光在球面上的反射与折射球面镜成像球面镜的焦距

§1.4、光在球面上的反射与折射

1.4.1、球面镜成像

（1）球面镜的焦距球面镜的反射仍遵从反射定律，法线是球面的半径。一束近主轴的平行光线，经凹镜反射后将会聚于主轴上一点F （图1-4-1），这F 点称为凹镜的焦点。一束近主轴的平行光线经凸面镜反射后将发散，反向延长可会聚于主轴上一点F （图1-4-2），这F 点称为凸镜的虚焦点。焦点F 到镜面顶点O 之间的距离叫做球面镜的焦距f 。可以证明，球面镜焦距f 等于球面半径R 的一半，即

2R

f =

（2）球面镜成像公式 根据反射定律可以推导出球面镜的成像公式。下面以凹镜为例来推导：（如图1-4-3所示）设在凹镜的主轴上有一个物体S ，由S 发出的射向凹镜的光线镜面A 点反射后与主轴交于S '点，半径CA 为反射的法线，S '即S 的像。根据反射定律，

AC S SAC '∠=∠，则CA 为S SA '角A 的平分线，根据角平分线的性质有

C

F

图1-4-1

图1-4-2

S C CS

S A AS '=

' ①

由为SA 为近轴光线，所以O S S A '='，SO AS

=，①式可改写为

S C CS

S O OS '=

' ②

②式中OS 叫物距u ，S O '叫像距v ，设凹镜焦距为f ，则

f u OC OS CS

2-=-=

υ-='-='f S O OC S C 2

代入①式

υ

υ

--=

f f

u u

22

化简

f u 111=+υ 这个公式同样适用于凸镜。使用球面镜的成像公式时要注意：凹镜焦距f 取正，凸镜焦距f 取负；实物u 取正，虚物u 取负；实像v 为正，虚像v 为负。

f u 111=+υ

上式是球面镜成像公式。它适用于凹面镜成像和凸面镜成像，各量符号遵循“实取正，虚取负”的原则。凸面镜的焦点是虚的，因此焦距为负值。在成像中，像长 和物长h 之比为成像放大率，用m 表示，

u h h m υ='=

由成像公式和放大率关系式可以讨论球面镜成像情况，对于凹镜，如表Ⅰ所列；对于凸镜，如表Ⅱ所列。

表Ⅰ 凹镜成像情况

物的性质 物的位置

像的位置 像的大小 像的正倒 像的虚实

实物

∞

同侧f 缩小 倒 实 ∞～2f

同侧f ～2f 缩小 倒 实 2f 同侧2f 等大 倒 实 2f ～f 同侧f ～2f

放大 倒 实 f ∞ 放大 f ～0

异侧∞～

0 放大

正

虚

虚物

∞

异侧0～f

缩小 正 实

表Ⅱ 凸镜成像情况

物的性质物的位置像的位置像的大小像的正倒像的性质实物

f～

∞同侧0～f 缩小正虚

虚物∞～2f 同侧f～2f 缩小倒虚2f 同侧2f 等大倒虚f～2f 同侧∞～

2f

放大倒虚f ∞

f～0

异侧

∞～

放大正实

（3）球面镜多次成像球面镜多次成像原则：只要多次运用球面镜成像公式即可，但有时前一个球面镜反射的光线尚未成像便又遇上了后一个球面镜，此时就要引进虚像的概念。

如图1-4-4所示，半径为R的凸镜和凹镜主轴相互重合放置，两镜顶点

O 1、 O

2

相距2.6R，现于主轴上距凹镜顶点O

1

为0.6R处放一点光源S。设点

光源的像只能直接射到凹镜上，问S经凹镜和凸镜各反射一次后所成的像在

何处？

1

O

S

2

S

1

S

2

O

图1-4-4

S 在凹镜中成像，

R

u 6.01=，R f 2

11=

111111f u =+υ

R R 2

16.011=

+υ

可解得 R 31=υ R O O 6.221=,

根据题意：所以凹镜反射的光线尚未成像便已又被凸镜反射，此时可将凹镜原来要成像1S 作为凸镜的虚物来处理， R R R u 4.0)36.2(2

-=-=，2

2R f -

= 2

22111f u =+υ

R R 2

14.012-=+-

υ

可解得 R 22=υ

说明凸镜所成的像2S 和S 在同一位置上。 1.4.2、球面折射成像 （1）球面折射成像公式 （a ）单介质球面折射成像

如图1-4-5所示，如果球面左、右方的折射率分别为1和n ，S '为S 的像。因为i 、r 均很小，行以

n r

i

r i ==sin sin ① 因为 αθ+=i ，βθ-=r

代入①式可有

)(βθαθ-=+n r ②

对近轴光线来说，α、θ、β同样很小，所以有

u x =

α，R x =θ，υβx =

代入②式可得

R n n u 11-=

+υ

i

u S O

1

αθ

βr v

n

C S '

图1-4-5

当∞→u 时的v 是焦距f ，所以

n n R f ⋅-=

1

（b ）双介质球面折射成像

如图1-4-6所示，球形折射面两侧的介质折射率分别n 1和n 2，C 是球心，O 是顶点，球面曲率半径为R ，S 是物点，S '是像点，

对于近轴光线

2211i n i n =

βα+=1i ， θβ-=2i ，

u A 0=α，R A 0

=

β，v A 0=θ 联立上式解得

r n n v

n u n 1

221-=

+ 这是球面折射的成像公式，式中u 、υ的符号同样遵循“实正虚负”的法则，

对于R ；则当球心C 在出射光的一个侧，（凸面朝向入射光）时为正，当球心C 在入射光的一侧（凹面朝向入射光）时为负。

若引入焦点和焦距概念，则当入射光为平行于主轴的平行光（u=∝）时，出射光（或其反向延长线）的交点即为第二焦点，（也称像方焦点），此时像距

α

β

θ

2

i 2

i O

图1-4-6