变质量质点的动能定理与软绳问题

M L
dx dt
=
ML v
Baidu Nhomakorabea
很容易求得
F
=
M L
v
2
与用动量定理解得 的结果 一致 .在绳被 拉动 x 的过 程
中,
外力做功为
A
外 =F x
=
M L
xv 2
,
软绳 动能增 量
ΔE k
= 1 M xv 2 , 由 式(7)积 分 可 求得 反 推 内 力的 总 功 为 2L
∫ A 内=
x 0
-
1 2
(0
(4)
式(4)即为变质量 质点的 动能定 理 .因为
1 2
md(v 2)=
1 2
m(v
+dv
)2
-
1 2
mv2
为变 质 量质 点 动 能的 元 增
量 , 所以变质量质点动能定理的物 理意义为 :变质量 质
点动能的 元增 量等 于 作用 于变 质 量质 点 上 外力 的 总
功 .显然 , 此处的 外力 由两 部分 组成 , 一 是指 除 dm 以
1 2
d m (v
+d
v
)2
-
1 2
dmu 2 =(F2 + Υ′)·dr′
略去高阶微量并化简可求得 Υ′的元 功是
Υ′·d r′=
1 2
d
m(v
2 -u2)-F2·dr′
Υ的元功可直接用定义式
Υ·dr = F 2 +(u -v )ddmt ·2Mdr =
F2·d r +dm(u -v )·v 所以 dA 内 = Υ·dr + Υ′·dr′=F2·(dr -d r′)-
(6)
反推内力的总功为
d
A内
=-
1 2
(u
-v
)2dTm
O
(7)
很明显 , 当质量并入 时 , d m >0 , 则 d A内 <0, 体系 动能 增量 dEk 小于外力做功 d A外 , 外力的施加者(比如例 1 中的人拉动软绳)通 过作功 的途 径所付 出的 能量 除部
分转化为动能外 , 另外 一0 部+(分0 则-通v)过反 推内 力作 功转 化为动能以外的其它形式能量 ;当有质量分离时 dm < 0 , 由式(7)得 d A内 >0, 一对反推内力作正功 , 体系的动
Abstract A theorem on kinetic energy for variable mass -point and formula of w ork of recoil internal f orces are g iven and the reason of sof t -rope query is discussed .
-v)2
M L
dx
=-
1 2
M L
xv
2
,
计算表明 ,
外力 F 的施予者通过对软绳作功的途径所付的能量只
有一半转化为 软绳的 动能 , 另 外一半 转化 为动 能以 外
的其它形式的能量 , 如果忽略反推 内力作功 , 当然得 不
到正确的结果 , 这就是软绳问题的错误所在 .
4 .2 竖直提绳问题 例 2 线密 度为 λ的 匀质 软绳 盘在 水平 面 内 , 用
1 2
(u
-v
)2d
m
(5)
对上式积分可求得 一对 反推 内力的 总功 .该 质点 系动
能的增量等于外 力(F1 、F 2)作功 与一 对内 力(Υ、 Υ′) 作功的代数和 , 显然 , 仅由外力的功 不能量度质 点系动
量的增量 .
一种重要的特殊情况是 F2 =0 , 此时反推内力为
Υ=(u -v )ddmt
代入可得
F(x)=λv 2 +λgx
在绳被提 升 x 的 过 程 中 , 外 力(提 升 力和 重 力)做 功 A 外 =λxv 2 , 而软绳动 能的 增量 为 ΔE k =λx v 2/ 2, 仅 占 A 外 的一半 , 若不计反 推内力作 功所引起的 能量变化 ,
当然会导致错误的结果 .
由此可见 , 正 确解 释软 绳问 题的 关键 是必 须考 虑
第 18 卷第 3 期 1 9 9 9 年 3 月
大 学 物 理 CO LL EG E PHYSICS
Vo l.18 N o .3 M ar .1999
变质量质点的动能定理与软绳问题
石东平
(重庆师范高等专科学校物理系 , 重庆永川 402168)
摘要 给出变质量质点的动能定理和一对反推内力作功的表达式 , 并由此给出软绳问题的正确解释 . 关键词 变质量质点 ;动能定理 ;反推内力作功 ;软 绳问题 分类号 O 313.6
能增量来源于外力的施加者和质点 系内部其 它形式能
量的转化 , 因此 d Ek >d A外 .
4 两个实例
4 .1 水平拉绳问题
参见例 1, 将已 经拉 动的 长度 为 x 的部 分作 为变 质量质点进行研究 , 利用式(4)列写的方程为
0=Fd x +
dm dt
dx
其中
dm dt
=ddt
ML 定x 理=
1 问题的提出
例 1 如图 1, 长为 L 、质量为 M 的匀质 软绳盘在 水平面内 , 现用一水平力 F 作用于绳端 , 保持以恒定速 度v 拉动软绳 , 未拉动部分 仍静止盘 在水平 面内 , 忽略 摩擦 , 求拉力 F 的大小 .
m
dv dt
=F 1 + Υ
(3)
这相当于直接应用牛顿第二 定律对变质 量质点列 写动
Abstract A test method of transient process in RLC series circuit is proposed and the problem of deviation betw een the measured τ-value and the calculatated one is resolved .
(4):6
A THEOREM ON KINETIC ENERGY FOR VARIABLE MASS -POINT AND SOFT -ROPE QUERY
Shi Dongping
(Department of Physics , Chongqing Teacher' s College , Yongchuan , Cho ngqing , 402168 , China)
Abstract It is analysed quantitatively that the density of eddy -current loss are proportionat to the square of thickness of the silicon steel plate .
Key words variable mass-point ;theorem of kinetic energy ;w ork of recoil internal forces ;soft -rope query
(上接 24 页) 参考文献 1 赵 凯华 , 陈熙 谋 .电磁学 .第 2 版 .北京 :高 等教育出 版社 ,
Key words magnetic f lux ;resist ance ;induction elect romotive f orce ;eddy -current ;eddy -cur-
rent loss
软绳由静止并入运动部分时 反推内力作 负功所引 起的
能量转化 .广义地说 , 软绳不断 由静止加 入到运动部 分
类似于碰撞的 物理过 程 , 其动 能的变 化必 须用 外力 的
功与碰撞内力的功的代数和去量度 .
(下转 27 页)
第 3 期 蔡旭红等 :一种修正 RLC 串联电 路暂态过程 τ值的方 法
1985 2 福里斯 С Э.普 通物理 学 第 二卷 .梁 宝洪译 :北京 :人 民
教育出版社 , 1958
DISCUSS ON EDDY -CURRENT IN SILICON STEEL PLATE
Du Kaichu
(Department of Physics , Lo ngy an T eacher' s College , Longyan , Fujian , 364000 , China)
力学方程 .
(a)
图1
应用动
量定理可解得
F
=
M L
v
2
,
然
而
,
如
果改用动
能定理却得到 FL = 1 Mv 2 , 解得 F = M v 2 .两 者不相
2
2L
符的原因是什么呢 ? 笔者将此类问题称为软绳问题 .
2 变质量质点的动能定理
经典力学范畴内变质量质点的动力学方程为[ 1 ～ 4]
m
dv dt
外的其它物体对变质量质点的作用 , 另一部分则是 dm 对变质量质点的反推力 .笔者认为 , 对变 质量质点动 能 定理的物理意义作如上的表述在逻 辑上比文 献[ 5 ～ 6]
收稿日期 :1997 -12 -10 ;修回日期 :1998 -09 -15
第 3 期 石东平 :变质量质点的动能定理与软绳问题
27
A METHOD TO CORRECT τ-VALUE OF TRANSIENT
PROCESS IN RLC SERIES CIRCUIT
Cai Xuhong Li Shaohui
(Department of Physics, Shantou U niversity , Shantou , Guangdong , 515063 , China)
=F1
+F 2 +(u -v
)d m dt
(1)
式中 u 代表微元 质 量 d m 与 变质 量质 点 m 合并 以前
或自变质量质点 m 分 出后的 速度 , F 1 、F 2 分别 为作用
于 m 和 d m 上的外力 , F 2 +(u -v )ddmt 为 d m 在并入 或分离时对变质量质点 m 的 作用力 , 称 为反推 力或反
大学物理 , 1989 , 8(11):18 4 石照 坤 .变质 量 问题 的教 学 之浅 见 .大学 物 理 , 1991 , 10
(10):18 5 程勉 .变质量力学基础 .北京:人民教育出版社 , 1982 .54 6 刘国 跃 .用动 量 定理 求 解变 质 量问 题 .物理 通 报 , 1995 ,
冲力 , 其余各项由图 2 可看出 , 令
Υ=F2 +(u -v )ddmt
(2)
则变质量质点的动力学方程写成
(b) 图2 将式(3)两端与变质 量质点 的元 位移 dr =v d t 作
标积得
m
d d
vt ·
v
d t =(F1 + Υ)·dr
化简得
1 2
m d(v 2)=F 1·d r + Υ·dr
Key words t ransient state process ;relaxation time ;resonance
(上接 23 页)
5 参考文献
1 郑永令, 贾起民.力学(上).上海 :复旦大学出版社, 1989.165 2 孔汝煌 .用动能定理推导变质量系统 的功能原理和 动力学
方程式 .大学物理 , 1988 , 7(3):12 3 周启煌 .关于变 质量物 体运动 方程各 项意义 的正确 解释 .
力将绳的一端以 恒定 速度 v 竖直 向上 提起(如图 3), 求提升高度为 x 时的提升力 F(x)为多少 ?
图3
对已经提升的 x 段运用变质量质点的动能定理得
0 =F(x)d x -G(x)d x + 0+(0-v)ddmt dx
式中
G(x)=λxg , dm =λd x , dx =v d t
23
要清晰得多 , 它 充分 体现了“ 功是能 量变 化的量 度” 的 物理思想 , 避免了使人产生概念堆砌的感觉 .
3 一对反推内力的总功
当把变质量质点(主体)m 和即将并入或分离的微 元物质 dm 作为二质点系 进行研 究时 , 反推力 Υ及其 反作用力 Υ′就成为质点系的 一对内 力 , 这一对 内力的 总功可用如下方法求得 :将质点动能定理用于 dm 得