能控性和能观测性-2讲
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9
4.4 线性系统的能控标准形和能观标准形
实质：对系统状态空间表达式进行非奇异线 性变换
关键：在于寻找相应的变换矩阵。 理论依据：非奇异变换不改变系统的自然模
态及能控、能观性
注意：只有系统完全能控（能观）才能化 成能控（能观）标准型
10
4.4 线性系统的能控标准形和能观标准形
一、能控标准形
如果一个系统的状态空间表达式为：
x1 0 1 0 0 x1 0
x2
0
0
1
0
x2
0
0u 能
xn1
0
0
0 1 xn1
控 标
xn a0 a1 a2 an1 xn 1
准 形
y C 0C 1C 2 C n 1 x
则，该系统一定完全能控。
11
回顾：第二章讲
过，根据传递函数
G (s)bn s n 1s n a 1n 1b sn n 2 1s n 2 a 1b s1 s a0 b0
P 1 [bA b A n 1 b ] [00 1]
P 1 [ 0 0 0 1 b A ] [A b n 1 b ] 1 17
4.4 线性系统的能控标准形和能观标准形
例4.13 试将下列系统变换为能控标准形
x 11
1
0
x11u
y1 0x
解：（1）先判别系统的能控性
Qc b
Ab11
好处
对于状态转移矩阵的计算、对能控性和能观性的分析 十分方便。
能控标准型对于 状态反馈比较方便
能观标准型对于 状态观测器的设计 及系统辩识比较方便
8
4.4 线性系统的能控标准形和能观标准形 能控标准形是指在一组基底下，将能控性矩阵中的 A 和 B 表现为能控的标准形式。
能观标准形是指在一组基底下，将能观性矩阵中的 A 和 C 表现为能观的标准形式。
P1AP2
P2AP1A2 P3
P n2AP 1An2P n1
Pn1AP 1An1Pn
16
4.4 线性系统的能控标准形和能观标准形
P1
P
P1 A
P1
A
n
1
0
b
Pb
P1 b P1 A b
0
0
P1
A
n
1
b
1
0
b
P
1
Ab
A
n
1b
0
0
1
3
4.3 对偶原理
1 系统结构图
2 系统结构图
输入输出互换；
信号传递反向；
信号引出与综合点互换；
各矩阵转置。
4
4.3 对偶原理 1、对偶系统的传递函数矩阵互为转置。
G 1(s)C 1(sIA 1) 1B 1
G 2 ( s ) C 2 ( s I A 2 ) 1 B 2 B 1 T ( s I A 1 T ) 1 C 1 T
0
APAP1
0
0
0
1
0
a0 a1 a2 an1
0wenku.baidu.com
b P b 0
s IA sn a n 1 sn 1 a 1 s a 0
C C - 1 C P 0C 1C 2 C n 1
1
14
4.4 线性系统的能控标准形和能观标准形
P1
且线性变换矩阵： P
0 1
rankcQ 2
∴ 系统是能控的
18
4.4 线性系统的能控标准形和能观标准形
（2）计算非奇异变化矩阵
Qc1b
Ab111
0 1
P1
1
0
1 1
19
4.4 线性系统的能控标准形和能观标准形
（3）求得能控 标准形：
x Ac x bcu
y Cc x
Modern Control Theory
第四章 线性控制系统的能控性 和能观测性
1
第四章 线性控制系统的能控性和能观测性
本章主要内容 ➢ 线性连续系统的能控性 ➢ 线性连续系统的能观性 ➢ 对偶原理 ➢ 线性系统的能控标准形与能观标准形 ➢ 线性系统的结构分解 ➢ 传递函数矩阵与能控性、能观性的关系
可写出其状态空间表 x Ax bu
达式：
y Cx
能控标准形
0 1 0 0
0
0
1
0
A
0
0
0
1
a0 a1 a2 an1
0
0
b
0
1
C b 0,b 1 b n 1
12
4.4 线性系统的能控标准形和能观标准形
设系统的状态空间表达式为： x Axbu y Cx
P1 A
其中：
P1
A
n
1
p 1 0 0 0 0 1 b A b A 2 b A n 1 b 1
证明： PAAP (由 APAP1推得 )
15
4.4 线性系统的能控标准形和能观标准形
PAAP
0
P1 P2A
Pn
0
0
a0
1 0
0 a1
0 1 0 a2
0
0
a10n1PPP1n2
B 1 T [ s I ( A 1 ) 1 ] T C 1 T [ C 1 ( s I A 1 ) 1 B 1 ] T
G1T(s) 2、互为对偶的系统，其特征值相同。
sIA 2sIA 1TsIA 1
5
4.3 对偶原理
二、对偶原理
系统 1(A 1,B 1,C 1)与 2(A 2,B 2,C 2)是互为 对偶的两个系统， 则 1 的能控性等价于 2 的 能观性, 1 的能观性等价于 2的能控性。或者 说，若 1是状态完全能控的（完全能观的）， 则 2是状态完全能观的（完全能控的）。
1能控 2能观 1能观 2能控
6
4.3 对偶原理 例如：能观标准形---显然能观的
能控标准形——显然能控的
7
4.4 线性系统的能控标准形 和能观标准形
由于状态变量选择的非唯一性，系统的状态空间表 达也不是唯一的。
在实际应用中，常根据所研究问题的需要，将状态 空间表达式化成相应的几种标准形式（如前述的对角标 准型、约当标准型 ）
2
4.3 对偶原理
一、线性定常系统的对偶关系
r维输入, m维输出
的n阶系统
设有两个系统，一个系统 1 x1 A1x1 B1u1
另一个系统 2 x2 A2x2 B2u2 y2 C2x2
y1 C1x1
m维输入, r维输出
的n阶系统
若满足下列条件，则称 1与 2 是互为对偶的。
A 2 A 1 T , B 2 C 1 T , C 2 B 1 T
若系统是完全能控的， Q C[BA B A n 1B ]n
则必定存在非奇异线性变换 xP1x 或 x Px
使其变换成能控标准形：
•
x Axbu
13
4.4 线性系统的能控标准形和能观标准形
x Axbu xP1x
y Cx
x Ax bu y Cx
能控标 准形
非能控 标准形
0 1 0 0
0
0
1
4.4 线性系统的能控标准形和能观标准形
实质：对系统状态空间表达式进行非奇异线 性变换
关键：在于寻找相应的变换矩阵。 理论依据：非奇异变换不改变系统的自然模
态及能控、能观性
注意：只有系统完全能控（能观）才能化 成能控（能观）标准型
10
4.4 线性系统的能控标准形和能观标准形
一、能控标准形
如果一个系统的状态空间表达式为：
x1 0 1 0 0 x1 0
x2
0
0
1
0
x2
0
0u 能
xn1
0
0
0 1 xn1
控 标
xn a0 a1 a2 an1 xn 1
准 形
y C 0C 1C 2 C n 1 x
则，该系统一定完全能控。
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回顾：第二章讲
过，根据传递函数
G (s)bn s n 1s n a 1n 1b sn n 2 1s n 2 a 1b s1 s a0 b0
P 1 [bA b A n 1 b ] [00 1]
P 1 [ 0 0 0 1 b A ] [A b n 1 b ] 1 17
4.4 线性系统的能控标准形和能观标准形
例4.13 试将下列系统变换为能控标准形
x 11
1
0
x11u
y1 0x
解：（1）先判别系统的能控性
Qc b
Ab11
好处
对于状态转移矩阵的计算、对能控性和能观性的分析 十分方便。
能控标准型对于 状态反馈比较方便
能观标准型对于 状态观测器的设计 及系统辩识比较方便
8
4.4 线性系统的能控标准形和能观标准形 能控标准形是指在一组基底下，将能控性矩阵中的 A 和 B 表现为能控的标准形式。
能观标准形是指在一组基底下，将能观性矩阵中的 A 和 C 表现为能观的标准形式。
P1AP2
P2AP1A2 P3
P n2AP 1An2P n1
Pn1AP 1An1Pn
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4.4 线性系统的能控标准形和能观标准形
P1
P
P1 A
P1
A
n
1
0
b
Pb
P1 b P1 A b
0
0
P1
A
n
1
b
1
0
b
P
1
Ab
A
n
1b
0
0
1
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4.3 对偶原理
1 系统结构图
2 系统结构图
输入输出互换；
信号传递反向；
信号引出与综合点互换；
各矩阵转置。
4
4.3 对偶原理 1、对偶系统的传递函数矩阵互为转置。
G 1(s)C 1(sIA 1) 1B 1
G 2 ( s ) C 2 ( s I A 2 ) 1 B 2 B 1 T ( s I A 1 T ) 1 C 1 T
0
APAP1
0
0
0
1
0
a0 a1 a2 an1
0wenku.baidu.com
b P b 0
s IA sn a n 1 sn 1 a 1 s a 0
C C - 1 C P 0C 1C 2 C n 1
1
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4.4 线性系统的能控标准形和能观标准形
P1
且线性变换矩阵： P
0 1
rankcQ 2
∴ 系统是能控的
18
4.4 线性系统的能控标准形和能观标准形
（2）计算非奇异变化矩阵
Qc1b
Ab111
0 1
P1
1
0
1 1
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4.4 线性系统的能控标准形和能观标准形
（3）求得能控 标准形：
x Ac x bcu
y Cc x
Modern Control Theory
第四章 线性控制系统的能控性 和能观测性
1
第四章 线性控制系统的能控性和能观测性
本章主要内容 ➢ 线性连续系统的能控性 ➢ 线性连续系统的能观性 ➢ 对偶原理 ➢ 线性系统的能控标准形与能观标准形 ➢ 线性系统的结构分解 ➢ 传递函数矩阵与能控性、能观性的关系
可写出其状态空间表 x Ax bu
达式：
y Cx
能控标准形
0 1 0 0
0
0
1
0
A
0
0
0
1
a0 a1 a2 an1
0
0
b
0
1
C b 0,b 1 b n 1
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4.4 线性系统的能控标准形和能观标准形
设系统的状态空间表达式为： x Axbu y Cx
P1 A
其中：
P1
A
n
1
p 1 0 0 0 0 1 b A b A 2 b A n 1 b 1
证明： PAAP (由 APAP1推得 )
15
4.4 线性系统的能控标准形和能观标准形
PAAP
0
P1 P2A
Pn
0
0
a0
1 0
0 a1
0 1 0 a2
0
0
a10n1PPP1n2
B 1 T [ s I ( A 1 ) 1 ] T C 1 T [ C 1 ( s I A 1 ) 1 B 1 ] T
G1T(s) 2、互为对偶的系统，其特征值相同。
sIA 2sIA 1TsIA 1
5
4.3 对偶原理
二、对偶原理
系统 1(A 1,B 1,C 1)与 2(A 2,B 2,C 2)是互为 对偶的两个系统， 则 1 的能控性等价于 2 的 能观性, 1 的能观性等价于 2的能控性。或者 说，若 1是状态完全能控的（完全能观的）， 则 2是状态完全能观的（完全能控的）。
1能控 2能观 1能观 2能控
6
4.3 对偶原理 例如：能观标准形---显然能观的
能控标准形——显然能控的
7
4.4 线性系统的能控标准形 和能观标准形
由于状态变量选择的非唯一性，系统的状态空间表 达也不是唯一的。
在实际应用中，常根据所研究问题的需要，将状态 空间表达式化成相应的几种标准形式（如前述的对角标 准型、约当标准型 ）
2
4.3 对偶原理
一、线性定常系统的对偶关系
r维输入, m维输出
的n阶系统
设有两个系统，一个系统 1 x1 A1x1 B1u1
另一个系统 2 x2 A2x2 B2u2 y2 C2x2
y1 C1x1
m维输入, r维输出
的n阶系统
若满足下列条件，则称 1与 2 是互为对偶的。
A 2 A 1 T , B 2 C 1 T , C 2 B 1 T
若系统是完全能控的， Q C[BA B A n 1B ]n
则必定存在非奇异线性变换 xP1x 或 x Px
使其变换成能控标准形：
•
x Axbu
13
4.4 线性系统的能控标准形和能观标准形
x Axbu xP1x
y Cx
x Ax bu y Cx
能控标 准形
非能控 标准形
0 1 0 0
0
0
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