材料力学第四章-弯曲内力

或 Fs1 3q FB 3 12 29 7 kN M1 FB 4 3q 2.5 29 4 312 2.5 26kN m
FA 15 kN FB 29 kN
3、计算2-2截面的内力 Fs2 1.5q FB 1.5 12 29 11kN M2 FB 1.5 q 1.5 0.75
F2
杆轴
X
平面弯曲：
FA
梁变形后的轴线所在平面与外力所
在平面相重合
FB 纵向对称面
对称弯曲必定是平面弯曲，而平面弯曲不一定是对称弯曲。
非对称弯曲：
构件不具有纵向对称面，或虽有纵向对称面但外力不作用 在纵对称面时的弯曲变形
三、 梁的计算简图
梁的支承条件与荷载情况一般都比较复杂，为了便于 分析计算，应进行必要的简化，抽象出计算简图。 1. 构件本身的简化
3 4
qa, 0
x1
a
FA
3 4
qa
x1 a
3qa
C
M
( x1 )
FA
x1
3 4
qax1 , 0
x1
a
4
BC段:
FS图
FS (x2 )
qx2
FB
qx2
1 4
qa
0 x2 a
M图
M
(x2 )
FB x2
qa2
qx2
x2 2
qa 4
x2
qa2
q 2
x22
0
x2
a
3 qa2 4
FB
3m
解： 1、求支反力
MB
3 0 FA 6 F 4.5 q 3 2
0
ห้องสมุดไป่ตู้
FA
15kN
Fy 0 FA FB F q 3 0 FB 29kN
(也可由 M A 0求FB或校核FB的正误)
FA 15 kN FB 29 kN
2、计算1-1截面的内力 Fs1 FA F 15 8 7 kN M1 FA 2 F 0.5 15 2 8 0.5 26kN m
x1
a
FA
M (x1) FA
BC段:
x1
Me l
x1 , 0
x1
a
FS图
l
Me l
FB
FS (x2 )
FB
Me l
0
x2
b
M (x2 )
FB x2
Me l
x2
M图
0 x2 b
M eb l
Mea l
结论：
在集中力偶作用处剪力图无变化。弯矩图有 突变，突变值等于集中力偶的力偶矩；从左往右 看，顺时针的集中力偶引起正突变，逆时针的集 中力偶引起负突变。
F
A
C
B
Fs
x
M
x
4.4 试画出如图示简支梁AB的剪力图和弯矩图。
例题
解：1.求支反力
Me
a
b
M A 0, FBl M e 0
A
C
B
FB
Me l
FA
l
FB
Fy 0, FA FB 0
FA
FB
Me l
2.列剪力、弯矩方程 AC段:
Me
a
b
A
x1
C
B
x2
FS (x1)
FA
Me l
,0
291.5 121.5 0.75 30kN m 或 Fs2 FA F q 1.5 15 8 121.5 11kN
M2 FA 4.5 F 3 q 1.5 0.75 15 4.5 8 3 121.5 0.75 30kN m
例题
求图示外伸梁中的1－1、2－2、3－3、
8
q
A
B
xC
x
FAy
l
FBy
FS ql / 2
x
ql / 2
x
M
3ql 2 32
3ql 2 ql2 32
8
4.3 试画出如图示简支梁AB的剪力图和弯矩图。
例题
aF
b
解：1.求支反力
A
B
C
由
FA l
FB
Fy 0, M A 0
得
FA
Fb l
,
FB
Fa l
2.列剪力、弯矩方程
AC段:
FS (x1)
第四章 弯曲应力
§4-1 对称弯曲的概念及梁的计算简图
一、弯曲的工程实例 1.火车车厢轮轴
2. 吊车横梁
二、1、弯曲的概念
杆件承受垂直于其轴线方向的外力 （即横向力）,或在其轴线平面内作用有外 力偶时, 杆的轴线变为曲线.以轴线变弯为 主要特征的变形称为弯 曲。
以弯曲变形为主的杆件称为梁。
2、对称弯曲的概念
6 kN
6kN m
1 2 q 2 kN m 3 4
5
12
A
2m
3m
FA 13kN
34
C
5
3m
B
FB 5kN
2、计算各截面的内力
FS1 6kN M1 6 2 12kN m FS2 6 FA 7kN M 2 6 2 12kN m
6 kN
6kN m
1 2 q 2 kN m 3 4
q=4kN/m
F=5kN
1
A1
2m
3m
解：用一步写出法
B
Fs1 2q F 2 4 5 13kN
M1 q 21 F 2 4 21 5 2 18kN m
例题
求下图所示简支梁1-1与2-2截面的剪力和弯矩。
F=8kN
A 2m
FA 1.5m
1 1 1.5m
q=12kN/m
2
B
2
1.5m
例 题 试写出图示简支梁的剪力、弯矩方程，并作
剪力、弯矩图。
q qa2
解：1.求支反力 A
MA 0
a
FB
2a
qa
3 2
a
qa2
0
FA
3 4
qa
1 FB 4 qa
Fy 0, FA FB qa 0
FA
3 4
qa
B C
a 1
FB qa 4
2.列剪力、弯矩方程
AC段:
A
FS (x1)
FA
FB
1 3
F
2.求截面1－1上的内力
Fy
0,
FA
FSD
0, FSD
FA
2 3
F
2 M D 0, M D FAa 0, M D FA a 3 Fa
同理,对于C左截面：
FSC左
FA
2 3
F
M
C左＝
2 3
F
l 3
2 9
Fl
对于C右截面：
F FSC右 FA F 3
M C右
FA
l 3
2 9
①剪力：平行于横截面的内力
符号规定：使微段左上右下错动的剪力为正,反之为负. 或剪力对分离体内一点取矩,顺时针为正,逆时针为负.
FS
FS
剪力为正
②弯矩：截面上的内力偶矩
FS
FS
剪力为负
符号规定：弯矩使微段凸向下变形，即下侧纤维受拉， 上侧纤维受压时为正，反之为负。
M
M
弯矩为正
M
M
弯矩为负
求剪力、弯矩的最基本方法为截面法。截面法 求内力的步骤为：切、取、代、求。
例 题 程，并画出剪力图和弯矩图。
解：1．求约束力
由对称性 FAy＝ FBy＝ ql/2
2．写出剪力和弯矩方程
FS
x＝ ql
2
qx
0 x l
M x＝ ql x qx2 0 x l
22
求弯矩的极值
d
M d
x
x ＝ ql
2
qx
Fs
令
(x) =0
得： x l 2
故
M 极值
＝ ql2
x l 2
F
Fs FAy F
M x
C Fs
MC 0,
M FAy x F x a 0
M FAy x F x a
例 题 如图所示的简支梁，试求1－1及C左右截面上
的内力。
解：1.求支座约束力
Fy M
0, FA
A (F ) 0,
FB FB
l
F
0 Fl
3
0
得
FA
2 3
F,
3
q3
3 2
53
23
3 2
6kN m
FS5 FB 5kN M5 0kN m
二、剪力方程和弯矩方程 剪力图和弯矩图
剪力方程： 剪力随横截面变化的函数表达式
弯矩方程： 弯矩随横截面变化的函数表达式
MFS
FS ( x) M (x)
剪力、弯矩图：剪力、弯矩方程的函数图形。 横轴与轴线平行，表示截面的位置；纵轴表示 内力（剪力、弯矩）的大小。
Fl
FSC左 FSC右, MC左＝MC右
FA
l 3
M c左 Fsc左
F
FA
l 3
M c右 Fsc右
在集中力作用处，左右截面上剪力发生突变，突变值为该集 中力的大小；而弯矩保持不变。
负号表示假设方向与实际方向相反。
截开后取左边为研究对象：
向上的外力引起正剪力，向下的外力引起负剪力； 向上的外力引起正弯矩，向下的外力引起负弯矩； 顺时针力偶引起正弯矩，逆时针力偶引起负弯矩。
注意：土建中弯矩图画在受拉一侧（即正值画 在x轴下方，负值画在x轴上方）。
例 题 作图示悬臂梁AB的剪力图和弯矩图。
解：
剪力、弯矩方程：
F x
A
B
l
MFS
(x) (x)
F(0 x l Fx(0 x
) l
)
FS
F
Fl
| FS |max F
| M |max Fl
M
4.2 简支梁受均布荷载作用。试写出剪力和弯矩方
截开后取右边为研究对象：
向上的外力引起负剪力，向下的外力引起正剪力； 向上的外力引起正弯矩，向下的外力引起负弯矩； 顺时针力偶引起负弯矩，逆时针力偶引起正弯矩。
根据符号规定,可以得到下述两个规律: 1、横截面上的剪力在数值上等于截面左侧（或右侧） 梁段上横向力的代数和。在左侧梁段上向上（或右侧梁 段上向下）的外力引起正剪力，反之，引起负剪力。 简记为：左上右下为正。
FAx
MA
FAy
4、梁按支承方法的分类
悬臂梁
简支梁
外伸梁
跨：梁在两支座之间的部分称为跨。其长度则称为跨长。
5、静定梁与超静定梁 静定梁：支座约束力可以由静力平衡方程求解的梁 超静定梁：支座约束力仅由静力平衡方程不能求解的梁
悬臂梁
连续梁
简支梁
固定梁
外伸梁
静定梁
半固定梁
超静定梁
§4-2 梁的剪力和弯矩.剪力图和弯矩图 一、梁的剪力和弯矩
FA
l
l
a
F
FB
a l
F
C M Fy 0 : FA FS 0 FS FA
FA
x
剪力 FS
MC 0 : M FAx 0 M FAx
F
MC
弯矩
FS
FB
Fy 0 : FS FB F 0 FS F FB FA
MC 0 : M FB l x F a x 0 M FA x
FA
Fb l
,0
x1
a
aF
b
A
x1
FA
Fb
C l
l
B
x2
FB
M (x1) FA
BC段:
x1
Fb l
x1 , 0
x1
a
FS图
FS (x2 )
FB
Fa l
0
x2
b
Fa l
M图
M
(x2 )
FB x2
Fa l
x2
0
x2
b
Fab
l
结论：
在集中力作用处剪力图有突变，突变值等于 集中力的大小；从左往右看，向上的集中力引起 正突变，向下的集中力引起负突变。弯矩图出现 尖角，尖角的方向与集中力的箭头方向一致。
Fs1 2q F 2 4 5 13kN
F=5kN
MC 0, M1 q 21 F 2 0
M1 Fs1
M1 q 21 F 2
4 21 5 2 18kN m
y
a O
A
x
FAy y
a
x
FAy
F n Me n
q
例:求n-n截面内力，
x 设支反力已求出。 B 解:由截面法
Fy 0, FAy F Fs 0
通常用梁的轴线来代替梁。
2. 荷载简化 作用于梁上的荷载（包括支座约束力）可简化为三种类型：
集中力、集中力偶和分布荷载。
作用在梁上的荷载形式
分布荷载
Me
均匀分布荷载
集中力
集中力偶
3. 支座简化 ①固定铰支座 2个约束力，1个自由度。
②可动铰支座 1个约束力，2个自由度。
③固定端 3个约束，0个自由度。
2、横截面上的弯矩在数值上等于截面左侧（或右侧） 梁段上所有外力（包括外力偶）对该截面形心的矩的代 数和。无论左侧或右侧，向上的外力均引起正弯矩，向 下的外力均引起负弯矩。左侧顺时针力偶引起正弯矩， 右侧逆时针力偶引起正弯矩。 简记为：左顺右逆为正。
利用上述结论求剪力、弯矩的方法称为一步写出法
例 题 求下图所示悬臂梁1-1截面的剪力和弯矩。
5
12
A
2m
3m
FA 13kN
34
C
5
3m
B
FB 5kN
FS3 6 13 2 3 1kN
M3
6 5
13 3
23
3 2
0kN
m
6 kN
6kN m
1 2 q 2 kN m 3 4
5
12
A
2m
3m
FA 13kN
34
C
5
3m
B
FB 5kN
FS 4 FB q 3 5 2 3 1kN
M4
FB
4－4和5－5各截面上的内力
6 kN
6kN m
1 2 q 2 kN m 3 4
5
12
A
2m
34
B
5
C
3m
3m
6 kN
6kN m
1 2 q 2 kN m 3 4
5
12
34
B
5
A
2m
3m
FA 13kN
C
3m
FB 5kN
解： 1、求支反力
M A 0 6 2 FB 6 2 6 3 6 0 FB 5kN Fy 0 FA FB 6 2 6 0 FA 13kN (也可由 M B 0求FA或校核FA的正误)
F
q
A
FAy
Me 纵向对称面
B
x
FBy 对称轴
y
y
y
y
对称弯曲的力学模型
F1
FA
F2 纵向对称面
杆轴
x
z
FB
y 形心
构件几何特征：构件为具有纵对称面的等截面直杆
受力特征：横向外力（或外力合力）或外力偶均作用在 杆的纵向对称面内
变形特征：杆件轴线变形后为纵向对称面内的平面曲线
对称弯曲：
F1
构件的几何形状、材料性能和外力 作用均对称于杆件的纵对称面
建议：用截面法求内力时，FS和M均按正值方 向假设，这样求出的剪力为正号即表明该截面上 的剪力为正的剪力，如为负号则表明为负的剪力。 对于弯矩正负号也作同样判断。
例 题 求下图所示悬臂梁1-1截面的剪力和弯矩。
q=4kN/m
1
A1
2m
3m
q=4kN/m
F=5kN
解：用截面法
B Fy 0, Fs1 q 2 F 0