2015高教社杯全国大学生数学建模竞赛A题太阳影子定位资料

摘要

通过太阳影子定位技术可以确定视频的拍摄地点和时间，为拍摄出更好的视频，掌握太阳影子的变化规律就变得尤为重要。本文主要综合运用了地理学、几何学、统计学、数学分析和高等代数等知识，并利用MATLAB,SPSS 和mathematica 等计算机软件，通过建立数学模型来研究影子长度的变化特征,进一步确定视频的拍摄地点和时间。

针对问题一，首先我们通过分析影子长度的影响因素得到与影子长度的关系（见表达式六）整理计算之后，就得到了影子长度的数学模型。

1*tan (arcsin(cos cos cos sin sin ))l L ϕθϕθ-=Ω+

然后我们通过分析他们之间的关系，再利用MATLAB 编程，得到了影子长度关于各个参数的变化规律（见图3到图7）。其次根据我们建立的模型，利用MATLAB 编程画出了给定时间天安门广场3米高的直杆的太阳影子长度的变化曲线（见图8），然后在考虑折射率的情况下又画了一条变化曲线（见图9），最后进行了误差分析（见图10）。

针对问题二，我们采用了测试分析法（数据分析法和计算机仿真相结合），通过分析各个参量之间的关系，先以影长l 为目标做回归，用模型一的模型，通过SPSS 进行拟合得到多组数据，再用MATLAB 进行检验得到符合的两组经纬度。

(19.251,109.645),(24.579,98.1)N E N E

然后我们又以太阳方位角K 为目标做回归,得到模型（见表达式12），其计算方法与影长l 做回归目标时一样。我们分步做了两次拟合，先用MATLAB 拟合出经度，再做回归模型（见表达式14）最后得到经纬度(18.74,109.35)N E 和杆长 1.993L m =。综上可知，肯定有一地点是在海南，还有一个地点可能在云南。

针对问题三，我们用问题二中的多项式回归，得到回归模型（见表达式17和20） 利用附件二得到的经纬度为(32.83N,110.25E)和杆长L 3.03m = ，得到天数307n =。利用附件三得到的经纬度为(39.19N,79.5E) 和杆长L 1.962m = ，得到天数=140n

针对问题四，首先运用MATLAB 软件，根据画面灰度，运用MATLAB 软件，把视频转化成二值图，求得影子端点的像素坐标，然后根据相似原理，把像素坐标转化成水平面上的坐标（消去了视角的影响），进而求得影子的长度。用以上方法求得的数据，运用多次拟合的方法，得到该地的经纬度为(34.32,108.72)N E ，日期未知时，得到的经纬度与其相似。

【关键字】 影子长度 多项式拟合 太阳方位角 画面灰度

一、问题重述

如何确定视频的拍摄地点和拍摄日期是视频数据分析的重要方面，太阳影子定位技术就是通过分析视频中物体的太阳影子变化，确定视频拍摄的地点和日期的一种方法。

1.建立影子长度变化的数学模型，分析影子长度关于各个参数的变化规律，并应用建立的模型画出已知时间天安门广场3米高的直杆的太阳影子长度的变化曲线。

2.根据某固定直杆在水平地面上的太阳影子顶点坐标数据，建立数学模型确定直杆所处的地点。将你们的模型应用于附件1的影子顶点坐标数据，给出若干个可能的地点。

3. 根据某固定直杆在水平地面上的太阳影子顶点坐标数据，建立数学模型确定直杆所处的地点和日期。将你们的模型分别应用于附件2和附件3的影子顶点坐标数据，给出若干个可能的地点与日期。

4．先利用软件提取视频中的数据，再根据数据改善模型，求出若干个可能的拍摄点。当拍摄日期未知时，确定出拍摄地点与日期。

二、问题分析

由题可知，本题具体分析如下：

问题一：本题要求建立影子长度变化的数学模型，这需要我们给出影子长度变化的影响因素。查阅文献了解到各个参量的定义及其表达式，然后联立即可得到影子长度变化的数学模型。分析影子长度关于各个参数的变化规律，首先我们要在保持其他参数不变的情况下，只改变一个参数，来研究影子长度的变化规律。对于具体问题的变化曲线，因为参数的值已经给出，带入模型，利用软件编程就可以画出它的变化曲线。

问题二：本题要求根据某固定直杆在水平地面上的太阳影子顶点坐标数据，建立数学模型确定直杆所处的地点，然后将模型应用于附件1的影子顶点坐标数据，给出若干个可能的地点。先用附件一中给的数据即顶点的x与y坐标，计算出影子的长度l,然后用SPSS做回归拟合，得出的数据再用MATLAB进行检验。

问题三：问题三是问题二的拓展，建立数学模型确定直杆所处的地点和日期，比问题二多了一个未知量，我们可以采用问题二的模型和计算方法来解决本问题。

问题四：问题四是前两问的具体应用，只要求出视频中影子的长度就可以运用前面的模型求解。对于求取视频中的影长，可以用MATLAB软件编写程序，设定恰当的灰度阀值，把视频转化为二值图像。从图片右下角开始扫描杆子和方块（杆子底座），求得影子右端、杆子底部的坐标。由于是在三维空间中拍摄的，图片中物体的长宽比与实际

的长宽比不同，可以根据杆子底盘的长宽比求得物体实际的长宽比。根据相似度原理，由杆子的实际长度、图片中的像素维度等，求得像素与实际长度的比。最后，用影子右端、杆子底部的坐标、物体长宽比、像素与实际长度的比，求出影子的长度。

得到上述数据之后，应用MATLAB 进行多项式拟合，和应用SPSS 软件进行非线性回归，两次拟合得到经纬度和日期。

三、基本假设

（1）一年是365天；

（2）地球表面是球表面；

（3）地球的公转是正圆；

（4）大气层有折射无厚度；

（5）视频中杆的底盘是正方形，不考虑厚度；

（6）杆没有厚度。

四、主要变量的符号说明

为了便于描述问题，本文将问题中涉及的主要变量用下列符号来表示(如下表1所示)，有些变量将在文中用到时陆续说明。

表1 符号 代表的含义 符号 代表的含义 L 杆长 l 影子的长度 t 太阳时 θ 太阳赤纬角 ϕ 当地的纬度

Ω 时角 ω 太阳的高度角

1ω 折射后的太阳高度角 n 日期序号

1n 折射率 K 太阳方位角

d 原始像素的高度 (,,)x y z 球坐标系 (,,)x y z ***

切平面的坐标系