基本图形分析法七 从旋转型全等三角形到旋转型相似三角形(PDF版)

从旋转型全等三角形到旋转型相似三角形

旋转型全等三角形AB=AD，AC=AE，∠BAD=∠CAE => △ABC≌△ADE，∠ABD=∠ACE，

ADB=∠AEC；将△ABC绕三角形的顶点A旋转一个角度成为△ADE，这两个三角形就是一对∠

旋转型全等三角形。

而由AB=AD，这是两条具有公共端点的相等线段，

所以它们可以组成一个等腰三角形，同样，由AC=AE，它们也可以组成一个等腰三角形，

而这两个等腰三角形的顶角是相等的，所以这两个等腰三角形一定相似，而由∠ABD=∠ACE

和∠ADB=∠AEC，如果延长BD与CE相交，则可得两个圆内接四边形。

所以，一对绕三角形的顶点旋转得到的旋转型全等三角形的基本图形中，一定同时出现

一对相似的等腰三角形和两个圆内接四边形。

由于这是旋转型全等三角形的基本图形的本质属性，所以只有在整体上进行教学，才能

将这个基本图形的特征、性质、应用条件和应用方法讲清楚。然而，按照通常的教学进度，

在进行全等三角形的教学时，显然还不可能进行相似三角形和圆周角这两部分内容的教学，

而在进行相似三角形和圆周角的教学时，又不可能再回过来进行全等三角形的教学，也就是

本质上是完整的内容被割裂开来进行教学了，所以老师就很难讲清楚，讲清楚问题的本质，

将清楚思想方法的规律性，这也就是旋转型全等三角形在教学中出现的困难所在。

解决的方法：一是在进行旋转型全等三角形的教学时，可适当地进行拓展，让学生较早

地接触、知道并形成一定的概念、性质，到进入相似三角形和圆周角的教学时再进行强化；

二是在进行旋转型全等三角形的教学时，如果没有拓展的话，则可在进入相似三角形和圆周

角的教学时，尤其是在总复习阶段可安排专题性的教学。

在进行全等三角形的教学时，由于在相似的等腰三角形中，有两类特殊的等腰三角形，

它们是必定相似的，这就是等边三角形和等腰直角三角形，所以在给出等边三角形或等腰直

角三角形的条件时，就可以实质上出现相似的等腰三角形而又可以避免出现相似三角形的概

念，成为旋转型全等三角形的可实施的教学内容。

于是，就可以发现只要出现两个具有公共顶点的等边三角形或等腰直角三角形（半个正

方形）时，就一定得到一对旋转型全等三角形。

旋转型全等三角形应用的第一种情况是出现了由一点发出的两组交成等角的相等线段，

应用的方法是将这两组相等线段两两组成旋转型全等三角形。

旋转型全等三角形应用的第二种情况是出现了两个具有公共顶点的等边三角形，应用的

方法是将由这个公共顶点发出的两组相等线段（等边三角形的边）两两组成旋转型全等三角形。

旋转型全等三角形应用的第三种情况是出现了两个具有公共顶点的正方形或具有公共直

角顶点的等腰直角三角形，应用的方法是将由这个公共顶点发出的两组相等线段（正方形的边）两两组成旋转型全等三角形。

例1，已知：△ABC中，以AB为边在△ABC外作等边△ABD，以AC为边在△ABC 外作等边△A CE，连结BE、CD．求证：CD=BE

分析：在本题的条件中，出现了两个以A为公共顶点的等边△ABD和等边△ACE，从而就

必定出现一对旋转型全等三角形，

根据由公共顶点A发出的两组相等线段AD、AB和AC、AE两两组成全等三角形的方法，可找到这一对全等三角形应是△ADC和△ABE，全等的条件是AD=AB，AC=AE，它们的夹角∠DAC 和∠BAE都等于旋转角60°加上公共部分∠BAC，因此CD=BE就可以证明。

例2，已知：△ABC中，以AB为边在△ABC外作等边△ABD，以AC为边在△ABC外作等边ACE，CD、BE相交于F，连结AF．

△

求证：AF平分∠DFE

分析1：本题的条件中，出现了两个以A为公共顶点的等边△ABD和等边△ACE，从而就

必定出现一对旋转型全等三角形，

根据由公共顶点A发出的两组相等线段AD、AB和AC、AE两两组成全等三角形的方法，就可找到这对全等三角形应是△ADC和△ABE，全等的条件是AD=AB，AC=AE，它们的夹角∠DAC 和∠BAE都等于旋转角60°加上公共部分∠BAC，

在证明了△ADC和△ABE是一对旋转型全等三角形以后，由于在旋转型全等三角形的基本

图形中，必定同时出现两个圆内接四边形，所以就可由△ADC≌△ABE，推得∠ADF=∠ABF，从

而又可进一步推得A、D、B、F四点共圆，就可得∠AFD=∠ABD=60°，而由B、F、E成一直线，又可证得∠AFE=∠ADB=60°，所以结论可以证明。

分析2：由于许多学校在进行全等三角形的教学时，尚未进行圆周角和圆内接四边形的

教学，有关圆内接四边形额基本图形的性质还不能用，所以就要讨论其它的可能性。

本题在证明了△ADC和△ABE是一对旋转型全等三角形以后，由于结论中出现的AF可以

看作是△ADC中的一条线段，所以当△ADC绕点A旋转60°到达△ABE的位置时，AF也应随

△ADC的旋转而绕点A旋转60°到达△ABE中的对应位置，如果F点落到了G点上，则必有

BG=DF，所以应在BE上截取BG=DF，并连结AG，那就可得△ADF和△ABG也是一对旋转型全等三角形，全等的条件是AD=AB，∠ADF=∠ABG和DF=BG，就可得∠AFD=∠AGB，AF=AG，而这是两条具有公共端点的相等线段，它们可以组成一个等腰三角形，应用等腰三角形的性质，又

可得∠AFG=∠AGB，从而也就可以证明∠AFD=∠AFG。由于△ADF和△ABG也是一对旋转角为

60°的旋转型全等三角形，所以可证明△AFG也是一个等边三角形，而且也是以A为公共顶

点，所以每两个等边三角形就可以组成一对旋转型全等三角形，这样图形中出现的旋转型全

等三角形就有三对，根据同样的方法可以找到第三对旋转型全等三角形是△AFC和△AGE，所

以FC=GE，从而可进一步证明FA+FB+FC=BE，