第6章多设施选址问题
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该问题有两方面要求：一是新设施选址；二 是分配新设施给已定位设施。 用启发式算法解此问题。过程见图6.7。
六、选址-分配问题
用启发式算法解此问题： 1. 给定新设施的坐标 2. 把已有设施分配给最近的新设施。 3. 对2步确定的分配，变动新设施坐标(把新设施坐标作为 自变量)，使新设施和分配给该设施的已有设施之间的距 离最小。 4. 如果得到的新设施坐标变化，则回到步骤2，否则回到步 骤1。 5. 重复步骤1至4直到没有总的新设施到已有设施距离的减 少为止。 过程见图6.7。
设z(Nj,Nk)为(Nj,Nk)弧上的最优流， z(Nj,Ei)为(Nj,Ei)弧上的最优流， 则互补松弛条件如下：
三、最小费用流方法
现重新计算例6.3。 设n=2,m=3, p1=(10,15), p2=(20,25), p3=(40,5), 数据见表6.2。
三、最小费用流方法
• 这里 a′=10×6+20×1+40×5=280。网络 构造见图6.4。容易验证：z*=10×12=120, 而a′=280，所以： • f1*=280-120=160,此为在x方向移动的最小 费用。 • 上述算法可采用表格形式。
六、选址-分配问题
• 如果各新设施的类型都相同，同样，所有 已定位设施类型都相同，且每一新设施都 可服务任一已定位设施，则权重和新设施 的地址一样是决策变量。这类问题称为选 址-分配问题。
六、选址-分配问题
例6.7 设新设施1至7的坐标分别为(0,5), (8,5),(5,4),(2,2,),(3,2),(0,0),和(7,0)，要求每 个已定位设施由离它最近的新设施提供服务， 使各设施间折线距离最小化。
输入数据
• 每天计划销售40根电线杆 • 需要的原材料：10立方码混凝土，8400磅 钢材 • 已有设施的坐标：
– 混凝土（10，20） – 钢材加工场（7，6） – 发货场（13，0）
阴影部分表示待定位设施不能放入该区域
用表格表示该选址问题的数据
二、折线距离多设施MINISUM选 址问题
8 6 5 4 3 W＝ 2 3 4 6 7
求新机器的最优放置位置。
三、最小费用网络流方法
• 在x方向移动的总成本是：
• 采用变量替换得线性规划：minimize
三、最小费用流方法
• 构造此线性规划的对偶问题得一最小费用 流问题。该问题构造方法如下：
三、最小费用流方法
5.ω n+1等于矩阵W中所有值的和。定义节点Nn+1为 终点，需求为ωn+1,用有向弧连接节点Ei和Nn+1，容 量为无穷大，费用为ai. • 容易验证：
• 构建G(V,W)图，看其是否为连图，若为非 连通图，则原问题可分解为几个单一设施 选址问题。
• 在G(V,W)图中去掉所有的已有设施点和与 之相关的连线，构建G(V)图，看其是否为 连图，若为非连通图，则原问题可分解为 几个单一设施选址问题。
一、概论
• • • • • • • • 例6.2 已有设施： 混凝土（10，20） 钢材加工场（7，6） 发货场（13，0） 待定位设施： 电杆浇铸场(X1) 安装储存场(X2) 生产定额为每天40根。
• 例6.3 • 设n=2,m=3, p1=(10,15), p2=(20,25), p3=(40,5), 数据见表6.2。
建立线性规划模型，求解：
二、折线距离多设施MINISUM选 址问题
• 最优解为(x*,15),10≤x*≤20,即X1和X2重合， 且为10到20之间的任意值。 • 最优值为160+60=220。
二、折线距离多设施MINISUM选 址问题
练习： 工厂内部有五台机器，位置分别为：P1=(8,20), P2=(10,10), P3=(16,30), P4=(30,10), P5=(40,20).有两台新的机器待安装。 工厂内部走折线距离。根据估计，两台新机器之间每天会有4 趟往返的物料搬运。新机器和已有机器之间每天的往返物料 搬运次数如下：
四、平方欧几里得距离多设施 MINISUM选址问题
• 把 (6.6)式各项分别用下面项代替：
• 得平方欧几里得距离多设施MINISUM选址 问题f2(X1, …,Xn).它是严格凸函数，令各项 偏导数为零得最优解。关于NF t的项为：
＋
由于Vtj=Vjt,进而得到：
求偏导：
令偏导等于零：
三、最小费用流方法
• 下面计算y值。
• 考虑y方向，如何作出网络图？
三、最小费用流方法
• 由图6.4可得最小费用为50+30=80。如何得 出？ • 所以，在y方向移动的总费用为140-80=60。 140是什么的值？
三、最小费用流方法
• 由互补松弛条件得： y1*=b1=15.，y1*=y2*. 检验计算得：f2(15,15)=60. 结果正确。 • 还可用最小费用流算出各节点N1、N2、N3 的标号分别为0,0,-15,由(6.13)式得：y1*=0(-15)=15, y2*= 0-(-15)=10.
一、概论
• 答：欧几里得距离 • X*1=(8.8388,5.7922) • X*2=(9.1645,5.6370) • f(X*1, X*2)=59.7402
• 折线距离： • X*1=X*2=(10,10) • f(X*1, X*2)=70
一、概论
• 设P≥1,一般距离（欧几里得距离、折线距 离、 Tchebychev距离）为：
二、折线距离多设施MINISUM选 址问题
• 再最小化f2,开始点为(4,4)， f2 (4,4) =36，最小化：
• 得y1=4，最小化： • 得y2=4，停止。但4=4，不能确定是否得到最优 解。 • 通过枚举各交点函数值f2(0,0)=24， f2(4,0)=88， f2(0,4)=52， f2(4,4)=36，得(0,0)是最优解。
三、最小费用流方法
设n=2,m=3, p1=(10,15), p2=(20,25), p3=(40,5), 数据见表6.2。
三、最小费用流方法
• 设z*为最小费用流的最优值，f1*为x方向的移动最 小值，则有：
三、最小费用流方法
• 采用对偶算法,设πj为节点Nj的势,计算：
• 则xj*为新设施j的最优地址的x坐标。 • 要计算y坐标只需将上面的a替换成b,x换成y， f1换成f2。
• 得y1=2, f2 (2,8) =66。固定Y1＝2，变化Y2，最小化：
• 得y2 =4， f2 (2,4) =54。最小化：
二、折线距离多设施MINISUM选 址问题
• 得y1=2，再一次得f2 (2,4) =54，停止。 • 我们得到最优解：X*1=(4,2)，X*2=(6,4)， • 最优值是50+54=104。
• Tchebychev距离是：
用表格表示多设施选址问题的数据
图论的相关概念
• 顶点邻接：两个顶点有一条边连接 • 道路：
• 连通图：若图的两顶点之间存在一条道路， 则称此两顶点是连通的。若图的任意两顶 点连通，则称图G是连通的；否则是非连通 的。非连通图可分解为若干连通子图。
根据图论分解原问题
二、折线距离多设施MINISUM选 址问题
• 用变量替换解此问题。设rji为xj在ai右边的 位移量，sji为xj在ai左边的位移量，则有：
引入变量：pjk,表示xj位于xk左边的偏移量， pjk,表示xj 位于xk左边的偏移量，（6.10)被替换为一个线性规划 问题：
二、折线距离多设施MINISUM选 址问题
二、折线距离多设施MINISUM选 址问题
• 例6.5 设m=2, p1=(0,0),p2=(4,4),数据见表 6.4。
• 我们有：
二、折线距离多设施MINISUM选 址问题
• 开始点为(4,0)， f1(4,0)=88，最小化：
• 得x1=0,结果为（0，0），接下来最小化：
• 得x2=0, 结果为（0，0），f1(0,0)=24. 停止。但0=0，不 能确定是否得到最优解。 • 通过枚举各交点的横坐标组合，函数值f1(0,0)=24， f1(4,0)=88， f1(0,4)=52， f1(4,4)=36，得(0,0)是最优解。
得到： 把A, Wa, Wb放在一起得到（A|Wa|Wb），然后 进行矩阵变换得到：
wk.baidu.com
得到：
五、欧几里得距离多设施 MINISUM选址问题
• 把 (6.6)式各项分别用下面项代替：
• 得欧几里得距离多设施MINISUM选址问题 HAP。
定义下面的式子：
则：
迭代过程：
Weiszfeld算法： • 求得初始解的坐标 ( X1(0) , X 2(0) ,..., X n(0) ) 作为候选点坐标 (1) (1) • 求下一组候选点的坐标 ( X1(1) , X 2 ,..., X n ) • 比较前后两个候选点横坐标，若折线距离在允许 的精度范围内，则结束计算。否则，转到上一步。
• 定义矩阵A，它的第t行的各项(除了第t项,即对角 线上的元素)为-1乘以V的第t行，第t项等于V的第t 行的和加上W的第t行的和。则对所有t都有：
• 所以，偏导数等于零等同于下面的线性方程：
• 用此式解例6.1数据问题如下：
用表格表示多设施选址问题的数据
5 25 a 10 0
二、折线距离多设施MINISUM选 址问题
• NF和EF点重合时，可选附近点。如令：
• X1=(19,15),X2=(21,15),得f(X1, X2)=222.
二、折线距离多设施MINISUM选 址问题
• Intersection point property: 过所有已定位 点画水平线和垂直线得一些交点，则有： 至少存在一个最优解其中每一个新设施都 落在某一交点上。
二、折线距离多设施MINISUM选 址问题
坐标下降法:
1. 省略︱x1－x2︱项，运用两次中值条件，得(x1,x2) 的解。 2. 固定X2，变化X1，运用中值条件得X1的解 3. 固定X1，变化X2，运用中值条件得X2的解 4. 再到第2步，往复循环，直到得到两个相同的 (x1,x2)的解，且X1，X2不相同。 5. 如果X1，X2相同，则不能判断(x1,x2)是否为最优 解，用列举法判断交点中哪个为最优
三、最小费用流方法
• 由互补松弛条件知x1*=x2*=x*,所以 • 由中值条件知10≤x*≤20. • 第二种方法: 由互补松弛条件得10≤ x1*=x2*≤20,同样可得 10≤x*≤20。可直接计算得到f1(x1*,x2*)=160.
• 第三种方法：用最小费用流算出各节点N1、N2、N3的标 号分别为0,0,-10,由(6.13)式得：x1*=0-(-10)=10, x2*= 0-(10)=10.
• 得x1 =4， f1(4,6)=50，固定X1＝4，X2为变量，最小化：
• 得x2 =6， f1(4,6)=50。因为第二次得到同一点(4,6)，算法 停止。
二、折线距离多设施MINISUM选 址问题
• 因为4≠6，我们已最小化f1。再最小化f2,开始点为(2,8)， f2 (2,8) =66，固定Y2＝8，变化Y1，最小化：
二、折线距离多设施MINISUM选 址问题
• 下面用例说明坐标下降法。 • 例6.4 设 p1=(0,2),p2=(4,0),p3=(6,8),p4=(10,4)。数据 见表6.3.
二、折线距离多设施MINISUM选 址问题
• 省略6︱x1－x2︱项，运用两次中值条件，得 (x1,x2)=(0,6),f1(0,6)=66.开始点就是(0,6)，固定X2＝6， X1为变量，最小化：
第6章 多设施选址问题
主要内容
• • • • 一、概论 二、折线距离多设施MINISUM选址问题 三、最小费用流方法 四、平方欧几里得距离多设施MINISUM选 址问题 • 五、欧几里得距离多设施MINISUM选址问 题 • 六、选址-分配问题
一、概论
一、概论
一、概论
• 例6.1 设 p1=(5,25),p2=(25,15),p3=(10,0),p4=(0,10). 新设施1和已有设施1、3、4有运输关系， 新设施2和已有设施2、3有运输关系，欧几 里得距离多设施MINISUM选址问题的最优 解是多少？折线距离问题的最优解是多少？
六、选址-分配问题
用启发式算法解此问题： 1. 给定新设施的坐标 2. 把已有设施分配给最近的新设施。 3. 对2步确定的分配，变动新设施坐标(把新设施坐标作为 自变量)，使新设施和分配给该设施的已有设施之间的距 离最小。 4. 如果得到的新设施坐标变化，则回到步骤2，否则回到步 骤1。 5. 重复步骤1至4直到没有总的新设施到已有设施距离的减 少为止。 过程见图6.7。
设z(Nj,Nk)为(Nj,Nk)弧上的最优流， z(Nj,Ei)为(Nj,Ei)弧上的最优流， 则互补松弛条件如下：
三、最小费用流方法
现重新计算例6.3。 设n=2,m=3, p1=(10,15), p2=(20,25), p3=(40,5), 数据见表6.2。
三、最小费用流方法
• 这里 a′=10×6+20×1+40×5=280。网络 构造见图6.4。容易验证：z*=10×12=120, 而a′=280，所以： • f1*=280-120=160,此为在x方向移动的最小 费用。 • 上述算法可采用表格形式。
六、选址-分配问题
• 如果各新设施的类型都相同，同样，所有 已定位设施类型都相同，且每一新设施都 可服务任一已定位设施，则权重和新设施 的地址一样是决策变量。这类问题称为选 址-分配问题。
六、选址-分配问题
例6.7 设新设施1至7的坐标分别为(0,5), (8,5),(5,4),(2,2,),(3,2),(0,0),和(7,0)，要求每 个已定位设施由离它最近的新设施提供服务， 使各设施间折线距离最小化。
输入数据
• 每天计划销售40根电线杆 • 需要的原材料：10立方码混凝土，8400磅 钢材 • 已有设施的坐标：
– 混凝土（10，20） – 钢材加工场（7，6） – 发货场（13，0）
阴影部分表示待定位设施不能放入该区域
用表格表示该选址问题的数据
二、折线距离多设施MINISUM选 址问题
8 6 5 4 3 W＝ 2 3 4 6 7
求新机器的最优放置位置。
三、最小费用网络流方法
• 在x方向移动的总成本是：
• 采用变量替换得线性规划：minimize
三、最小费用流方法
• 构造此线性规划的对偶问题得一最小费用 流问题。该问题构造方法如下：
三、最小费用流方法
5.ω n+1等于矩阵W中所有值的和。定义节点Nn+1为 终点，需求为ωn+1,用有向弧连接节点Ei和Nn+1，容 量为无穷大，费用为ai. • 容易验证：
• 构建G(V,W)图，看其是否为连图，若为非 连通图，则原问题可分解为几个单一设施 选址问题。
• 在G(V,W)图中去掉所有的已有设施点和与 之相关的连线，构建G(V)图，看其是否为 连图，若为非连通图，则原问题可分解为 几个单一设施选址问题。
一、概论
• • • • • • • • 例6.2 已有设施： 混凝土（10，20） 钢材加工场（7，6） 发货场（13，0） 待定位设施： 电杆浇铸场(X1) 安装储存场(X2) 生产定额为每天40根。
• 例6.3 • 设n=2,m=3, p1=(10,15), p2=(20,25), p3=(40,5), 数据见表6.2。
建立线性规划模型，求解：
二、折线距离多设施MINISUM选 址问题
• 最优解为(x*,15),10≤x*≤20,即X1和X2重合， 且为10到20之间的任意值。 • 最优值为160+60=220。
二、折线距离多设施MINISUM选 址问题
练习： 工厂内部有五台机器，位置分别为：P1=(8,20), P2=(10,10), P3=(16,30), P4=(30,10), P5=(40,20).有两台新的机器待安装。 工厂内部走折线距离。根据估计，两台新机器之间每天会有4 趟往返的物料搬运。新机器和已有机器之间每天的往返物料 搬运次数如下：
四、平方欧几里得距离多设施 MINISUM选址问题
• 把 (6.6)式各项分别用下面项代替：
• 得平方欧几里得距离多设施MINISUM选址 问题f2(X1, …,Xn).它是严格凸函数，令各项 偏导数为零得最优解。关于NF t的项为：
＋
由于Vtj=Vjt,进而得到：
求偏导：
令偏导等于零：
三、最小费用流方法
• 下面计算y值。
• 考虑y方向，如何作出网络图？
三、最小费用流方法
• 由图6.4可得最小费用为50+30=80。如何得 出？ • 所以，在y方向移动的总费用为140-80=60。 140是什么的值？
三、最小费用流方法
• 由互补松弛条件得： y1*=b1=15.，y1*=y2*. 检验计算得：f2(15,15)=60. 结果正确。 • 还可用最小费用流算出各节点N1、N2、N3 的标号分别为0,0,-15,由(6.13)式得：y1*=0(-15)=15, y2*= 0-(-15)=10.
一、概论
• 答：欧几里得距离 • X*1=(8.8388,5.7922) • X*2=(9.1645,5.6370) • f(X*1, X*2)=59.7402
• 折线距离： • X*1=X*2=(10,10) • f(X*1, X*2)=70
一、概论
• 设P≥1,一般距离（欧几里得距离、折线距 离、 Tchebychev距离）为：
二、折线距离多设施MINISUM选 址问题
• 再最小化f2,开始点为(4,4)， f2 (4,4) =36，最小化：
• 得y1=4，最小化： • 得y2=4，停止。但4=4，不能确定是否得到最优 解。 • 通过枚举各交点函数值f2(0,0)=24， f2(4,0)=88， f2(0,4)=52， f2(4,4)=36，得(0,0)是最优解。
三、最小费用流方法
设n=2,m=3, p1=(10,15), p2=(20,25), p3=(40,5), 数据见表6.2。
三、最小费用流方法
• 设z*为最小费用流的最优值，f1*为x方向的移动最 小值，则有：
三、最小费用流方法
• 采用对偶算法,设πj为节点Nj的势,计算：
• 则xj*为新设施j的最优地址的x坐标。 • 要计算y坐标只需将上面的a替换成b,x换成y， f1换成f2。
• 得y1=2, f2 (2,8) =66。固定Y1＝2，变化Y2，最小化：
• 得y2 =4， f2 (2,4) =54。最小化：
二、折线距离多设施MINISUM选 址问题
• 得y1=2，再一次得f2 (2,4) =54，停止。 • 我们得到最优解：X*1=(4,2)，X*2=(6,4)， • 最优值是50+54=104。
• Tchebychev距离是：
用表格表示多设施选址问题的数据
图论的相关概念
• 顶点邻接：两个顶点有一条边连接 • 道路：
• 连通图：若图的两顶点之间存在一条道路， 则称此两顶点是连通的。若图的任意两顶 点连通，则称图G是连通的；否则是非连通 的。非连通图可分解为若干连通子图。
根据图论分解原问题
二、折线距离多设施MINISUM选 址问题
• 用变量替换解此问题。设rji为xj在ai右边的 位移量，sji为xj在ai左边的位移量，则有：
引入变量：pjk,表示xj位于xk左边的偏移量， pjk,表示xj 位于xk左边的偏移量，（6.10)被替换为一个线性规划 问题：
二、折线距离多设施MINISUM选 址问题
二、折线距离多设施MINISUM选 址问题
• 例6.5 设m=2, p1=(0,0),p2=(4,4),数据见表 6.4。
• 我们有：
二、折线距离多设施MINISUM选 址问题
• 开始点为(4,0)， f1(4,0)=88，最小化：
• 得x1=0,结果为（0，0），接下来最小化：
• 得x2=0, 结果为（0，0），f1(0,0)=24. 停止。但0=0，不 能确定是否得到最优解。 • 通过枚举各交点的横坐标组合，函数值f1(0,0)=24， f1(4,0)=88， f1(0,4)=52， f1(4,4)=36，得(0,0)是最优解。
得到： 把A, Wa, Wb放在一起得到（A|Wa|Wb），然后 进行矩阵变换得到：
wk.baidu.com
得到：
五、欧几里得距离多设施 MINISUM选址问题
• 把 (6.6)式各项分别用下面项代替：
• 得欧几里得距离多设施MINISUM选址问题 HAP。
定义下面的式子：
则：
迭代过程：
Weiszfeld算法： • 求得初始解的坐标 ( X1(0) , X 2(0) ,..., X n(0) ) 作为候选点坐标 (1) (1) • 求下一组候选点的坐标 ( X1(1) , X 2 ,..., X n ) • 比较前后两个候选点横坐标，若折线距离在允许 的精度范围内，则结束计算。否则，转到上一步。
• 定义矩阵A，它的第t行的各项(除了第t项,即对角 线上的元素)为-1乘以V的第t行，第t项等于V的第t 行的和加上W的第t行的和。则对所有t都有：
• 所以，偏导数等于零等同于下面的线性方程：
• 用此式解例6.1数据问题如下：
用表格表示多设施选址问题的数据
5 25 a 10 0
二、折线距离多设施MINISUM选 址问题
• NF和EF点重合时，可选附近点。如令：
• X1=(19,15),X2=(21,15),得f(X1, X2)=222.
二、折线距离多设施MINISUM选 址问题
• Intersection point property: 过所有已定位 点画水平线和垂直线得一些交点，则有： 至少存在一个最优解其中每一个新设施都 落在某一交点上。
二、折线距离多设施MINISUM选 址问题
坐标下降法:
1. 省略︱x1－x2︱项，运用两次中值条件，得(x1,x2) 的解。 2. 固定X2，变化X1，运用中值条件得X1的解 3. 固定X1，变化X2，运用中值条件得X2的解 4. 再到第2步，往复循环，直到得到两个相同的 (x1,x2)的解，且X1，X2不相同。 5. 如果X1，X2相同，则不能判断(x1,x2)是否为最优 解，用列举法判断交点中哪个为最优
三、最小费用流方法
• 由互补松弛条件知x1*=x2*=x*,所以 • 由中值条件知10≤x*≤20. • 第二种方法: 由互补松弛条件得10≤ x1*=x2*≤20,同样可得 10≤x*≤20。可直接计算得到f1(x1*,x2*)=160.
• 第三种方法：用最小费用流算出各节点N1、N2、N3的标 号分别为0,0,-10,由(6.13)式得：x1*=0-(-10)=10, x2*= 0-(10)=10.
• 得x1 =4， f1(4,6)=50，固定X1＝4，X2为变量，最小化：
• 得x2 =6， f1(4,6)=50。因为第二次得到同一点(4,6)，算法 停止。
二、折线距离多设施MINISUM选 址问题
• 因为4≠6，我们已最小化f1。再最小化f2,开始点为(2,8)， f2 (2,8) =66，固定Y2＝8，变化Y1，最小化：
二、折线距离多设施MINISUM选 址问题
• 下面用例说明坐标下降法。 • 例6.4 设 p1=(0,2),p2=(4,0),p3=(6,8),p4=(10,4)。数据 见表6.3.
二、折线距离多设施MINISUM选 址问题
• 省略6︱x1－x2︱项，运用两次中值条件，得 (x1,x2)=(0,6),f1(0,6)=66.开始点就是(0,6)，固定X2＝6， X1为变量，最小化：
第6章 多设施选址问题
主要内容
• • • • 一、概论 二、折线距离多设施MINISUM选址问题 三、最小费用流方法 四、平方欧几里得距离多设施MINISUM选 址问题 • 五、欧几里得距离多设施MINISUM选址问 题 • 六、选址-分配问题
一、概论
一、概论
一、概论
• 例6.1 设 p1=(5,25),p2=(25,15),p3=(10,0),p4=(0,10). 新设施1和已有设施1、3、4有运输关系， 新设施2和已有设施2、3有运输关系，欧几 里得距离多设施MINISUM选址问题的最优 解是多少？折线距离问题的最优解是多少？