对流扩散方程

u n +1 − u n j j
τ
考虑迎风格式、指数格式、samarskii格式的关系，首先 改写指数格式如下：
τ
+a
u n − u n−1 j j 2h
u n+1 − 2u n + u n−1 ah j j j =− 1 − e λh h2
取h充分小，e λh ≈ 1 + λh，可以得到迎风格式。
G(r, µ ) = r 2 sin2 wh + 1 + 4µ 2 (1 − cos wh)2 − 4r (1 − cos wh)
2 2 2
= 1 − (1 − cos wh)[4µ − 4µ (1 − cos wh) − r (1 + cos wh)]
只需验证 G ≤ 1,由于 1 − cos wh ≥ 0，条件转化为： 4 µ − 4 µ 2 (1 − cos wh ) − r 2 (1 + cos wh ) ≥ 0
条件化为： 由于 1 − cos σ h ∈ [0 , 2 ], 条件化为： 2( r + 2 µ ) − 2 r ≥ 0和
2
2( r + 2 µ ) − 2 r 2 + 2 r 2 − ( r + 2 µ ) 2）≥ 0 （
而 2( r + 2µ ) − 2r 2 + 2( r 2 − ( r + 2 µ ) 2 ) = 2( r + 2µ )(1 − ( r + 2 µ )) ≥ 0 ⇔ 1 − ( r + 2 µ ) ≥ 0
2 （ λ h） 如果e λh ≈ 1 + λh + ，则可以得到Samarskii 2 格式，于是这2种格式全是指数格式的特殊形式。
4.6: 隐式格式
为了提高精度， 定性的要求， 格式。 为了提高精度，降低稳 定性的要求，考虑隐式 格式。
Crank − nicolson型格式：
u
n +1 j
−u
4.3: 迎风差分格式
稳定性条件中， 在中心显式差分格式的 稳定性条件中，当 G 不变， 很小时， 只能取得很小， 不变， ν 很小时， τ只能取得很小，格式显 得 不合适，当 ν = 0 极限情况）时，微分 方程 不合适， （极限情况） 化为对流方程， 化为对流方程，中心显 式格式转化为绝对不 稳定的， 稳定的，故考虑迎风格 式： n +1 n n n n n n uj −uj u j − u j −1 u j −1 − 2u j + u j −1 +a =γ τ h h2
取v = v +
−
τ
+a
u n+1 − u n−1 j j 2h
ah ，则变为中心格式，于是 2
n n n ah u j +1 − 2 u j + u j −1 = (ν + ) 2h h2
τ ≤
2 v , (1) 2 a
v
τ
h2
≤
1 , (2) 2
通过简单的推导,可以发现第一个稳定条件可以由第2个 条件推出,于是迎风格式的稳定条件就是(2).
λ ( j −1) h
可以求解β1，β 2，并且代入解析解得： uj = u j +1 + e λhu j −1 1 + e λh h（e λh − 1 ） −d a（e λh + 1 ）
上式通过恒等变形可以改写为 ah 1 + e λh u j +1 − 2u j + u j −1 d = −a − 2h 2 1 − e λh h2 用时间差商代替 d，得到对流扩散方程的 差分格式 u j +1 − u j −1
4.2: 修正中心差分格式
∂ 4u 2 中心显格式的截断误差 为： 2 + h 2 ∂t ∂x 4 充分光滑， 假设对流扩散方程的解 充分光滑，对方程两边
求导有： 同时对 t求导有： ∂ 2u ∂ 4u ∂ 3u ∂ 2u = υ 2 4 − 2aυ 3 + a 2 2 ∂x ∂t 2 ∂x ∂x
+1 + u n+1 − u n−11 r j µ n +1 j n+1 + uj + ( ) − ( u j +1 − 2u n+1 + u n−11 ) j j 2 2 2 u n+1 − u n−1 r j µ n j n ) + ( u j +1 − 2u n + u n−1 ) = uj − ( j j 2 2 2
4.4:Samarskii格式
Samarskii格式是具有迎风效应的关于空间的二阶格式, 为了简单方便,设a>0,先对方程作扰动,得到另外一对流 扩散方程
∂u ∂u 1 ∂ 2u ν + a = ∂t ∂x 1+ R ∂x 2 1 其中 R = ha 2ν
对上面的方程构造迎风格式
u n +1 − u n j j
4:对流扩散方程
对流扩散方程的初值问 题：
∂u ∂u ∂ 2u =ν 2 +a ∂x ∂x ∂t u( x ,0) = f ( x ) − ∞ p x p +∞ , t f 0 − ∞ p x p +∞ ,ν f 0
4.1、中心显式差分格式
u n +1 − u n j j 2h h2 2 其截断误差为： 其截断误差为： E = O (τ + h )，而且当 ν = 0时，
由此有当 τ不趋近于 0时，差分格式与下面的 方程相容： ∂u ∂u τ 2 ∂u （ +a = ν − a） 2 ∂t ∂x ∂x 2
2
的固定常数， 然而在数值计算的时候 τ是一不为 0的固定常数， 2 对于流方程， 时，中心差分格式相容 对于流方程，而此时中 心 在相应的扩散项增加扩 散的系数为 υ + 得到如下差分格式： 得到如下差分格式： 损失， 于是导致了扩散效应的 损失，特别在 ν −
n j
τ
u −u 2 u −u + ( + ) a 2h 2h +1 +1 u n+1 − 2u n + u n−1 u n+1 − 2u n +1 + u n−1 ν j j j j j j = ( + ) 2 2 2 h h
n j +1 n j −1
n +1 j +1
n +1 j −1
aτ νπ 令r = , µ = 2 , 格式可改写成： h h
r2 (1 − 2 µ sin ) 2 + sin 2 σh 2 2 4 G = ≤1 2 r 2 σh 2 (1 + 2 µ sin ) + sin 2 σh 2 4
τ ∂ 2u
于是方程的截断误差可 以改写为： 以改写为：
τ
∂ 4u ∂ 3u ∂ 2u ∂ 4u 2 2 2 （υ − 2aυ 3 + a ） h + 4 2 4 2 ∂x ∂x ∂x ∂x 2 4 3 4 ∂ u τ 2∂ u τ 2 ∂ u 2 ∂ u = a + （υ − 2aυ 3 ） h + 2 4 2 ∂x 2 ∂x ∂x ∂x 4
2
= 1 − (1 − cosσh) 2(r + 2µ ) − 2r 2 + (r 2 − (r + 2µ )2 )(1 − cosσh)
{
}
类似的迎风格式稳定的 充要条件是 G ≤ 1, 相当于 要求： 要求： 2( r + 2 µ ) − 2 r 2 + ( r 2 − ( r + 2 µ ) 2 )(1 − cos σ h) ≥ 0
即 4µ - 2r − (4µ − r )(1 − cos wh) ≥ 0
2 2 2
1 − cos wh 由于 ∈ [0,1], 上述不等式转化为 2 4 µ − 2 r 2 ≥ 0, 4 µ − 2 r 2 + 2 ( r 2 − 4 µ 2 ) ≥ 0
将r1 , r2 代入，即得条件： 2ν h2 τ≤ 2 , τ≤ a 2ν 此两不等式为中心显式格式稳定的条件。
u n +1 − u n j j
τ
+a
u n+1 − u n−1 j j
λh
2h
−
1 + e λh e 2 + e 2 ah λh 取σ = = − coth （ ） − coth = （ ） = λh λh λh − 1− e 2 2ν 2 2 e −e
λh
ah 1 + e = 2 1 − e λh
=ν
u n+1 − 2u n + u n−1 j j j
u
n+1 j
1 = u − r ( u n+ 1 − u n−1 ) + µ ( u n+ 1 − 2 u n + u n−1 ) j j j j j 2
n j
增长因子为： G = (r , µ ) = 1 − 2 µ (1 − cos wh) − ir sin wh
τ
αn = j β
n j
+a
u n − u n−1 j j h
−ν
1 = ν 1+ R
u n+1 − 2u n + u n−1 j j j h2
称为逼近对流扩散方程的Samarskii格式.
u n +1 − u n j j
u n + 1 − 2 u n + u n −1 j j j h2 u n+ 1 − 2 u n + u n−1 j j j h2
λh
u n+1 − 2u n + u n−1 j j j h2
u n +1 − u n j j
截断误差为O（h 2 + τ）。
2h ah ah 其中σ = coth （ ） 2ν 2ν
τ
+a
u n+1 − u n−1 j j
= νσ
u n+1 − 2u n + u n−1 j j j h2
1 与中心显格式比较可得出稳定性条件：νσ 2 ≤ h 2
格式为近似对流方程的 无条件不稳定格式；当 无条件不稳定格式； a = 0时，格式是近似扩散方 程的古典显式格式， 程的古典显式格式， 1 格式才稳定。 只有 ar ≤ 时，格式才稳定。 2 下面讨论稳定性： 设r = aτ , µ = ντ 2 , 格式改写成： h h
τ
+a
u n+1 − u n−1 j j
即 r + 2 µ ≤ 1，此时有 r p 1，（r + 2 µ） r 2自然成立。 − 自然成立。
所以迎风格式的稳定性 条件是 h2 τ ≤ 2ν + ah
当a p 0时，情况类似，稳定性 条件是 情况类似， h2 τ≤ 2ν + a h
也可以利用中心显格式来讨论稳定性,于是将上面格式改为:
u n +1 − u n j j
ah ν τ 1 + 2≤ ah 2 2 1+ h 2ν
4.5:指数型差分格式
∂u ∂ 2u 考虑定常对流扩散方程d + a = ν 2 , 其解析解 ∂x ∂x d a λx 为u = β1e + β 2 − x，其中λ = 。 a ν
对空间进行剖分，有 d + β 2 − ( j − 1)h u j −1 = β1e a d λ ( j +1) h + β 2 − ( j + 1)h u j +1 = β1e a
τ
a →0
2
格式是绝对不稳定的， 格式是绝对不稳定的， 为了减少扩散效应的损 失，
τ
2
a 2。这样
u n +1 − u n j j
τ
+a
u n+1 − u n−1 j j 2h
u n+1 − 2u n + u n−1 τ 2 j j j = ν + a） （ 2 h2
中心差分格式， 稳定性分析完全类似于 中心差分格式，显然有 τ 1 τ 2 1 ν 2 + （a ） ≤ h 2 h 2
⋅ 将各项在 [] j
n+
1 2
处展开， 处展开，知 E = O (τ 2 + h 2 ), 且
r (1 − µ + µ cos σh) − i sin σh 2 G= r (1 + µ − µ cos σh) + i sin σh 2 r 2 σh (1 − 2 µ sin ) − i sin σh 2 2 = r 2 σh (1 + 2 µ sin ) + i sin σh 2 2
( a f 0)
即：u n+1 = ( r + µ )u n−1 + (1 − r − 2µ )u n + µu n+1 , (a f 0) j j j j
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其增长因子 G = 1 − ( r + 2µ )(1 − cos σh) − ir sin σh
G = r 2 sin2 σh + (1 − (r + 2µ )(1 − cosσh))2
τ
h
=a
u n − u n−1 j j
1 − （ − 1） ν 1+ R
由Taylor公式可以得到
∂u n ∂ 2u n α n = ( ) j − ν ( 2 ) j + O (τ + h 2 ) j ∂t ∂x ∂u n R2 ∂ 2u n β jn = a ( ) j − ν ( 2 ) j + O (h 2 ) ∂x 1 + R ∂x 于是截断误差有O（τ + h 2） 类似迎风格式的稳定性分析，可以得到 此格式的稳定性条件：