附录1截面几何性质精品PPT课件
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附录 截面几何性质(1)
A
代入公式
xdA
ydA
xC
A
A
,
yC
A
A
，可得到截面的形心坐标与静矩间的
关系为
Sx AyC , S y AxC
若已知截面的静矩，则可由上式确定截面形心的位置；反之，
若已知截面形心位置，则可由上式求得截面的静矩。
由上式可以看出，若截面对某轴（例如x轴）的静矩为零 （Sx=0），则该轴一定通过此截面的形心（yC=0）。通过截面形心 的轴称为截面的形心轴。反之，截面对其形心轴的静矩一定为零。
截面形心C的坐标为
xC
A1xC1 A2 xC2 A1 A2
105000 175－ 22500 105000－22500
300
mm
140.9mm
yC
A1 yC1 A2 yC2 A1 A2
105000 150－ 22500 105000－22500
200
mm
136.4mm
目录
附录Ⅰ 截面的几何性质\静矩与形心 解法二。
将截面看作由大矩形减去三角 形组成的组合截面，被减去部分的 面积应取负值，这种方法称为负面 积法。矩形和三角形的面积及形心 C1、C2的坐标分别为
矩形 A1=105000mm2， xC1=175mm， yC1=150mm
三角形 A2=－22500mm2， xC2=300mm， yC2=200mm
分别用Sx和Sy表示，即
Sx
A ydA , Sy
xdA
A
目录
附录Ⅰ 截面的几何性质\静矩与形心
由定义知，静矩与所选坐标轴的位置有关，同一截面对不同坐 标轴有不同的静矩。静矩是一个代数量，其值可为正、为负、或为 零。静矩的单位为mm3或m3。
代入公式
xdA
ydA
xC
A
A
,
yC
A
A
，可得到截面的形心坐标与静矩间的
关系为
Sx AyC , S y AxC
若已知截面的静矩，则可由上式确定截面形心的位置；反之，
若已知截面形心位置，则可由上式求得截面的静矩。
由上式可以看出，若截面对某轴（例如x轴）的静矩为零 （Sx=0），则该轴一定通过此截面的形心（yC=0）。通过截面形心 的轴称为截面的形心轴。反之，截面对其形心轴的静矩一定为零。
截面形心C的坐标为
xC
A1xC1 A2 xC2 A1 A2
105000 175－ 22500 105000－22500
300
mm
140.9mm
yC
A1 yC1 A2 yC2 A1 A2
105000 150－ 22500 105000－22500
200
mm
136.4mm
目录
附录Ⅰ 截面的几何性质\静矩与形心 解法二。
将截面看作由大矩形减去三角 形组成的组合截面，被减去部分的 面积应取负值，这种方法称为负面 积法。矩形和三角形的面积及形心 C1、C2的坐标分别为
矩形 A1=105000mm2， xC1=175mm， yC1=150mm
三角形 A2=－22500mm2， xC2=300mm， yC2=200mm
分别用Sx和Sy表示，即
Sx
A ydA , Sy
xdA
A
目录
附录Ⅰ 截面的几何性质\静矩与形心
由定义知，静矩与所选坐标轴的位置有关，同一截面对不同坐 标轴有不同的静矩。静矩是一个代数量，其值可为正、为负、或为 零。静矩的单位为mm3或m3。
附录Ⅰ常见截面的几何性质PPT课件
IP
2dA;
A
简单图形的极惯性矩可由定义式积分计算。
实心圆截面：
IP
D 2
2
2dA
D4
;
0
32
空心圆截面：
IP
D4
32
(1 4 );(
d) D
二、惯性矩(转动惯量）：
定义：平面图形中任一微面积dA对z轴、y轴的惯性矩分别为： y2dA和Z2dA；则整个图形（面积为A)对z轴、y轴的惯性矩分别为：
I
Iz
z A
bh3 12
y 2 dA; ; Iy
Iy h b3
; 12
z 2 dA;
A
圆形截面：I y
Iz
D4
64
;
几何关系：
IP
2dA
A
(y2
A
z2 )dA
IZ
Iy.
四、惯性积：
I zy
z y dA;
A
五、平行移轴公式：
I z1 z a2 A; y1 y b2 A;
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;
Ai
i 1
解：取参考坐标轴y、z,由对称图形,zc=0。 分解图形为１、２两个矩形，则
A1 0.072m2, y1 2.46m; A2 0.48m2, y2 1.2m;
y若c 分A解1Ay1为1 １AA22、y2 ２ 、0.0３72三0.02个.742矩6形00.4.，488则1.2 1.36m;
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小结
一、静矩： Sz A y dA A yc ;
Sy
z
A
dA
附录1 平面图形的几何性质PPT课件
截面对于一个构件或者结构来说是非常重要的，下面我 们列举一下工程当中常见的几种截面：
槽钢 工字型
角钢
1
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总体概述
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2
平面图形的几何性质
杆件的和截面是平面图形，它的几何性 质与强度、刚度计算密切相关，必须很好掌 握。拉压中的面积A，扭转中的极惯性矩 都 属于截面图形的几何性质。在附录1中我们I P还 要学到静矩、惯性矩和惯性积。
的，但惯性矩恒为正。 （2）组合截面对某一轴的惯性矩等于各部分对
该轴的惯性矩之代数和。
n
n
Iz
i1
I
zi
Iy
i 1
I
yi
13
例1 试计算图(a)所示矩形截面对于其对称轴
（即形心轴）z 和 y 的惯性矩。
y
解： 取平行于x轴的狭长条，
则 dA=b dy
IzAy2dAh 2h 2by2dyb1h23
A
单位：m 4
o
y
11
惯性矩 z
y A o
图形对z轴的惯性矩
Iz
y2dA
A
dA
z
图形对y轴的惯性矩
y
Iy
z2dA
A
单位：m 4
极惯性矩和对轴惯性矩之间的关系：Ip 2dAIz Iy
A
12
惯性半径
截面图形对y轴的惯性半径：i y
Iy A
截面图形对z轴的惯性半径：iz
Iz A
惯性矩的性质 （1）截面图形对不同坐标轴的惯性矩是不同
a
槽钢 工字型
角钢
1
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2
平面图形的几何性质
杆件的和截面是平面图形，它的几何性 质与强度、刚度计算密切相关，必须很好掌 握。拉压中的面积A，扭转中的极惯性矩 都 属于截面图形的几何性质。在附录1中我们I P还 要学到静矩、惯性矩和惯性积。
的，但惯性矩恒为正。 （2）组合截面对某一轴的惯性矩等于各部分对
该轴的惯性矩之代数和。
n
n
Iz
i1
I
zi
Iy
i 1
I
yi
13
例1 试计算图(a)所示矩形截面对于其对称轴
（即形心轴）z 和 y 的惯性矩。
y
解： 取平行于x轴的狭长条，
则 dA=b dy
IzAy2dAh 2h 2by2dyb1h23
A
单位：m 4
o
y
11
惯性矩 z
y A o
图形对z轴的惯性矩
Iz
y2dA
A
dA
z
图形对y轴的惯性矩
y
Iy
z2dA
A
单位：m 4
极惯性矩和对轴惯性矩之间的关系：Ip 2dAIz Iy
A
12
惯性半径
截面图形对y轴的惯性半径：i y
Iy A
截面图形对z轴的惯性半径：iz
Iz A
惯性矩的性质 （1）截面图形对不同坐标轴的惯性矩是不同
a
《材料力学》课程讲解课件附录I平面图形几何性质
解：
y
d
S x
yd A
A
2 yb( y) d y
0
b(y)
C
xc
yc
d
2 y2
R2 y2 d y d3
0
12
x
d
yc
Sx A
d3 12 πd 2 8
2d 3π
b( y) 2 R2 y2
29
yc
Sx A
d3 12 πd 2 8
2d 3π
y
2、求对形心轴 xc 的惯性矩
Ix
πd 4 64 2
3、惯性积是对轴而言。
y
z
dA
4、惯性积的取值为正值、负值、零。
y
5、规律：
o
z
20
5、规律：
Izy
zydA
A
0
y
dA z z dA
y
y
z
o
两坐标轴中，只要有一个轴为图形的对称轴，则 图形这一对坐标轴的惯性积为零。
21
对比记忆 静矩、形心；惯矩和惯性半径；它们都是反映截
面面积关于坐标轴分布情况的物理量。 静矩=（面积）（形心坐标） 惯矩=（面积）（惯性半径）2
z
o
dA y
z
全面积对z轴的惯性矩: I z y2dA,
2 z2 y2
全面积对y轴的惯性矩: I y A z2dA
A
15
Iz y2dA, I y z2dA
A
A
y
z
dA
y
o
z
2、量纲：［长度］4；单位：m4、cm4、mm4。 2 z2 y2
3、惯性矩是对轴而言（轴惯性矩）。
A
附录1 截面图形的几何性质概况PPT课件
2
1.1 静矩和形心
max
FN max A
;
T
GI P
;
max
T WP
一、截面的静矩(static moment)
dSx dA y
dSy dA x
Sx dSx ydA
A
A
Sy dSy xdA
A
A
3
二、形心(centriod of an area）
¯x
m x dm m
h1 2
bh1
( h2 2
h1 ) dh2
h2
Sy x.A 0
x0
h1
x
y Sx
b
A
8
1.2 惯性矩、惯性积和惯性半径
一、惯性矩(moment of inertia)：（类似于转动惯量）
Ix y2dA A
I y x2dA A
二、极惯性矩：是面积对极点的二次矩。 IP r2dA Ix I y A
xi Ai
x 1
A1
x.3 120 80 70 110
图（b）
y
yi Ai
y 1
A1
y 2 A2
A
A1 A2
5 (70 110) 20.3 120 80 70 110
7
练习：求Sx、Sy，并求形心位置。
yd
S x S1x S2 x
I x I xC b2 A
12
I x I xC b2 A 同理：
I y I yC a2 A I xy I xC yC abA
注意！C点必须为截面形心。
13
y
d O
A
例 3-1 求图示圆对其切线AB的惯性矩. 解 ：求解此题有两种方法：一是安
1.1 静矩和形心
max
FN max A
;
T
GI P
;
max
T WP
一、截面的静矩(static moment)
dSx dA y
dSy dA x
Sx dSx ydA
A
A
Sy dSy xdA
A
A
3
二、形心(centriod of an area）
¯x
m x dm m
h1 2
bh1
( h2 2
h1 ) dh2
h2
Sy x.A 0
x0
h1
x
y Sx
b
A
8
1.2 惯性矩、惯性积和惯性半径
一、惯性矩(moment of inertia)：（类似于转动惯量）
Ix y2dA A
I y x2dA A
二、极惯性矩：是面积对极点的二次矩。 IP r2dA Ix I y A
xi Ai
x 1
A1
x.3 120 80 70 110
图（b）
y
yi Ai
y 1
A1
y 2 A2
A
A1 A2
5 (70 110) 20.3 120 80 70 110
7
练习：求Sx、Sy，并求形心位置。
yd
S x S1x S2 x
I x I xC b2 A
12
I x I xC b2 A 同理：
I y I yC a2 A I xy I xC yC abA
注意！C点必须为截面形心。
13
y
d O
A
例 3-1 求图示圆对其切线AB的惯性矩. 解 ：求解此题有两种方法：一是安
截面的几何性质
附录Ⅰ 截面的几何性质§I −1 截面的静矩和形心位置如图I −1所示平面图形代表一任意截面，以下两积分⎪⎭⎪⎬⎫==⎰⎰A z S A y S A y Az d d （I −1） 分别定义为该截面对于z 轴和y 轴的静矩。
静矩可用来确定截面的形心位置。
由静力学中确定物体重心的公式可得⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫==⎰⎰A A z z A A y y AC ACd d利用公式（I −1），上式可写成⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫====⎰⎰A S A A z z A S A Ay y y AC z AC d d （I −2） 或⎭⎬⎫==C y C z Az S Ay S （I −3）⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫==A S z A S y y C z C （I −4）如果一个平面图形是由若干个简单图形组成的组合图形，则由静矩的定义可知，整个图形对某一坐标轴的静矩应该等于各简单图形对同一坐标轴的静矩的代数和。
即：⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫==∑∑==ni ci i y ni ci i z z A S y A S 11（I −5）式中A i 、y ci 和z ci 分别表示某一组成部分的面积和其形心坐标，n 为简单图形的个数。
将式（I −5）代入式（I −4），得到组合图形形心坐标的计算公式为图I −1⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎪⎪⎬⎫==∑∑∑∑====n i i ni ci i c ni i ni ci i c A z A z A y A y 1111（I −6） 例题I −1 图a 所示为对称T 型截面，求该截面的形心位置。
解：建立直角坐标系zOy ，其中y 为截面的对称轴。
因图形相对于y 轴对称，其形心一定在该对称轴上，因此z C =0，只需计算y C 值。
将截面分成Ⅰ、Ⅱ两个矩形，则A Ⅰ=0.072m 2，A Ⅱ=0.08m 2 y Ⅰ=0.46m ，y Ⅱ=0.2m m323.008.0072.02.008.046.0072.0III IIII I I 11=+⨯+⨯=++==∑∑==A A y A y A AyA y ni ini cii c§I −2 惯性矩、惯性积和极惯性矩如图I −2所示平面图形代表一任意截面，在图形平面内建立直角坐标系zOy 。
附录1 截面的几何性质
tg2 0
二、主惯性矩（主矩）
图形对主轴的惯性矩Iｘ0、Iy0 称为主惯性矩，主惯性 矩为图形对过该点的所有轴的惯性矩中的最大和最小值。
Ix I y 2 2 I x0 I x I y ments of inertia: ( ) I xy I 2 2 y 0
y d yC O
I yC I rectangle xC I circle xC
x1
(1.5d )3 2d d 4 0.513d 4 12 64
2d
I xCyC 0 Therefore axes xC and yC are the
principal axes of the centroid.
y
一、截面的静矩
dS x dAy
x y 截面对x轴的静矩 dA 截面对y轴的静矩 x 量纲：［长度］3；单位：m3、cm3、mm3。
dS y dAx
S x dS x ydA
A A
S y dS y xdA
A A
o
静矩的值可以是正值、负值、或零
二、截面的形心
yC
Example
求图示图形的形心主惯性 矩(b=1.5d)
y 2d yC O
C
d
x1
解： 1 建立坐标 2 求形心 x xC
xi Ai 0 0 x A A 2 d d y A i i y 2 4 2 0.177d A 2 d 3 d 4
o
yC dA
y xC
x a xC y b yC
I x y 2 dA
A
C
x
( y C b ) dA
材料力学课件4第四章弯曲内力4-3(附录I)
h
O
x
b
dA=b· dy
y dy y
O
h
x
b
bh I x = y dA= y bdy A h / 2 12
2 h/2 2
3
( 公式熟练掌握：宽×高3/12） 同理：
hb I y = x dA= x hdy A b / 2 12
2 b/2 2
3
例I-4：计算如图的惯性矩Ix , Iy,。 y d
将有关尺寸(mm)标在图中 y' C2
250
C1
O'
x
98 .3 26 .7
C3
26 .7
19 .21
y 0
A 24.1mm A x 4491(19.21 26.7) 2 2030 0 x
i i
.
4491 2 2030
将有关尺寸标在图中，标形心轴x-y轴 y y' 24 .1
Sx A
组合图形计算形心坐标的公式(I—2a)为：
x
A
xdA A
Sy A
S A
y ,i
Ax A
i i
y
A
ydA A
Sx Sx ,i A i yi A A A
(I—4)
形心坐标的公式(I—2a) 可改写为：
Sy Ax
常用，掌握
Sx Ay
(2) 由
Sx Ay
Sy Ax
2
y
bh h bh Sx Ay 2 3 6
h
C
b
h/3 x
补例：计算如图(a)的静矩Sz ,Sy, 图(b) Sz 。
(优选)截面的几何性质ppt讲解
y
1.极惯性矩（或截面二次极矩）
I p
2d A
A
y
2.惯性矩（或截面二次轴矩）
I y
x2 d A
A
I x
y2d A
A
（为正值，单位m4 或 mm4) O
由于 2 y2 x2
dA
x
x
所以
Ip
2 d A
A
(y2
A
x2)
dA
IxIy
（即截面对一点的极惯性矩，等于截面对以该点为原
bh2
S x
y d A (h y)y d y
A
0h
6
例2求图示半径为r的半圆形对其直径轴x的静矩及其形心坐标yC 。
解：过圆心O作与x轴垂直的y轴，在距x任意高度y处取一个与x 轴平行的窄条，
d A 2 r2 y2 • d y
y
dA
dy
yC
Sx
A
yd
A
r
0
y(
2
r2 y2 )d y 2 r3 3
•组合截面的惯性矩和惯性积
1.惯性矩和惯性积的平行移轴公式
1.公式推导
y
yC
x
b
xC
I x
y2d A
A
A yc a2 d A
A yc 2 d A 2a A yc d A a2 A d A
I xc 2a A yc a2 A
C
dA yC
xC I xc a 2 A
y a
yC
Ai yC i Ai
(20010) (5 150) 2 (10300) 0 20010 2 (10300)
38.8 mm
矩形I
附录1 截面的几何性质概论
一、惯性矩和惯性积的
y
转轴公式
y1
x1
dA y1
x1
x1 x cos y sin
y1
x
sin
y
cos
y
C
E
D
oxB
x
I x1 A y12dA
x1 y1
x cos y x sin
s y
in cos
(x sin y cos)2dA A
I y sin2 Ix cos2 Ixy sin 2
形心位置为 “+” 。
y
10
2.用负面积法求解，图形分割及坐标如图(b)
120 10
负面积 C2 C1
80
图(b)
C1（0,0） C2（5,5）
x
x
xi Ai
x 1
A1
x 2
A2
A
A1 A2
5(70110) 20.3 1208070110
y
yi Ai
y 1
A1
y 2
A2
A
A1 A2
5(70110) 20.3
A
y 三、惯性积：面积与其到两轴距离之积。
Ixy xydA
A
如果 x 或 y 是对称轴，则Ixy =0
x d yA
x
例：计算矩形截面对x，y轴的
惯矩 y
Ix y2dA
A
h
2 h
2
by2dy
bh3 12
x
I y x2dA
A
b
2 b
2
hx2dx
b3h 12
Ixy 0
附录 I§1-3 惯性矩和惯性积的平行移轴定理
附录I 截面的几何性质
附录截面几何性质.ppt
x
已知截面对形心轴 xC ，yC 的惯性矩和惯性积 求截面对与形心轴平行的 x ，y 轴惯性矩和惯性积
y
yC
C
a
o
b
xC
x
则平行移轴公式为
I x I xc a2 A I y I yc b2 A
I xy I xc yc abA
二，组合截面的惯性矩 惯性积 Ixi , Iyi , Ixyi —— 第 i 个简单截面对 x , y 轴的惯性矩、
以底边 DC 为参考坐标 轴y
A
zC
a
16
16
B
b
16
d
50 c
D
430
860
Cy
z A1 z1 A2 z 2 A1 A2
A
zC
a
16
16
B
b
16
1400
d
50 c
D
430
860
Cy
z A1 z1 A2 z 2 A1 A2
A1 1.4 0.86 1.204m2
z1 0.7m
hh22 by2dy
bh3 12
C
x
I
y
hb3 12
b
I x A y2dA
例 题：求圆形截面对其对称轴的惯性矩 。
y
x
解：
截面对其圆心 O 的极惯性矩为
I
P
d 4
32
Ix Iy I
Ix Iy
所以
I
x
I
y
π d4 64
y
o
x
例 题：求空心圆截面对其对称轴的惯性矩 。
已知截面对形心轴 xC ，yC 的惯性矩和惯性积 求截面对与形心轴平行的 x ，y 轴惯性矩和惯性积
y
yC
C
a
o
b
xC
x
则平行移轴公式为
I x I xc a2 A I y I yc b2 A
I xy I xc yc abA
二，组合截面的惯性矩 惯性积 Ixi , Iyi , Ixyi —— 第 i 个简单截面对 x , y 轴的惯性矩、
以底边 DC 为参考坐标 轴y
A
zC
a
16
16
B
b
16
d
50 c
D
430
860
Cy
z A1 z1 A2 z 2 A1 A2
A
zC
a
16
16
B
b
16
1400
d
50 c
D
430
860
Cy
z A1 z1 A2 z 2 A1 A2
A1 1.4 0.86 1.204m2
z1 0.7m
hh22 by2dy
bh3 12
C
x
I
y
hb3 12
b
I x A y2dA
例 题：求圆形截面对其对称轴的惯性矩 。
y
x
解：
截面对其圆心 O 的极惯性矩为
I
P
d 4
32
Ix Iy I
Ix Iy
所以
I
x
I
y
π d4 64
y
o
x
例 题：求空心圆截面对其对称轴的惯性矩 。
8附录I-截面的几何性质
2 dA Ip A
y dA
2.惯性矩（或截面二次轴矩）
I y A x d A
2
I x A y d A
2
y
由于 y x
2 2
（为正值，单位m4 或
2
mm4)
O
x
x
2 2 2 d A ( y x ) d A Ix Iy I 所以 p A A
（即截面对一点的极惯性矩，等于截面对以该点为原 点的任意两正交坐标轴的惯性矩之和。）
（4）整个截面对于对称轴x的惯性矩：
I x I x1 2 I x 2 5333 104 2 3467 104 12270 104 mm4
§-4 惯性矩和惯性积的转轴公式 截面的主惯性轴和主惯性矩
1.惯性矩和惯性积的转轴公式
y
任意面元dA 在旧坐标系oxy 和新坐标系ox1y1的关系为：
B
a
D
Ip
πd 4 Iz Iy 2 64
§-3 惯性矩和惯性积的平行移轴公式
组合截面的惯性矩和惯性积
1.惯性矩和惯性积的平行移轴公式 yc y 设有面积为A的任意形状的截面。 x xc dA C 为其形心， Cxcyc 为形心坐标 yc xc 系。与该形心坐标轴分别平行 C 的任意坐标系为 Oxy , 形心 C 在 y Oxy坐标系下的坐标为(a , b) 任意微面元 dA 在两坐标系 x 下的坐标关系为： O b
A dA
x1 x cos y sin
y
E
C
y1 y cos x sin
代入惯性矩的定义式：
D
O
x
B
x
I x1 y d A
A 2 1
y dA
2.惯性矩（或截面二次轴矩）
I y A x d A
2
I x A y d A
2
y
由于 y x
2 2
（为正值，单位m4 或
2
mm4)
O
x
x
2 2 2 d A ( y x ) d A Ix Iy I 所以 p A A
（即截面对一点的极惯性矩，等于截面对以该点为原 点的任意两正交坐标轴的惯性矩之和。）
（4）整个截面对于对称轴x的惯性矩：
I x I x1 2 I x 2 5333 104 2 3467 104 12270 104 mm4
§-4 惯性矩和惯性积的转轴公式 截面的主惯性轴和主惯性矩
1.惯性矩和惯性积的转轴公式
y
任意面元dA 在旧坐标系oxy 和新坐标系ox1y1的关系为：
B
a
D
Ip
πd 4 Iz Iy 2 64
§-3 惯性矩和惯性积的平行移轴公式
组合截面的惯性矩和惯性积
1.惯性矩和惯性积的平行移轴公式 yc y 设有面积为A的任意形状的截面。 x xc dA C 为其形心， Cxcyc 为形心坐标 yc xc 系。与该形心坐标轴分别平行 C 的任意坐标系为 Oxy , 形心 C 在 y Oxy坐标系下的坐标为(a , b) 任意微面元 dA 在两坐标系 x 下的坐标关系为： O b
A dA
x1 x cos y sin
y
E
C
y1 y cos x sin
代入惯性矩的定义式：
D
O
x
B
x
I x1 y d A
A 2 1
《截面几何性质》课件
在选择顶点时，需要考虑截面的形状 和位置，以确保截面能够准确地反映 几何体的特征和性质。
通过几何体的边作截面
总结词：边截面法
详细描述：边截面法是通过几何体的边来作截面的方法。在边截面法中，我们选择几何体的 一个或多个边，并沿着这些边进行切割，以获得所需的截面图形。这种方法适用于具有明显 边的几何体，如棱柱、棱锥和棱台等。
02
圆柱体的截面可以是圆 形、椭圆形或长方形。
03
圆锥体的截面可以是圆 形、椭圆形或三角形。
04
球体的截面只能是圆形 。
截面与几何体的高度的关系
01
02
03
04
几何体的高度影响截面的形状 和大小。
对于柱体和锥体，随着高度的 增加，截面的面积也会增加。
对于球体，无论高度如何，截 面始终为圆形，但半径会随高
计。
截面还可以用来表示机械零件的外部形 态，例如：通过将机械零件的外部形态 表示为截面，可以更直观地了解机械零 件的外观和特点，从而更好地进行机械
设计。
04
截面的作图方法
通过几何体的轴线作截面
总结词
轴线截面法
详细描述
通过几何体的轴线作截面是一种常见的作图方法。在轴线截面法中，我们选择几何体的一 个或多个轴线，并沿着这些轴线进行切割，以获得所需的截面图形。这种方法适用于具有 明显轴线的几何体，如圆柱、圆锥和球体等。
截面和平面具有相同的几何性质，如 平行性、对称性等。
02
截面与几何体的关系
截面与几何体的关系
截面是几何体的一部分，通过切 割几何体得到。
截面的形状取决于切割方式和几 何体的类型。
同一几何体在不同方向的切割下 可能产生不同形状的截面。
不同几何体的截面形状
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解：
dA = b dy
Ix
A y2dA
h
2h
by2dy
2
bh3 12
Iy
hb3 12
Ix A y2dA
y
dy
h
y
C
Hale Waihona Puke x2021/2/3
b
15
例 2 - 2 求圆形截面对其对称轴的惯性矩 。
解：因为截面对其圆心 O 的
极惯性矩为 y
I p
A
2dA
2 0
d /2
d 3d
0
d4
32
Ix Iy Iρ
轴平 行的坐 标轴（形心轴）
2021/2/3
yc
C(a,b)
xc
b
x
17
Ix , Iy , Ixy _____ 截面对 x , y 轴的惯性矩和惯性积。
Ixc ,Iyc , Ixc yc —— 截面对形心轴 xc , yc 的惯性矩和惯性积。
则平行移轴公式为
y
yc
I x I xc a2 A
Iy Iyc b2 A
Z1 80 Z2 0
所以截面的形心坐标为
ZC
A1 Z1 A1
A2 Z2 A2
46.7mm
2021/2/3
20 140
zc
20
1
yc yc1
ZC
2
y (yc2)
100
21
I1yC
1 12
20
1403
20
140
(80 46.7 )2
I
2 yC
1 12
100
203
100
20
(46.7)2
zc
11
截面对 x ,y 轴的惯性矩分别为
Iy A x 2dA Ix A y 2dA
因为 ρ2 x2 y2
所以
2021/2/3
I p 2dA A
I = Ix + Iy
y
y
dA
x
x 0
12
截面对 x , y 轴的惯性积为
Ixy A xydA
惯性矩的数值恒为正，惯性积则可能为正值，负值，
37500 1900
20mm
y
A1 y1 A 2 y2 A1 A2
75500 1900
40mm
y 10
1 x1
C(y, x)
y1
2 y2
10
o x2
x
80
2021/2/3
10
§ 8-2 极惯性矩 惯性矩 惯性积
定义：
y dA
y
截面对 o 点的极惯性矩为
x
I p 2dA
x 0
A
2021/2/3
2021/2/3
y 10
x1 1
y1
o x2
80
y2
2 10 x
8
矩形 1 A1 10 120 1200mm2
x1 5mm
y1 60mm
矩形 2
A2 10 70 700mm2
x2
10
70 2
45mm
y2 5mm
2021/2/3
y 10
1 x1
y1
o
2 y2
10
x2
x
80
9
所以
x
A1 x1 A 2 x2 A1 A2
20
I yC
I1yC
I
2 yC
12.12
106 m4
1
ZC
yc1
yc
2
20 140
y (yc2)
100
2021/2/3
22
§8-4 惯性矩和惯性积的转轴公式 截面的主惯性轴和主惯性矩
一、 转轴公式
xoy 为过截面上的任 – 点建立的坐标系 x1oy1 为 xoy 转过 角后形成的新坐标系
也可能等于零。
y
若 x , y 两坐标轴中有一个为
dA y
截面的对称轴，则截面对 x , y 轴的 惯性积一定等于零 。
dx dx x
2021/2/3
13
截面对 x , y 轴的惯性半俓为
iy
Iy , A
ix
Ix A
2021/2/3
14
例 2 _ 1 求矩形截面对其对称轴 x , y 轴的惯性矩。
I xy I xcyc abA
a
C(a,b)
xc
ob
x
2021/2/3
Ix A y2dA
18
二、组合截面的惯性矩 惯性积
Ixi , Iyi , I xyi —— 第 i个简单截面对 x ,y 轴的惯性矩、
惯性积。
组合截面的惯性矩，惯性积
n
I x I xi i1
n
I y I yi i1
有 xC
Pi xi P
3
截面的形心 C 的坐标 公式为：
x A xdA Sy AA
y yy
dA
c
y A ydA Sx
o
x
x
A
A
x
Sy Ax
Sx Ay
若截面对某一轴的静矩等于零，则该轴必过形心。
截面对形心轴的静矩等于零。
2021/2/3
4
二 、 组合截面 由几个简单图形组成的截面称为组合截面
截面各组成部分对于某一轴的静矩之代数和，就等于该截 面对于同一轴的静矩。
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5
组合截面静矩的计算公式为
n
Sy Ai xi i1
n
Sx
i1
Ai
yi
其中： Ai —— 第 i 个简单截面面积
(
x
,
i
y
i
)
——
第 i个简单截面的形心坐标
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6
计算组合截面形心坐标的公式如下：
附录1 截面的几何性质
§8-1 截面的静矩和形心位置
§8-2 极惯性矩·惯性矩和惯性积
§8-3 惯性矩和惯性积的平行移轴公式·组合截面 的惯性矩和惯性积
§8-4 惯性矩和惯性积的转轴公式·截面的主惯性 轴和主惯性矩
2021/2/3
1
§8-1 截面的静矩和形心位置
一、 定义
y
截面对 y , x 轴的静矩为：
n
Ai xi
x
i1 n
Ai
i1
n
Ai yi
y
i 1 n
Ai
i 1
2021/2/3
7
例 1-1 试确定图示截面心 C 的位置。
解：将截面分为 1，2 两个矩形。
取 x 轴和 y 轴分别与截面 的底边和左边缘重合
n
x
Ai xi
i1 n
Ai
A1 x1 A1
A2 x2 A2
i1
y A1 y1 A2 y2 A1 A2
n
I xy I xyi i 1
2021/2/3
19
例 3 -1 求T形截面对其形心轴 yc 的惯性矩。
解：将截面分成两个矩形截面。
截面的形心必在对称轴 zc 上。 取过矩形 2 的形心且平行 于底边的轴作为参考轴， 记作 y 轴 。
20 140
zc
20
1
yc
2
y
100
2021/2/3
20
A1 20 140 A2 100 20
Sy A xdA
dA y
Sx A ydA
ox
x
静矩可正，可负，也可能等于零。
2021/2/3
2
补充: 重 心
1． 计算重心坐标的公式 对x轴用合力矩定理
有 yC
Pi yi P
对y轴用合力矩定理
P xC P1 x1 P2 x2 .... Pn xn Pi xi
2021/2/3
x
Ix Iy
所以
Ix
Iy
π d4 64
2021/2/3
16
§8-3 惯性矩和惯性积的平行移轴公式 组合截面的惯性矩和惯性积
一、 平行移轴公式
y x , y ——任意一对坐标轴
C —— 截面形心
a
（a , b ) _____ 形心 c 在 xoy 坐标系下的
坐标。
o
xc , yc ——过截面的形心 c 且与 x , y