毛细现象的再思考

摘要：本文从高中物理无法解决的有关毛细现象的问题出发，从大学物理的教材中寻找有关的理论，旨在解决该问题，并拓宽相关知识的广度，挖掘相关内容的深度。

关键词：毛细现象 受力分析 附加压强

毛细现象的再思考

一、引言

在人教版高中物理选修3-3部分的《液体》章节中涉及到了毛细现象，无论在教材还是在参考资料上，都无一例外地向读者展示毛细管中的浸润液体上升是因为表面张力的作用与高出的液体重力平衡。对毛细现象用这样的解释方法带来两个问题：一是毛细管中的不浸润液体下降的原因是表面张力和哪部分液体的重力平衡呢？书本未提及，教师也没办法跟学生解释。二是对于解决下面这个问题就显得很尴尬了——若将一毛细管插入水中，其中水面可升高3cm ，若该毛细管垂直露在水面上部分的长度只有2cm 。则水是否将溢出管外？如此是否可以做成一永动机呢？——永动机模型是不存在的；而毛细管只有在高出液面长度为3cm 表面张力才等于液柱的重力，若毛细管露出液面的高度只有2cm 长的情况下，水柱受力不平衡，还要继续上升，水将溢出，这的确就是永动机嘛。不仅仅是学生，就连有的高中教师也说不清楚，问题出在哪里。要解决这两个问题，就要从毛细现象产生的原因上去考察。

毛细现象是指将毛细管插入液体中，由于液体和固体间的浸润或不浸润效果，管中的液面上升或下降的现象。毛细现象的产生是浸润（不浸润）和表面张力共同作用的效果。下面笔者将结合液面受力情况，细致分析毛细现象出现的过程。

二、“附加压强”概念解析

有些情况下，液体会形成弯曲的表面，由于表面张力的影响，此时液面内外将出现压强突变的现象，内外压强差值叫附加压强。附加压强的大小可以用下面方法推导得到：

从任意一个弯曲的液面上取一个非常小的曲面元，由于曲面足够小，为了便于计算，可将其视为矩形ABCD ，其面积为∆S 。其中AB 边长为l 1，AD 边长为l 2，找到该曲面的四条边的中点B 2、B 1、A 2、A 1，连接B 2 A 2、B 1A 1，交点为O 。

AD 边受到的表面张力为（其中σ为表面张力系数）

在垂直该曲面元的方向上的分力为

ϕsin 22⋅∆=∆f f y

其中，结合几何关系得到11O A sin R ≈ϕ （上式中的R 1为弧A 1OB 1的曲率半

径）

联立上面三个方程，得到

S R R l l f y ∆=∆⋅∆=∆111

2222σσ

再来考察BC 边所受到的表面张力：由于对称性，BC 边受到的表面张力在x

方向上的分力与AD 边在该方向上的分

力相抵消，故我们只考虑y 方向的分力——与∆f 2y 相同。 A

B D A 1

C A 2

1 B

2 O

C 1

∆f 2 ∆f 2x ∆f 2y 图 1 微小面元的受力φ

同理，CD 边所受的表面张力在垂直方向的分量为S R ∆22σ（式中的R 2为弧A 2OB 2的曲率半径）

该小曲面所受表面张力的合力为 S R R S R S R F ∆+=∆+∆=∆σσσ

)11()22(22

121 用∆F 除以面积∆S 即可得到附加压强，其大小为σ)11(2

1R R P +=∆，方向垂直于小面元指向其凹面。

上面这个公式也叫拉普拉斯公式，在运用的时候要注意，R 1、R 2分别是两个互相垂直的面与液面的交线的曲率半径。 通常我们会遇到两种特殊形状的液面，即球面和平面，其附加压强可以直接由拉普拉斯公式推广得到：

如果液面表面为球面，则R 1=R 2=R （球面半径），即R

P σ2=

∆ 球面内外所受压强差为，如图2所示。 如果液面表面为平面，则R 1=R 2→∞ ， ，即液面内外

不存在附加压强，内外压强相等。 三、毛细现象的产生过程

我们以玻璃毛细管插入水中为例，水和玻璃是浸润的，那么

毛细管中的水面将上升。这个现象是怎么产生的呢？我们从毛细管插

入水中开始考虑，由于水和玻璃的浸润效果，液面为如图所示的凹液

面。我们对这个凹液面进行受力分析，如图3所示，需要说明的是

P 0为大气压强，凹液面下受到的压强应当与毛细管外的相同深度处的

压强相同，因此也为P 0。

容易看出，00P P P >∆+，液面受到的合压强向上，液面将要上升。那么液面上升到什么位置能平衡呢？我们也可以通过对平衡态下

的液面进行受力分析，如图4所示。

设液面上升的高度为h 时停止，此状态为平衡态。为了便于分析，

可以将液面视为球面来处理。设毛细管的内径为r ，则球形液面的半径

θ

cos r R =，其中θ为液面与毛细管内壁间的接触角。 根据平衡方程P gh P P ∆+-=ρ00

又r

R P θσσcos 22==∆ 可以得到gh h ρθσcos 2=

毛细管中液面上升的高度与毛细管的内径r 有关，内径越小，液面上

0=∆P P ∆P P +∆P

图2 球面液面内外所受压强 图4 液面升高

P 0-ρgh ∆P P 0 图3 毛细管刚插入水中 P 0 P 0 ∆P

升的高度越大；即毛细管越细，毛细现象越明显，这与我们的经验一致。

四、高中物理中难以解决的2个问题

第一个问题是本文的引入部分介绍的例子，现在我们从受力的观点来解释这个问题。 当h 1=3cm 时，液面为平衡状态，1cos 2gh r P ρθσ==

∆ ， 当h 2=2cm 时，2cos 2gh r

P ρθσ==∆，液面受到的合压强向上 此时液面无法再继续向上运动，但是可以通过增大接触角，即让“自己”变得更“平”一些， 使附加压强变小，重新达到平衡态，水不会溢出，亦无法做成永动机。

第二个问题是这样叙述的：

在水里浸入两根直径相同的毛细管，它们的形状如图5所示。液体在

直管中上升的高度比弯管的最高点还要高些。弯管中是否有水不断流出，

为什么？若是弯管的液外开口端低于管外液面，情况又如何？ 我们可以这样考虑：

弯管可视为在直管状态下“掰弯”，当液面还处于管中的原先位置时，

可以得到 P 0-ρgh 1+∆P >P 0（h 1为目前的液面高于管外液面的高度）所以液

面继续下降至管口，再通过增大接触角的方式，使液面达到新的平

衡，水不会流出。

若是弯管的液外开口端低于管外液面，那么接着上面的思路分

析，当液面下降到管外液面以下时，受力的情况有了改变，如图7所示。

P 0+ρgh 2+∆P >P 0（h 2为液面低于管外液面的高度），液面将继续向管口运动。直到管口时，液面在合压强向下的情况下将成为向下凸起的液面。此时附加压强的方向发生改变，如图8所示。至于水会不会溢出，要看管口距离管外液面的高度。

设管口低于管外液面h 0时，液面恰好能保持平衡，且液面的曲率半径达到最小，即附加压强达到最大。则P ₀+ρgh 0=∆P +P ₀应当成立，解得gr

h ρθσcos 20=。故我们可以得到这样的结论：当管口与管外液面的高度差h > h 0时，液体会流出；当管口与管外液面的高度差h < h 0时，液体不会流出。

五、不足与思考

本研究只是从理论上进行了尝试性的推导，此过程在大学物理的教材中并未发现。该结论的正确与否还需要笔者做后续的实验研究。

不过这种理论尝试还是很有意义的，笔者在看过一些大学物理的书籍后，往往会发现高图5 两根毛细管插入水中 图6 液面受力图 图7 管口低于管外液面时管内液面受力图 图8 液面向下突起后的受力图

∆P P 0-ρgh

P

∆P P 0+ρgh P ∆P

P 0+ρgh

P 0