随机误差及数据处理
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（2）误差（Error） 误差—测量值与真值之差 （3）误差的性质和分类 •系统误差：符号和数值总保持不变，或按一定 规律。 •随机误差：就某一次具体的测量来讲其误差的 大小与正负都不确定，而在大量重 复测量中遵守统计规律的误差。 •过失误差：观察、记录、操作等错误造成的。 Δi= x i-A
必须剔除的误差。
3
只有实验观察为准确可靠时才可能发现认识或证实 某自然规律。 为了得到正确可靠的实验数据需要掌握必要的误差理 论。 • 误差理论包括： • 减少实验误差的方法——系统误差理论。 • 实验误差的数据处理——指从带有偶然性的观察值中 用数学方法导出规律性结论的过程。 在不少实验中，尤其是现代物理实验中，现象的随机 性质是十分突出的，物理过程的规律性往往被现象表面 的偶然性所掩盖，因而必须用适当的数学工具才能恰当 地设计实验，才能由观察数据得出正确的结论。
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(3)测量的准确度、精密度与精确度
• 准确度——描述测量结果与真值的偏离程度，反映系统 误差的 大小。
• 精密度——描述重复测量结果之间的离散程度，反映偶 然误差大小。 • 精确度——准确度和精密度的结合。
精密度较好 准确度较好 精确度最好
精密度最差 准确度最好 精确度居中
精密度最好 准确度最差 精确度最差
∵ Δi= x i-A ∴
d i 1 dA
d ln f n ∴ d ln f 1 d ln f 2 0 d 1 d 2 d n
6
(4)最可信值与真值
真值——测量对象真正的数值。
最可信值——实验测量所得的最可能接近真值将证明最可信值就是大量重复测量的算术平均值。 因为真值是不知道的，误差因此无法求得。只能引入残 差概念对误差大小作一估计。 残差：
v xx
7
2. 随机误差与概率统计 （1）研究随机误差的意义 一切测量中，随机误差是无法避免的，利用随机误 差理论对测量数据进行处理可减小随机误差对测量结果 的影响并估计出误差的大小。 （2）有关概率统计的几个基本概念 概率：一定条件下的N次试验（测量）中，事件A发生了 NA次，事件A的概率为P(A)
d ln p d ln f 1 d ln f 2 d ln f n 0 dA dA dA dA
d ln p d ln f 1 d1 d ln f 2 d 2 d ln f n dn 或： 0 dA d1 dA d 2 dA d n dA
d ln p d ln f 1 d ln f 2 d ln f n d ln d n dA dA dA dA dA
(1)
12
•高斯分布函数的推导
dΔ为任意取定的微分量，与A无关，∴ 令(1)式等于零，有
d ln d n 0 dA
A. 高斯分布函数的导出（p.495-498）
h f exp h 2 2
10
•高斯分布函数的推导
对某物理量（x）作n次等精度测量 x1,x2,x3,……,xn Δ1,Δ2,Δ3, …… ,Δn 设真值为A， Δi=xi－A 测量误差分布于Δi～ Δi + dΔ的概率取决于f (Δi) 及 dΔ， 即 p(Δi)=f (Δi) dΔ ∴误差出现于Δ1～ Δ1 +dΔ的概率 p(Δ1)=f (Δ1) dΔ 误差出现于Δ2～ Δ2 +dΔ的概率 p(Δ2)=f (Δ2) dΔ …… 误差出现于Δn～ Δn +dΔ的概率 p(Δn)=f (Δn) dΔ
服从高斯分布。例：用秒表测量单摆的振动时间T。
•概率密度函数
dp ( x) 当随机变量为连续时，定义f(Δ)= d
为概率密度 函数
(p.494)
•意义：随机变量的值落入某一值附近无限小区间的 概率等于
变量取该值时的概率密度与此无限小误差区间的乘积。 归一化条件：
f
()
d 1
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（3）随机误差的统计分布
11
•高斯分布函数的推导
根据独立事件的概率乘法定理 P= p(Δ1) p(Δ2) … p(Δn) = f (Δ1) dΔ f (Δ2) dΔ … f (Δn) dΔ 两边取对数： lnP=ln f (Δ1) + ln f (Δ1) + … +lnf (Δn) dΔ+nln(dΔ) 对于各组等精度的测量中，哪一组测量数据对应出现的 概率最大？显然，测量数据偏离A越大的数据组出现的 概率越小，测量数据组中偏离A最小的数据但出现的概 率最大。因此dp/dA=0，上式对A求导
随机误差的数据处理
1
1. 测量误差及其种类
2. 随机误差与概率统计
3. 随机误差的统计表示 4. 直接测量数据的一般处理过程
5. 间接测量的误差
2
1. 测量误差及其种类 （1）误差的意义 科学实验的任务——观察自然现象，定量测 量有关物理量，并通过误差的数据处理以及 对测量结果不确定度的评估使测量的物理量 更接近于真实的值。然后通过理论分析，总 结出这些物理量之间的相互联系，得到对自 然现象本质的认识。 例1：经典力学—天文学观察（第谷—开普勒— 牛顿）
泊松分布、均匀分布……t分布。 • 高斯分布 p495/13
p495
随机误差服从的统计分布规律有：高斯分布、二项式分布、
随机误差服从高斯分布时，大量等精密度独立测量的结果 服从三条概率论公理：
有界性：随机误差的绝对值不超过某一定界限。
对称性：绝对值相同的正、负误差出现的概率相同。 单峰性：绝对值大的误差出现的概率小，绝对值小的误差出现概率大。绝对值最小 的误差出现概率最大。
P(A) lim
N
NA N
例：有红、黄、蓝、白、黑五色子，每次抽1只，抽了N 次，出现红子的次数Nr，那么出现红子的概率为
P(r ) lim
N
Nr N
8
•随机变量
若一定条件下某观察值的出现是一随机事件，那么这一观 察值就是随机变量。（在相同条件下，由于偶然因素变量可能
不同值，但这些值落在某个范围内的概率是确定的）如：概率
（2）误差（Error） 误差—测量值与真值之差 （3）误差的性质和分类 •系统误差：符号和数值总保持不变，或按一定 规律。 •随机误差：就某一次具体的测量来讲其误差的 大小与正负都不确定，而在大量重 复测量中遵守统计规律的误差。 •过失误差：观察、记录、操作等错误造成的。 Δi= x i-A
必须剔除的误差。
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只有实验观察为准确可靠时才可能发现认识或证实 某自然规律。 为了得到正确可靠的实验数据需要掌握必要的误差理 论。 • 误差理论包括： • 减少实验误差的方法——系统误差理论。 • 实验误差的数据处理——指从带有偶然性的观察值中 用数学方法导出规律性结论的过程。 在不少实验中，尤其是现代物理实验中，现象的随机 性质是十分突出的，物理过程的规律性往往被现象表面 的偶然性所掩盖，因而必须用适当的数学工具才能恰当 地设计实验，才能由观察数据得出正确的结论。
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(3)测量的准确度、精密度与精确度
• 准确度——描述测量结果与真值的偏离程度，反映系统 误差的 大小。
• 精密度——描述重复测量结果之间的离散程度，反映偶 然误差大小。 • 精确度——准确度和精密度的结合。
精密度较好 准确度较好 精确度最好
精密度最差 准确度最好 精确度居中
精密度最好 准确度最差 精确度最差
∵ Δi= x i-A ∴
d i 1 dA
d ln f n ∴ d ln f 1 d ln f 2 0 d 1 d 2 d n
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(4)最可信值与真值
真值——测量对象真正的数值。
最可信值——实验测量所得的最可能接近真值将证明最可信值就是大量重复测量的算术平均值。 因为真值是不知道的，误差因此无法求得。只能引入残 差概念对误差大小作一估计。 残差：
v xx
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2. 随机误差与概率统计 （1）研究随机误差的意义 一切测量中，随机误差是无法避免的，利用随机误 差理论对测量数据进行处理可减小随机误差对测量结果 的影响并估计出误差的大小。 （2）有关概率统计的几个基本概念 概率：一定条件下的N次试验（测量）中，事件A发生了 NA次，事件A的概率为P(A)
d ln p d ln f 1 d ln f 2 d ln f n 0 dA dA dA dA
d ln p d ln f 1 d1 d ln f 2 d 2 d ln f n dn 或： 0 dA d1 dA d 2 dA d n dA
d ln p d ln f 1 d ln f 2 d ln f n d ln d n dA dA dA dA dA
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•高斯分布函数的推导
dΔ为任意取定的微分量，与A无关，∴ 令(1)式等于零，有
d ln d n 0 dA
A. 高斯分布函数的导出（p.495-498）
h f exp h 2 2
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•高斯分布函数的推导
对某物理量（x）作n次等精度测量 x1,x2,x3,……,xn Δ1,Δ2,Δ3, …… ,Δn 设真值为A， Δi=xi－A 测量误差分布于Δi～ Δi + dΔ的概率取决于f (Δi) 及 dΔ， 即 p(Δi)=f (Δi) dΔ ∴误差出现于Δ1～ Δ1 +dΔ的概率 p(Δ1)=f (Δ1) dΔ 误差出现于Δ2～ Δ2 +dΔ的概率 p(Δ2)=f (Δ2) dΔ …… 误差出现于Δn～ Δn +dΔ的概率 p(Δn)=f (Δn) dΔ
服从高斯分布。例：用秒表测量单摆的振动时间T。
•概率密度函数
dp ( x) 当随机变量为连续时，定义f(Δ)= d
为概率密度 函数
(p.494)
•意义：随机变量的值落入某一值附近无限小区间的 概率等于
变量取该值时的概率密度与此无限小误差区间的乘积。 归一化条件：
f
()
d 1
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（3）随机误差的统计分布
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•高斯分布函数的推导
根据独立事件的概率乘法定理 P= p(Δ1) p(Δ2) … p(Δn) = f (Δ1) dΔ f (Δ2) dΔ … f (Δn) dΔ 两边取对数： lnP=ln f (Δ1) + ln f (Δ1) + … +lnf (Δn) dΔ+nln(dΔ) 对于各组等精度的测量中，哪一组测量数据对应出现的 概率最大？显然，测量数据偏离A越大的数据组出现的 概率越小，测量数据组中偏离A最小的数据但出现的概 率最大。因此dp/dA=0，上式对A求导
随机误差的数据处理
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1. 测量误差及其种类
2. 随机误差与概率统计
3. 随机误差的统计表示 4. 直接测量数据的一般处理过程
5. 间接测量的误差
2
1. 测量误差及其种类 （1）误差的意义 科学实验的任务——观察自然现象，定量测 量有关物理量，并通过误差的数据处理以及 对测量结果不确定度的评估使测量的物理量 更接近于真实的值。然后通过理论分析，总 结出这些物理量之间的相互联系，得到对自 然现象本质的认识。 例1：经典力学—天文学观察（第谷—开普勒— 牛顿）
泊松分布、均匀分布……t分布。 • 高斯分布 p495/13
p495
随机误差服从的统计分布规律有：高斯分布、二项式分布、
随机误差服从高斯分布时，大量等精密度独立测量的结果 服从三条概率论公理：
有界性：随机误差的绝对值不超过某一定界限。
对称性：绝对值相同的正、负误差出现的概率相同。 单峰性：绝对值大的误差出现的概率小，绝对值小的误差出现概率大。绝对值最小 的误差出现概率最大。
P(A) lim
N
NA N
例：有红、黄、蓝、白、黑五色子，每次抽1只，抽了N 次，出现红子的次数Nr，那么出现红子的概率为
P(r ) lim
N
Nr N
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•随机变量
若一定条件下某观察值的出现是一随机事件，那么这一观 察值就是随机变量。（在相同条件下，由于偶然因素变量可能
不同值，但这些值落在某个范围内的概率是确定的）如：概率