完全数是什么
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完全数是什么？
王锦根皖黄山市黄山区装饰局245700
摘要：通过完全数的求证和推导，推导出完全数公式，并利用完全数公式得出奇完全数是不存在的，并且证明完全数的尾数为6或8。
关键词：完全数完全数公式
一、概念
已知自然数a 和 b ，如果b 能够整除 a ，就是说b 是 a 的一个因数，
也称为约数。显然，任何自然数 a ，总有因数 1 和a ，我们把小于 a 的因数叫做a 的真因数。
完全数：一个自然数等于它的真因数之和，这个数便称为完全数。如：
6 的真因数1，2，3，且有6=1+2+3，
28 的真因数1，2，4，7，14，且有28 = 1+2+4+7+14
……
二、完全数的几个性质
完全数有许多有趣的性质：
1、它们都能写成连续自然数之和。
如： 6 = 1+2+3 ；
28 = 1+2+3+4+5+6+7 ；
496 = 1+2+3+……+30+31；
……。
2、它们的全部因数的倒数之和都是2。
如： 1/1+1/2+1/3+1/6 = 2，
1/1+1/2+1/4+1/7+1/14+1/28 = 2，
……。
3、完全数公式：
设
)(22
1
1
N a k p p
p
p
p
i i
kn n
ki i
k k ∈⨯
⨯⨯
⨯⨯
=
为素数，
依据定义
a k k i a kn
n
ki
i k k kn n
ki i
k k p p p p p p p p p p p p
p
p
p
-⨯⨯⨯⨯⨯=⨯
⨯⨯
⨯⨯
=
+++++++++++++++)21()1)2111)211111(1(1(1
11
122
1
1
如果
)21()1)2111)2111211(1(1(1
11
122
1
1
kn
n
ki
i k k kn n
ki i
k k p p p p p p p p p p p p
p
p
p
k k i a +++++++++++++++⨯⨯⨯⨯⨯=⨯
⨯⨯
⨯⨯
=
则 a 便是完全数，上述公式便是完全数公式。
三、完全数公式的应用
有了完全数公式，对于一个数是否是完全数，只要代入公式一试即可。
例1、 a = 2n×p k 是完全数的条件是什么？（p为奇素数，k∈N ）解：按完全数公式得
2 ×2n×p k =（ 1 +2 + 22 + …+ 2n）×（1+ p + p2 + …+ p k）
= 2n+1×p k =（2n+1 - 1 ）×(p k+1-1) / (p-1)
∵( 2n+1，2n+1- 1 ) = 1, ( p k ，1+ p+ p2+…+ p k ) = 1，
当且仅当2n+1= ( p k+1-1 ) / ( p-1 ) ，p k= 2n+1- 1 ，→p ( p k-1- 1 ) = 0。
∵p ≠0 ，1。∴k = 1 ，p = 2n+1 - 1 。
∴ a = 2n×p k是完全数的条件是k = 1 ，p = 2n+1 - 1 ，即是人们所说的偶完全数。
从2n+1 - 1分解看，n+1 必为素数，因此偶完全数还可表示为 a = 2 p-1×（2p-1），其中：2 p -1 为素数。
由于2 p - 1 为是梅森素数，所以有多少梅森素数，至少有多少偶完全数。
现在我们解释一下，为什么完全数有性质1现象，因为1+2+3…
+（2p -1）＝（1+2p -1）×（2p –1）/2＝2 p-1 ×（2p -1），所以有性质1现象。
（注：其实2n+1= ( p k+1-1 ) / ( p-1) ，根据不可约原理。 当K=4L+1时，左边为2因子，右边含有奇数因子。 当K=4L-1时，得出p=3是不符合条件 当且仅当 k ＝1时，p = 2n+1 – 1 例2、a = 2×p k 是完全数的条件是什么？
解：按完全数公式得
2 ×2 × p k =（ 1 +2 ）×（1+ p + p 2 + … + p k ） p k =
3 ，k=1，p=3，a=6 ，是偶完全数的一个特例。 例3、 求 22
1
1
2k k n
p
p
a ⨯
⨯
=
为完全数的条件（P 1 ，P 2 为奇素数，k 1，
k 2∈N ）。
解：按完全数公式有
)1
)1
(
)1(21
2122
1
11
11
1
22
1
1
2
2p
p
p
p
p
p
k k n k k n -+-++-⨯
-⨯-=⨯
⨯⨯
按不可约原理设
第一种情形：
1
1
1
22
1
1
1
1
11
1
111
2
1
22
1
11
1
112
2
-------=
+++++p p p
p
p p
p p k n k k k k n ＝，＝，＝ 化简整理得： )1(2
2
1
1
21-+
⨯-p
p p p k ＝，