三重积分计算柱面球面坐标系下

系下计算的.
积分次序通常为z r .
注意：必须把区域、被积函数及体积元素一次全用 柱坐标表示.
利用柱面坐标系计算三重积分习例
例 1 计算I zdxdydz，其中 是球面

x2 y2 z2 4与抛物面 x2 y2 3z所围的立体.
例2 计算三重积分
,其中由柱面
如图示，体积的微元dV可 以近似计算为长是dr ，高是
dz , 宽是 rd 的立体体积.
dV=rdzdrd
z
rd
dr
r
dz
o
y
d
x
3. 柱面坐标下的三次积分 柱面坐标系中的体积元素为
dv dr rd dz rdrddz,
z
rd
dr
r
dz
f ( x, y, z)dxdydz
z a
o y
原式 z r2 d r d dz
2 x r 2cos
a
zdz

2 d
2cos r 2 d r
0
0
0
dv rdr ddz
4a2


2 cos3 d
8 a3.
30
9
例3 计算
ez x2 y2 dxdydz,由z
0
0
0
例 1 计算I zdxdydz，其中 是球面

x2 y2 z2 4与抛物面 x2 y2 3z所围的立体.
解 在xoy面上的投影区域为 x2 y2 3
则 {(r, , z) | r2 z
3
I zrdrddz
4 r2 , 0 r 3,0 2 } z 4 r2 z
一、在柱面坐标下计算三重积分
导学及问题讨论
设由曲面 z x2 y2 , z 1围成的空间立体，体密
度为 e x2 y2，求其质量？
z
4
解 M ex2 y2 dv

4

如何计算该三重积分？
o
y
x
M
e x2 y2 dv
e x2 y2 dxdy 1
1
dz dx
e dy 1 x2 x2 y2
1
dz
x2 y2
1
1 x2
x2 y2

Dxy
1
M dz
e x2 y2 dxdy 计算较繁琐甚至无法计算,怎么办？
0
Dz
可否令变换T：
x = r cos y = r sin
z=z
可否想到、怎
么想到?
变量r、 、z
x2 y2 2x 及平面 z 0, z a (a 0), y 0 所围成半
圆柱体.
例3 计算
ez dxdydz, 由z x2 y2 , z 1, z 2围成. x2 y2
例4 计算
2
dx
2 x x2
a
dy z
x2 y2 dz.
圆柱面； 半平面； 平面．
M (x, y, z)
z
or
P(r, )
y
x
讨论下列柱坐标系下的曲面方程表示的曲面
答： (a) r 5 x2 y2 55 (b) (c)
ຫໍສະໝຸດ Baidu
在柱坐标系下 用以下曲面分割V :
r = ri （圆柱面）, = j （半平面） ,
z =zk （平面）.
x2 y2 , z 1, z 2围成.
解法1 1 2 {( x, y, z) | 1 z 2, x2 y2 1}
{( x, y, z) | x2 y2 z 2,1 x2 y2 4}
{(r, , z) | 1 z 2,0 r 1,0 2 }
7.1 重积分
7.1.3 三重积分的计算 (柱面和球面坐标系)
柱
导学及问题讨论
面
柱面坐标介绍
球 面
柱面坐标下计算三重积分 柱面坐标下的三次积分
坐
习例1-4
标 系
计算步骤及适用范围
下
导学及问题讨论
三 重
球面坐标下计算三重积分 球面坐标介绍
积
球面坐标下的三次积分
分 的 小结
习例5-9
计
算
新课导入
我们知道，建立平面直角坐标后，平 面上的点可以用直角坐标表示；建立极坐 标后，平面上的点可以用极坐标表示，那 么，是否能建立空间极坐标系，用极坐标 表示空间的点呢？
z
{(r, , z) | r z 2,1 r 2,0 2 }
的几何意义？
M
e x2 y2 dv
2
d
e1 r2 rdrd
1
dz 2
e1 r2 (1 r )rdrd
0
0
r
0

柱面坐标介绍
1. 柱面坐标系及其坐标面
设M(x,y,z)为空间内一点，点P为
z
点M在xoy面上的投影，记线段OP的长 度为r，记从x轴正向按逆时针转到射


2
0
d
0
3
dr
4r2
r2
3
r

zdz
z r2 3
y
13 .
4
x
例2 计算三重积分
其中为由
柱面 x2 y2 2x 及平面 z 0, z a (a 0), y 0 所围成半
圆柱体.
解 在柱面坐标系下 柱 :
0 z a
0
2
0 r 2cos
o
y
f (r cos , r sin , z)rdrddz x d

即与“先一后二法”一


d
r2 ( ) rdr
z2 (r, ) f (r cos , r sin , z)dz
致,其中当投影区域为圆 形域时,后二是在极坐标

r1 ( )
z1 (r, )
线OP的角度为，则点M(x,y,z)与数序 (r, ,z)是一一对应的，称这样的三个数 r, , z为M点的柱面坐标。
M(x, y,z)
z
xo

r
y

P(r, )
y
x
2. 柱面坐标(r, , z)与直角坐标( x, y, z)的关系
容易得出柱面坐标 与直角坐标的关系
x r cos

y

r
sin
z z
r x2 y2


tan
y x
z z
由定义可知点M的柱面坐标r, , z 的取值范围分别是
r ： 0 r , : 0 2, z : z .
z
三坐标面分别为
r 为常数
为常数
z 为常数