随机误差及数据处理
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(4)最可信值与真值
真值——测量对象真正的数值。
最可信值——实验测量所得的最可能接近真值的值。
算术平均值——最小误差所对应的出现概率最大的值。
以后将证明最可信值就是大量重复测量的算术平均值。 因为真值是不知道的，误差因此无法求得。只能引入残 差概念对误差大小作一估计。 残差：
v xx
7
2. 随机误差与概率统计 （1）研究随机误差的意义 一切测量中，随机误差是无法避免的，利用随机误 差理论对测量数据进行处理可减小随机误差对测量结果 的影响并估计出误差的大小。 （2）有关概率统计的几个基本概念 概率：一定条件下的N次试验（测量）中，事件A发生了 NA次，事件A的概率为P(A)
d ln p d ln f 1 d ln f 2 d ln f n d ln d n dA dA dA dA dA
(1)
12
•高斯分布函数的推导
dΔ为任意取定的微分量，与A无关，∴ 令(1)式等于零，有
d ln d n 0 dA
3
只有实验观察为准确可靠时才可能发现认识或证实 某自然规律。 为了得到正确可靠的实验数据需要掌握必要的误差理 论。 • 误差理论包括： • 减少实验误差的方法——系统误差理论。 • 实验误差的数据处理——指从带有偶然性的观察值中 用数学方法导出规律性结论的过程。 在不少实验中，尤其是现代物理实验中，现象的随机 性质是十分突出的，物理过程的规律性往往被现象表面 的偶然性所掩盖，因而必须用适当的数学工具才能恰当 地设计实验，才能由观察数据得出正确的结论。
P(A) lim
N
NA N
例：有红、黄、蓝、白、黑五色子，每次抽1只，抽了N 次，出现红子的次数Nr，那么出现红子的概率为
P(r ) lim
N
Nr N
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•随机变量
若一定条件下某观察值的出现是一随机事件，那么这一观 察值就是随机变量。（在相同条件下，由于偶然因素变量可能
不同值，但这些值落在某个范围内的概率是确定的）如：概率
服从高斯分布。例：用秒表测量单摆的振动时间T。
•概率密度函数
dp ( x) 当随机变量为连续时，定义f(Δ)= d
为概率密度 函数
(p.494)
•意义：随机变量的值落入某一值附近无限小区间的 概率等于
变量取该值时的概率密度与此无限小误差区间的乘积。 归一化条件：
f
()
d 1
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（3）随机误差的统计分布
A. 高斯分布函数的导出（p.495-498）
h f exp h 2 2
10
•高斯分布函数的推导
对某物理量（x）作n次等精度测量 x1,x2,x3,……,xn Δ1,Δ2,Δ3, …… ,Δn 设真值为A， Δi=xi－A 测量误差分布于Δi～ Δi + dΔ的概率取决于f (Δi) 及 dΔ， 即 p(Δi)=f (Δi) dΔ ∴误差出现于Δ1～ Δ1 +dΔ的概率 p(Δ1)=f (Δ1) dΔ 误差出现于Δ2～ Δ2 +dΔ的概率 p(Δ2)=f (Δ2) dΔ …… 误差出现于Δn～ Δn +dΔ的概率 p(Δn)=f (Δn) dΔ
随机误差的数据处理
1
1. 测量误差及其种类
2. 随机误差与概率统计
3. 随机误差的统计表示 4. 直接测量数据的一般处理过程
5. 间接测量的误差
2
1. 测量误差及其种类 （1）误差的意义 科学实验的任务——观察自然现象，定量测 量有关物理量，并通过误差的数据处理以及 对测量结果不确定度的评估使测量的物理量 更接近于真实的值。然后通过理论分析，总 结出这些物理量之间的相互联系，得到对自 然现象本质的认识。 例1：经典力学—天文学观察（第谷—开普勒— 牛顿）
泊松分布、均匀分布……t分布。 • 高斯分布 p495/13
p495
随Baidu Nhomakorabea误差服从的统计分布规律有：高斯分布、二项式分布、
随机误差服从高斯分布时，大量等精密度独立测量的结果 服从三条概率论公理：
有界性：随机误差的绝对值不超过某一定界限。
对称性：绝对值相同的正、负误差出现的概率相同。 单峰性：绝对值大的误差出现的概率小，绝对值小的误差出现概率大。绝对值最小 的误差出现概率最大。
5
(3)测量的准确度、精密度与精确度
• 准确度——描述测量结果与真值的偏离程度，反映系统 误差的 大小。
• 精密度——描述重复测量结果之间的离散程度，反映偶 然误差大小。 • 精确度——准确度和精密度的结合。
精密度较好 准确度较好 精确度最好
精密度最差 准确度最好 精确度居中
精密度最好 准确度最差 精确度最差
11
•高斯分布函数的推导
根据独立事件的概率乘法定理 P= p(Δ1) p(Δ2) … p(Δn) = f (Δ1) dΔ f (Δ2) dΔ … f (Δn) dΔ 两边取对数： lnP=ln f (Δ1) + ln f (Δ1) + … +lnf (Δn) dΔ+nln(dΔ) 对于各组等精度的测量中，哪一组测量数据对应出现的 概率最大？显然，测量数据偏离A越大的数据组出现的 概率越小，测量数据组中偏离A最小的数据但出现的概 率最大。因此dp/dA=0，上式对A求导
d ln p d ln f 1 d ln f 2 d ln f n 0 dA dA dA dA
d ln p d ln f 1 d1 d ln f 2 d 2 d ln f n dn 或： 0 dA d1 dA d 2 dA d n dA
∵ Δi= x i-A ∴
d i 1 dA
d ln f n ∴ d ln f 1 d ln f 2 0 d 1 d 2 d n
4
（2）误差（Error） 误差—测量值与真值之差 （3）误差的性质和分类 •系统误差：符号和数值总保持不变，或按一定 规律。 •随机误差：就某一次具体的测量来讲其误差的 大小与正负都不确定，而在大量重 复测量中遵守统计规律的误差。 •过失误差：观察、记录、操作等错误造成的。 Δi= x i-A
必须剔除的误差。
(4)最可信值与真值
真值——测量对象真正的数值。
最可信值——实验测量所得的最可能接近真值的值。
算术平均值——最小误差所对应的出现概率最大的值。
以后将证明最可信值就是大量重复测量的算术平均值。 因为真值是不知道的，误差因此无法求得。只能引入残 差概念对误差大小作一估计。 残差：
v xx
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2. 随机误差与概率统计 （1）研究随机误差的意义 一切测量中，随机误差是无法避免的，利用随机误 差理论对测量数据进行处理可减小随机误差对测量结果 的影响并估计出误差的大小。 （2）有关概率统计的几个基本概念 概率：一定条件下的N次试验（测量）中，事件A发生了 NA次，事件A的概率为P(A)
d ln p d ln f 1 d ln f 2 d ln f n d ln d n dA dA dA dA dA
(1)
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•高斯分布函数的推导
dΔ为任意取定的微分量，与A无关，∴ 令(1)式等于零，有
d ln d n 0 dA
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只有实验观察为准确可靠时才可能发现认识或证实 某自然规律。 为了得到正确可靠的实验数据需要掌握必要的误差理 论。 • 误差理论包括： • 减少实验误差的方法——系统误差理论。 • 实验误差的数据处理——指从带有偶然性的观察值中 用数学方法导出规律性结论的过程。 在不少实验中，尤其是现代物理实验中，现象的随机 性质是十分突出的，物理过程的规律性往往被现象表面 的偶然性所掩盖，因而必须用适当的数学工具才能恰当 地设计实验，才能由观察数据得出正确的结论。
P(A) lim
N
NA N
例：有红、黄、蓝、白、黑五色子，每次抽1只，抽了N 次，出现红子的次数Nr，那么出现红子的概率为
P(r ) lim
N
Nr N
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•随机变量
若一定条件下某观察值的出现是一随机事件，那么这一观 察值就是随机变量。（在相同条件下，由于偶然因素变量可能
不同值，但这些值落在某个范围内的概率是确定的）如：概率
服从高斯分布。例：用秒表测量单摆的振动时间T。
•概率密度函数
dp ( x) 当随机变量为连续时，定义f(Δ)= d
为概率密度 函数
(p.494)
•意义：随机变量的值落入某一值附近无限小区间的 概率等于
变量取该值时的概率密度与此无限小误差区间的乘积。 归一化条件：
f
()
d 1
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（3）随机误差的统计分布
A. 高斯分布函数的导出（p.495-498）
h f exp h 2 2
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•高斯分布函数的推导
对某物理量（x）作n次等精度测量 x1,x2,x3,……,xn Δ1,Δ2,Δ3, …… ,Δn 设真值为A， Δi=xi－A 测量误差分布于Δi～ Δi + dΔ的概率取决于f (Δi) 及 dΔ， 即 p(Δi)=f (Δi) dΔ ∴误差出现于Δ1～ Δ1 +dΔ的概率 p(Δ1)=f (Δ1) dΔ 误差出现于Δ2～ Δ2 +dΔ的概率 p(Δ2)=f (Δ2) dΔ …… 误差出现于Δn～ Δn +dΔ的概率 p(Δn)=f (Δn) dΔ
随机误差的数据处理
1
1. 测量误差及其种类
2. 随机误差与概率统计
3. 随机误差的统计表示 4. 直接测量数据的一般处理过程
5. 间接测量的误差
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1. 测量误差及其种类 （1）误差的意义 科学实验的任务——观察自然现象，定量测 量有关物理量，并通过误差的数据处理以及 对测量结果不确定度的评估使测量的物理量 更接近于真实的值。然后通过理论分析，总 结出这些物理量之间的相互联系，得到对自 然现象本质的认识。 例1：经典力学—天文学观察（第谷—开普勒— 牛顿）
泊松分布、均匀分布……t分布。 • 高斯分布 p495/13
p495
随Baidu Nhomakorabea误差服从的统计分布规律有：高斯分布、二项式分布、
随机误差服从高斯分布时，大量等精密度独立测量的结果 服从三条概率论公理：
有界性：随机误差的绝对值不超过某一定界限。
对称性：绝对值相同的正、负误差出现的概率相同。 单峰性：绝对值大的误差出现的概率小，绝对值小的误差出现概率大。绝对值最小 的误差出现概率最大。
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(3)测量的准确度、精密度与精确度
• 准确度——描述测量结果与真值的偏离程度，反映系统 误差的 大小。
• 精密度——描述重复测量结果之间的离散程度，反映偶 然误差大小。 • 精确度——准确度和精密度的结合。
精密度较好 准确度较好 精确度最好
精密度最差 准确度最好 精确度居中
精密度最好 准确度最差 精确度最差
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•高斯分布函数的推导
根据独立事件的概率乘法定理 P= p(Δ1) p(Δ2) … p(Δn) = f (Δ1) dΔ f (Δ2) dΔ … f (Δn) dΔ 两边取对数： lnP=ln f (Δ1) + ln f (Δ1) + … +lnf (Δn) dΔ+nln(dΔ) 对于各组等精度的测量中，哪一组测量数据对应出现的 概率最大？显然，测量数据偏离A越大的数据组出现的 概率越小，测量数据组中偏离A最小的数据但出现的概 率最大。因此dp/dA=0，上式对A求导
d ln p d ln f 1 d ln f 2 d ln f n 0 dA dA dA dA
d ln p d ln f 1 d1 d ln f 2 d 2 d ln f n dn 或： 0 dA d1 dA d 2 dA d n dA
∵ Δi= x i-A ∴
d i 1 dA
d ln f n ∴ d ln f 1 d ln f 2 0 d 1 d 2 d n
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（2）误差（Error） 误差—测量值与真值之差 （3）误差的性质和分类 •系统误差：符号和数值总保持不变，或按一定 规律。 •随机误差：就某一次具体的测量来讲其误差的 大小与正负都不确定，而在大量重 复测量中遵守统计规律的误差。 •过失误差：观察、记录、操作等错误造成的。 Δi= x i-A
必须剔除的误差。