巧记和差与积互化公式

巧记和差与积互化公式

山东 齐相国 张树军

高中的三角函数公式特别多，诱导公式、两角和（差）的三角函数公式、同角三角函数关系公式、和差化积公式、积化和差公式……要记住、记准这么多公式也确实很不容易，而如果能掌握一定技巧，找到其中的规律，再记起来就容易多了．

观察下列和差化积公式：

sin sin 2sin

cos 22A B A B A B +-+= sin sin 2cos sin 22

A B A B A B +--= cos cos 2cos cos 22

A B A B A B +-+= cos cos 2sin

sin 22A B A B A B +--=- 不难发现：

规律1：在所有的公式中，右边积的系数中都有2．

规律2：在所有的公式中，左边都是角A 与B 的弦函数相加减，右边都是2A B +与2A B -的弦函数相乘．

规律3：在第三个公式中，左边是两个余弦相加，右边是两个余弦相乘，于是得出“扣（cos ）加扣等于俩扣”；而第四个公式中，左边是两个余弦相减，右边没有余弦相乘，于是得出“扣减扣等于没扣”．

规律4：两角正弦相加减时，得到的都是正弦、余弦相乘．

由此，和差化积公式想忘都忘不了了．不仅如此，积化和差公式既然是和差化积公式的逆运算，只需将上述公式左右调换，再把系数变为，并把角也作相应变换：

令22

A B A B αβ+-=

=，，则有A B αβαβ=+=-，． 即可得到积化和差公式： 1s i n

c o s [s i n ()s i n ()]2αβαβαβ=++- 1c o s s i n [s i n ()s i n (

)]2αβαβαβ=+-- 1cos cos [cos()cos()]2

αβαβαβ=++- 1sin sin [cos()cos()]2

αβαβαβ=-+-- 我们可以发现：

规律1：公式右边中括号前的系数都有

12

． 规律2：中括号中前后两项的角分别为αβ+和αβ-． 规律3：每个式子的右边分别是这两个角的同名函数．于是前三个式子的右边可以统一

写成如下形式：1[()()]2

f f αβαβ+±-． 如何确定上式中函数“f ”的名称呢？可用口诀“同名余（弦），异名正（弦）”（同名、异名指公式左边的函数名称）来识别．例如对第一个公式，左边为sin cos αβ，根据口诀右边的函数应为正弦，即为1[sin()sin()]2

αβαβ++-． 另外，还要注意两个特殊的化积公式：21cos 2cos 2αα+=，21cos 2sin 2

αα-=．它们又称为升、降幂公式，它们在三角函数求值、化简、证明中有广泛的应用，可用口诀“一线希望”来记忆，即１遇到Ｃ就有化积的希望．这类题型是各级考试的重点、热点．

总结：当我们把数学公式与生活相联系时（扣子与余弦函数cosine ），读音也好，形似也罢，只要能联系在一起，多动动脑筋，就会有意想不到的收获．