二次函数中的面积最大问题

二次函数中的面积最大问题
成都市棕北中学(桐梓林) 刁祖德
一、教学内容分析
抛物线与面积相结合的题目是近年来中考数学中常见的问题,并且大部分题目是作为压
轴题出现的，题型常考常新，它是代数与几何有机结合的一个考点。

这部分内容渗透的数学
思想多，解题方法多，学生掌握有一定的困难。

二、学生状况分析
九年级学生看问题抽象逻辑思维能力提高，独立判断性明显发展，记忆力逐步发展到以
理解记忆为主，但易片面，急于下结论。

本班学生数学兴趣浓厚，思维较活跃，乐于探索。

三、教学目标
1.掌握特殊位置三角形的特征，并能快速准确求出其面积。

2.能够根据二次函数中不同图形的特点选择恰当的方法求图形面积。

3.通过观察、分析、概括、总结等方法了解二次函数面积问题的基本类型，并掌握二次
函数中面积问题的相关计算，从而体会数形结合思想和转化思想在二次函数中的应用。

四、教学重点、难点
教学重点：选择恰当的方法求图形面积。

教学难点：如何割补图形求面积。

五、教学过程
教学
步骤
教师活动学生活动设计意图及活动说明
一、特
殊位
置三
角形
面积
求法
口答：说出下列图中阴影部分三角形的面积
教师引导：
思考：这几个图形求面积有何共同点？（三角形
边特殊吗？）
定义：有一边在坐标轴上或平行于坐标轴的三角学生独立口答
学生归纳总结：
当三角形的一边
在坐标轴上或平
行于坐标轴时，
易求得三角形的
面积
内容比较简单，主要让学生体
会当三角形的一边在坐标轴
上或平行于坐标轴时，就以这
边为底，作高求面积即可。

同
时也体会坐标与线段长度的
关系。

激发学生的学习兴趣。

使学生亲身经历规律产生的
过程。

学生反思之前计算三角形面
积的过程，感知这组三角形位
置的特殊性，作出归纳总结，
提高学生观察和归纳总结的
能力。

形叫特殊位置三角形。

（注：仅限于本节课适用）
二、非特殊位置三角形面积求法例1：已知抛物线与x 轴分别
交于点A和点B，顶点为M，求△BCM的面积。

教师引导：非特殊位置三角形的面积求法：
________________________
学生上台分享展
示不同做法，归
纳总结非特殊位
置三角形的面积
求法：割补法
一题多解，开阔学生思路，体
会割补法在求图形面积时的
强大作用。

感受不同的割补方
式对解决问题的难易程度是
不同的。

三、面积最大问题变式一：已知抛物线3
2
2-
-
=x
x
y与x轴分
别交于点A和点B，点M为抛物线上第四象
限上的任意一动点，点M在何处时△BCM的
面积最大，并求出这个最大值。

（1）教师几何画板演示由动点M的变化
而引起△BCM面积变化，感知点的位
置对面积的影响。

（2）总结归纳面积最大的两种求法：一是
函数表达求最值法；二是平移法
变式二：已知抛物线
3
2
2-
-
=x
x
y与y轴
分别交于点A和点B，点M为抛物线上第四
象限上的任意一动点，求点M在何处时四边
形OBMC的面积最大，并求出这个最大值。

学生上台展示讲
解用函数表示
△BCM面积的
方法及步骤。

学生上台展示讲
解各种割补的方
法，感受与变式
一的联系与区
别。

动
动点问题是学生的难点，用
几何画板让学生体会以静带
动的思考方式，突破难点。

同时应用割补法求三角形面
积，突出本节课重点。

由变式一到变式二，让学生感
受四边形面积最大与三角形
面积最大问题的区别与联
系，并再次感受不同的割补方
式对解决问题的难易程度是
不同的。

3
2
2-
-
=x
x
y
三、小结同桌互讲：
1.特殊位置三角形具有什么特征？
2.怎样求非特殊位置三角形面积？
3.三角形面积最大问题有几种处理方式？
4.四边形面积最大问题怎样处理？
同桌间互讲，完
善笔记。

学生再次回顾学习的过程，在
讲题过程中再一次强化解决
问题的方法。

四、拓展提升如图，抛物线y=-x2+4x+5与y轴交于点
C,M(0,1),E(1,0），F(2，0),点P是抛物线上第一象
限内上的动点，求四边形MEFP面积的最大值，
并求此时点P的坐标。

学生分小组讨论
后，展示几种不
同的作法，优化
出解决此题的最
佳方案。

学生在前面练习的基础上，
通过讨论得到此题的几种不
同解决方法，再通过优化得到
解决此题最佳的方法。

五、作业自选与面积最大问题相关题目四道在完成题目中再次巩固相关
知识。

六、板书设计
七、教学设计说明
二次函数中的面积最大问题是中考中的热点问题，也是学生学习的难点。

二次函数这一章知识点较多，为更好地突破学生在本章学习中的畏难情绪，特意将本知识点作为专题学习的内容，专项练习。

本节课根据九年级学生的身心特征，从简单的特殊位置三角形面积开始，让学生感受到当三角形位置特殊时面积很易得到，从而遇到非特殊位置时知道可以用转化的数学思想解决问题。

题目设置由易到难，由特殊点到一般点，从学生的生活经验出发，以学生的学习基础为载体，循序渐进，逐步突破重难点。

本节课在设计时注意了以下几点：
1.重视并体现了学生的主体地位。

本堂课经验的获得和积累都由学生总结得到，学生充分展示自己的思考过程，呈现自己的学习结果，在个人反思中得到进步和成长，而教师起到主导的作用。

2.重视学生创新思维的培养。

本堂课设置的题目都可以一题多解，解法不固定，更不局限于某种方法。

学生根据对题目的理解，作出数学的思考，只要想法合理，都给予及时的肯定。

学生在多种解法中归纳、提炼、总结，开拓了思维。