洛书

洛书与九宫图

来源：《中学生数理化(七年级数学)(人教版)》2007年第02期作者：祁韵;

碱成传说大禹治水到现在的河南洛阳一带时，有一个神龟从河里爬出来，龟背上的花纹是一个神秘的图案，人们称它为“洛书”(如圈1).蔚戮疏簿{杯这个图案的特.点足:每一个黑.蔽或白圈代表1，奇数(也称阳数)用白圈，偶数(也称阴数)用只点，它们的排列方法翻译成现代表述方法就是图2.这个图的神秘之处是不管横排、竖排或对角线.三个数之和都为巧.后来人们又称这个图为“九宫”，并对数字的排列这样描述:‘·二、四为肩，六、八为足，左三右七，裁九及一”我国宋朝时的大数学家杨辉改称这个图为“纵横图”，对它的构造这样描述:“九子抖排，上下对易，左右相更，四维挺出.裁九展一，左三右七，二、四为肩，六、八为足.”洛书是世界上第一个魔方阵.【资任编释:超良河】洛书与九宫图@祁韵!河南<正>传说大禹治水到现在的河南洛阳一带时,有一个神龟从河里爬出来,龟背上的花纹是一个神秘的图案,人们称它为“洛书”(如图1)．......>>继续阅读全文>>浏览本刊目录

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“洛书”中数学美的新发现

文/林君碧等来源：小学数学教师

《小学数学教师》2002年第4期发表了谈祥柏先生《“洛书”新性质的发现》一文，重新唤起我对“洛书”研究的兴趣。

这个小小的幻方中蕴藏着无尽的数学(字)奥秘，从而引起了古今中外人们的关注，尤其是我国南宋时期的数学家杨辉、瑞士大数学家欧拉、美国著名电学家和政治家富兰克林等对它的偏爱。对于“洛书”，直到近年仍不断有着新的发现，比如1970年哈尔默斯(K·Holmes)，1997年巴尔布尤(E.J.Barbeau)将“洛书”稍加变更，便可以得到一些平方和等式。笔者是《小学数学教师》的忠实读者，拜读过2000年第10期发表的邓杰雄先生《有趣的“对称等式”》一文，很受启发，用现代物理学的审美观(美意味着对称)重新审视这些平方和等式时发现：这些平方和等式蕴含着神奇美妙的对称等式的形式美和金蝉脱壳的规律美。

1．对称等式的形式美

若把“洛书”(见图1)中每行数字组成一个三位数，同时写出它们的逆序数，我们将会发现：这些数的和相等，平方和也相等，并且具有文献中对称等式的形式美，即

492+357+816=618+753+294(1a)

4922+3572+8162=6182+7532+2942 (2a)

等式对称的形式美对由“洛书”中每列数字组成的三位数来讲照样成立：

438+951+276=672+159+834(1b)

4382+9512+2762=6722+1592+8342 (2b)

更加有趣的是：若把幻方“四写”(即重抄三遍置于其右、下，见图2)，请注意位于斜线“\”(正)和“/”(副)上的诸数字，由它们组成的三位数，仍然具有上述的对称等式的形式美：

456+978+231=132+879+654(正主对角线)(1c)

4562+9782+2312=1322+8792+6542(同上)(2c)

456+897+312=213+798+654(正次对角线)(1d)

4562+8972+3122=2132+7982+6542(同上)(2d)

258+936+471=174+639+852(副主对角线)(1e)

2582+9362+4712=1742+6392+8522(同上)(2e)

258+693+714=417+396+852(副次对角线)(1f)

2582+6932+7142=4172+3962+8522(同上)(2f)

1式等式和为常数1665=3×5×111，其中，3表示“洛书”幻方的阶数，5为其中心数，它们的乘积便是幻方常数15。2式等式和虽然各不相同，但都是9的倍数，而9又是3的平方，也与三阶幻方有关。

显然，各等式是多么神奇而对称。于是，马上就生发出一个新问题来：各等式中是否还存在别的什么规律?笔者并没有停步，继续探索上述各对称等式中的美妙，发现它们均(注意“均”字)具有金蝉脱壳的规律美。

2．金蝉脱壳的规律美

下面我们以横行(实际上横行、纵列和对角线都有此规律)为例：

492+357+816=618+753+294

4922+3572+8162=6182+7532+2942

接下去抹掉两组数中每个数的首位数，结果仍有下面的等式：

92+57+16=18+53+94

922+572+162=182+532+942

重复上面的做法我们依然会有：

2+7+6=8+3+4

22+72+62=82+32+42 (第1列数字平方和与第3列数字平方和相等)

更使人惊奇的是：若将上面每次抹去的数字改为仅去掉末位数字，这种结论仍然成立。现在我们换以正主对角线为例：

456+978+231=132+879+654

4562+9782+2312=1322+8792+6542

45+97+23=13+87+65

452+972+232=132+872+652

4+9+2=1+8+6

42+92+22=12+82+62 (第一行数字平方和与第三列数字平方和相等)

由此看来，“洛书”中仍蕴藏着无尽的数学奥秘，比如第一行数字平方和与第三行数字平方和相等，第1列数字平方和与第3列数字平方和相等，很值得我们再作进一步研究。

参考文献

1．谈祥柏“洛书”新性质的发现.小学数学教师，2002(4)：68～71

2．吴振奎等.数学中的美.上海：上海教育出版社，2002．176～179

3．邓杰雄.有趣的“对称等式”.小学数学教师，2000(10)：72～80

4．［美］阿.热著，荀坤，劳玉军译.可怕的对称——现代物理学中美的探索.湖南科学技术出版社，1999.19页

【2003-11-20 16:15:39 阅2606次】我要发言

、解析河图洛书

直观地考察河图洛书，不难发现，这两幅图具有数字性和结构对称性这两个明显特点：第一，数字性。数的概念直接而又形象地包含在图书之中。“○”表示1；“●

●”表示2；……依次类推，河图含有1~10共10个自然数，洛书含有1~9共9个自然数。其

中，由黑点构成的数为偶数，由白点构成的数为奇数，表达了数的奇偶观念。因此，数字性是河图洛书的基本内容之一。

第二，对称性。两幅图式的结构分布形态对称，具体表现在二个层面：其一，由黑点或白点构成的每一个数的结构形态是对称的；其二，整体结构分布对称。河图，以二个数字为一组，分成五组，以[5，10]居中，其余四组[7，2]、[9，4]、[6，1]、[8，3]依次均匀分布在四周。

洛书，以数5居中，其余8个数均匀分布在八个方位。

进一步分析，河图洛书还包含着丰富的数理关系，下面分别论述。

河图包括的数理关系：

1、等和关系。除中间一组数（5，10）之外，纵向或横向的四个数字，其偶数之和等于奇数

之和。

纵向数字：7、2；1、6 7+1=2+6

横向数字：8、3；4、9 8+4=3+9

并得出推论：河图中，除中间一组数[5，10]之外，奇数之和等于偶数之和，其和为20。

2、等差关系。四侧或居中的两数之差相等。上（7—2）；下（6—1）；左（8—3）；右（9—4）；

中（10—5），其差均为5。

洛书包含的数理关系：

1、等和关系。非常明显地表现为各个纵向、横向和对角线上的三数之和相等，其和为15。

2、等差关系。细加辨别，洛书隐含着等差数理逻辑关系。

①洛书四边的三个数中，均有相邻两数之差为5，且各个数字均不重复。

上边[4、9、2] 9-4=5

下边[8、1、6] 6-1=5

左边[4、3、8] 8-3=5

右边[2、7、6] 7-2=5