一点，且∠PAC+∠PCA=，连接PB，试探究PA、PB、PC满足的等量关系．
（1）当α=60°时，将△ABP绕点A逆时针旋转60°得到△ACP′，连接PP′，如图1所示．由△ABP≌△ACP′可以证得△APP′是等边三角形，再由∠PAC+∠PCA=30°可得∠APC的大小为度，进而得到△CPP′是直角三角形，这样可以得到PA、PB、PC满足的等量关系为；
（2）如图2，当α=120°时，参考（1）中的方法，探究PA、PB、PC满足的等量关系，并给出证明；
（3）PA、PB、PC满足的等量关系为．
28．（12分）如图1，在平面直角坐标系中，一次函数y=﹣2x+8的图象与x轴，y轴分别交于点A，点C，过点A作AB⊥x轴，垂足为点A，过点C作CB⊥y轴，垂足为点C，两条垂线相交于点B．
（1）线段AB，BC，AC的长分别为AB= ，BC= ，AC= ；
（2）折叠图1中的△ABC，使点A与点C重合，再将折叠后的图形展开，折痕DE交AB于点D，交AC于点E，连接CD，如图2．
请从下列A、B两题中任选一题作答，我选择题．
A：①求线段AD的长；
②在y轴上，是否存在点P，使得△APD为等腰三角形？若存在，请直接写出符合条件的所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．
B：①求线段DE的长；
②在坐标平面内，是否存在点P（除点B外），使得以点A，P，C为顶点的三角形与△ABC 全等？若存在，请直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题，满分18分）
1．
【解答】解：原式=10﹣3﹣12=10﹣15=﹣5，
故选：A．
2．
【解答】解：∵一个正常人的平均心跳速率约为每分钟70次，
∴一天24小时大约跳：24×60×70=10080=1.008×105（次）．
故选：A．
3．
【解答】解：A、原式=x4，不符合题意；
B、原式=，不符合题意；
C、原式=4x6，符合题意；
D、原式=﹣2a5，不符合意义，
故选：C．
4．
【解答】解：﹣sin60°=﹣，
则﹣sin60°的倒数=﹣=﹣，
故选：D．
5．
【解答】解：数据19出现了四次最多为众数；20和20处在第6位和第7位，其平均数是20，所以中位数是20．
所以本题这组数据的中位数是20，众数是19．
故选：A．
6．
【解答】解：
∵由不等式①得：x≥﹣1，
由不等式②得：x＜1，
∴不等式组的解集为﹣1≤x＜1，
∴不等式组的解集在数轴上可以表示为：
故选：B．
7．
【解答】解：（1）（3）属于随机事件；
（4）是不可能事件，属于确定事件；
（2）是必然事件，属于确定事件；
故属于确定事件的个数是2，
故选：C．
8．
【解答】解：（1）若r=0，x=，原方程无整数根；（2）当r≠0时，x1+x2=﹣，x1x2=；
消去r得：4x1x2﹣2（x1+x2）+1=7，
即（2x1﹣1）（2x2﹣1）=7，
∵7=1×7=（﹣1）×（﹣7），
∴①，解得，
∴1×4=，解得r=﹣；
②，解得；
同理得：r=﹣，
③，解得，r=1，
④，解得，r=1．
∴使得关于x的方程rx2+（r+2）x+r﹣1=0有根且只有整数根的r值是﹣或1，故选：B．
二．填空题（共10小题，满分30分，每小题3分）
9．
【解答】解：2540000用科学记数法表示为2.54×106．
故答案为：2.54×106．
10．
【解答】解： a2﹣a+2
=（a2﹣6a+9）
=（a﹣3）2．
故答案为：（a﹣3）2．
11．
【解答】解：∵M（3，﹣）和点N（﹣1，2）为两函数的交点，
∴x=﹣1，y=2代入反比例函数y=中得：2=，即k1=﹣2；
将两点坐标代入y=k2x+b得：，
解得：k1=﹣，b=，
∴一次函数解析式为y=﹣x+，
令y=0，解得：x=2，
∴一次函数与x轴交点为（2，0）．
故答案为：﹣2；﹣；（2，0）
12．
【解答】解：设每个电话装机小组每天装机x部，每天有y部新申请装机的电话，
根据题意得：，
解得：，
答：每个装机小组每天装机10部，每天有20部新申请装机的电话．
13．
【解答】解：抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）过点A（1，﹣3）、B（3，﹣3）、C（﹣1，5），
所以，解得：，
所以抛物线的解析式为：y=x2﹣4x=（x﹣2）2﹣4，顶点M坐标是（2，﹣4），
因此直线OM的解析式为y=﹣2x，
由于直线PO与直线OM垂直，因此直线PO的解析式为y=x，
联立抛物线的解析式有：
，解得，，
因此P点坐标为（，）．
14．
【解答】解：该市80000名九年级学生中“综合素质”评价结果为“A”的学生约为
，
故答案为：16000
15．
【解答】解：如图①，过E作EF∥AB，
∵AB∥CD，
∴AB∥EF∥CD，
∴∠B=∠1，∠C=∠2，
∵∠BEC=∠1+∠2，
∴∠BEC=∠ABE+∠DCE；
如图②，∵∠ABE和∠DCE的平分线交点为E1，
∴∠CE1B=∠ABE1+∠DCE1=∠ABE+∠DCE=∠BEC．
∵∠ABE1和∠DCE1的平分线交点为E2，
∴∠BE2C=∠ABE2+∠DCE2=∠ABE1+∠DCE1=∠CE1B=∠BEC；如图②，∵∠ABE2和∠DCE2的平分线，交点为E3，
∴∠BE3C=∠ABE3+∠DCE3=∠ABE2+∠DCE2=∠CE2B=∠BEC；…
以此类推，∠E n=∠BEC．
∴当∠E n=1度时，∠BEC等于2n度．
故答案为：2n ．
16．
【解答】解：将线段AP绕点A顺时针旋转60°得到线段AM，连接PM，作AH⊥BP于H．
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC，∵∠ABC=60°，
∴△ABC是等边三角形，
∵AM=AP，∠MAP=60°，
∴△AMP是等边三角形，
∵∠MAP=∠BAC，
∴∠MAB=∠PAC，
∴△MAB≌△PAC，
∴BM=PC=10，
∵PM2+PB2=100，BM2=100，
∴PM2+PB2=BM2，
∴∠MPB=90°，∵∠APM=60°，
∴∠APB=150°，∠APH=30°，
∴AH=PA=3，PH=3，BH=8+3，
∴AB2=AH2+BH2=100+48，
∴菱形ABCD的面积=2•△ABC的面积=2××AB2=50+72，
故答案为50+72．
17．
【解答】解：∵AB为⊙O直径，
∴∠ACB=90°，
∴BC==12，
∴tan∠ADC=tanB===，
故答案为．
18．
【解答】解：∵直线y1=kx+b与直线y2=mx交于点P（1，m），∴不等式mx＞kx+b的解集是x＞1，
故答案为：x＞1．
三．解答题（共10小题，满分96分）
19．
【解答】解：（1）原式=﹣﹣2+1+2=；
（2）原式=x2﹣4x+4+x2﹣9=2x2﹣4x﹣5=2（x2﹣2x）﹣5，
∵x2﹣2x﹣7=0，即x2﹣2x=7，
∴原式=14﹣5=9．
20．
【解答】解：解不等式x+1＜3x﹣3，得：x＞2，
解不等式3（x﹣4）＜2（x﹣4），得：x＜4，
则不等式组的解集为2＜x＜4，
∵x2﹣2x=4，
∴x2﹣2x+1=4+1，即（x﹣1）2=5，
则x﹣1=±，
∴x=1或x=1﹣，
∵2＜x＜4，
∴x=1．
21．
【解答】解：（1）本次调查共抽取的学生有3÷6%=50（名）．
（2）选择“友善”的人数有50﹣20﹣12﹣3=15（名），
条形统计图如图所示：
（3）∵选择“爱国”主题所对应的百分比为20÷50=40%，
∴选择“爱国”主题所对应的圆心角是40%×360°=144°；
（4）该校九年级共有1200名学生，估计选择以“友善”为主题的九年级学生有1200×30%=360名．
22．
【解答】解：（1）一共有四个开关按键，只有闭合开关按键K2，灯泡才会发光，
所以P（灯泡发光）=
（2）用树状图分析如下：
一共有12种不同的情况，其中有6种情况下灯泡能发光，
所以P（灯泡发光）=．
23．
【解答】解：设原计划每天铺设多长管道设原计划每天铺设x米管道，根据题意得
．
解得x=60，
经检验x=60是原分式方程的解．
答：原计划每天铺设60米长的管道．
24．
【解答】（1）证明：∵AE=ED，BE=EF，
∴四边形ABDF是平行四边形，
∴AF=BD．
（2）结论：四边形ADCF是菱形．
理由：∵AB⊥AC，
∴∠CAB=90°，
∵CD=DB，
∴AD=BC=DC，
∵四边形ABDF是平行四边形，
∴AF∥CD，AF=BD，
∴AF=CD，
∴四边形AFCD是平行四边形，
∵DA=DC，
∴四边形AFCD是菱形．
25．
【解答】解：（1）有上述信息可知该函数图象的顶点坐标为：（3，﹣2）设二次函数表达式为：y=a（x﹣3）2﹣2．
∵该图象过A（1，0）
∴0=a（1﹣3）2﹣2，解得a=．
∴表达式为y=（x﹣3）2﹣2
（2）如图所示：
由已知条件可知直线与图形“G”要有三个交点
1当直线与x轴重合时，有2个交点，由二次函数的轴对称性可求x3+x4=6，∴x3+x4+x5＞11．
当直线过y=（x﹣3）2﹣2的图象顶点时，有2个交点，
由翻折可以得到翻折后的函数图象为y=﹣（x﹣3）2+2
∴令（x﹣3）2+2=﹣2时，解得x=3+2或x=3﹣2（舍去）
∴x3+x4+x5＜9+2．
综上所述11＜x3+x4+x5＜9+2．
26．
【解答】解：（1）证明：∵弦CD⊥AB于点E，
∴在Rt△COE中∠COE+∠OCE=90°，
∵∠POC=∠PCE，
∴∠PCE+∠OCE=90°，即PC⊥OC，
∴PC是⊙O的切线；
（2）∵OE：EA=1：2，PA=6，
∴可设OE=k，EA=2k，则半径r=3k，
在Rt△COP中，
∵CE⊥PO垂足为E，
∴△COE∽△POC，
∴CO2=OE•OP即（3k）2=k•（3k+6），
解得k=0（舍去）或k=1，
∴半径r=3；
（3）过A作AH⊥PC，垂足为H，
∵PC⊥OC∴AH∥OC，
∴，即，解得AH=2，
在Rt△COE中，由OC=3，OE=1，解得CE=，
在Rt△ACE中，由CE=，AE=2，解得AC=，
在Rt△ACH中，由AC=，AH=2，
∴sin∠PCA===．
27．
【解答】解：（1）∵△ABP≌△ACP′，
∴AP=AP′，
由旋转变换的性质可知，∠PAP′=60°，P′C=PB，
∴△PAP′为等边三角形，
∴∠APP′=60°，
∵∠PAC+∠PCA==30°，
∴∠APC=150°，
∴∠P′PC=90°，
∴PP′2+PC2=P′C2，
∴PA2+PC2=PB2，
故答案为：150，PA2+PC2=PB2；
（2）如图2，作将△ABP绕点A逆时针旋转120°得到△ACP′，连接PP′，
作AD⊥PP′于D，
由旋转变换的性质可知，∠PAP′=120°，P′C=PB，
∴∠APP′=30°，
∵∵∠PAC+∠PCA==60°，
∴∠APC=120°，
∴∠P′PC=90°，
∴PP′2+PC2=P′C2，
∵∠APP′=30°，
∴PD=PA，
∴PP′=PA，
∴3PA2+PC2=PB2；
（3）如图2，与（2）的方法类似，
作将△ABP绕点A逆时针旋转α得到△ACP′，连接PP′，作AD⊥PP′于D，
由旋转变换的性质可知，∠PAP′=α，P′C=PB，
∴∠APP′=90°﹣，
∵∵∠PAC+∠PCA=，
∴∠APC=180°﹣，
∴∠P′PC=（180°﹣）﹣（90°﹣）=90°，
∴PP′2+PC2=P′C2，
∵∠APP′=90°﹣，
∴PD=PA•cos（90°﹣）=PA•sin，
∴PP′=2PA•sin，
∴4PA2sin2+PC2=PB2，
故答案为：4PA2sin2+PC2=PB2．
28．
【解答】解：（1）∵一次函数y=﹣2x+8的图象与x轴，y轴分别交于点A，点C，∴A（4，0），C（0，8），
∴OA=4，OC=8，
∵AB⊥x轴，CB⊥y轴，∠AOC=90°，
∴四边形OABC是矩形，
∴AB=OC=8，BC=OA=4，
在Rt△ABC中，根据勾股定理得，AC==4，
故答案为：8，4，4；
（2）A、①由（1）知，BC=4，AB=8，
由折叠知，CD=AD，
在Rt△BCD中，BD=AB﹣AD=8﹣AD，
根据勾股定理得，CD2=BC2+BD2，
即：AD2=16+（8﹣AD）2，
∴AD=5，
②由①知，D（4，5），
设P（0，y），
∵A（4，0），
∴AP2=16+y2，DP2=16+（y﹣5）2，
∵△APD为等腰三角形，
∴Ⅰ、AP=AD，
∴16+y2=25，
∴y=±3，
∴P（0，3）或（0，﹣3）
Ⅱ、AP=DP，
∴16+y2=16+（y﹣5）2，
∴y=，
∴P（0，），
Ⅲ、AD=DP，25=16+（y﹣5）2，
∴y=2或8，
∴P（0，2）或（0，8）．
B、①、由A①知，AD=5，
由折叠知，AE=AC=2，DE⊥AC于E，
在Rt△ADE中，DE==，
②、∵以点A，P，C为顶点的三角形与△ABC全等，
∴△APC≌△ABC，或△CPA≌△ABC，
∴∠APC=∠ABC=90°，
∵四边形OABC是矩形，
∴△ACO≌△CAB，此时，符合条件，点P和点O重合，即：P（0，0），
如图3，
过点O作ON⊥AC于N，
易证，△AON∽△ACO，
∴，
∴，
∴AN=，
过点N作NH⊥OA，
∴NH∥OA，
∴△ANH∽△ACO，
∴，
∴，
∴NH=，AH=，
∴OH=，
∴N（，），
而点P2与点O关于AC对称，
∴P2（，），
同理：点B关于AC的对称点P1，同上的方法得，P1（﹣，），即：满足条件的点P的坐标为：（0，0），（，），（﹣，）．。