考研概率论复习古典概型中几种研究模型

古典概型中研究的几类基本问题:

抛硬币、掷骰(t óu)子、摸球、取数等随机试验,在概率问题的研究中,有着十分重要的意义.一方面,这些随机试验,是人们从大量的随机现象中筛选出来的理想化的概率模型.它们的内容生动形象,结构清楚明确,富有直观性和典型性,便于深入浅出地反映事物的本质,揭示事物的规律.另一方面,这种模型化的处理方法,思想活泼,应用广泛,具有极大的普遍性,不少复杂问题的解决,常常可以归结为某种简单的模型.因此,有目的地考察并掌握若干常见的概率模型,有助于我们举一反三,触类旁通,丰富解题的技能和技巧,从根本上提高解答概率题的能力.

本部分主要讨论古典概率中的四类基本问题(摸球问题、分球入盒问题、随机取数问题和选票问题),给出它们的一般解法,指出它们的典型意义,介绍它们的常见应用.

一、摸球问题

[例1]袋中有α个白球,β个黑球：

(1)从中任取出a ＋b 个(a,b ∈N,α≤a,b ≤β,试求所取出的球恰有a 个白球和b 个黑球的概率；

(2)从中陆续取出3个球(不返回),求3个球依次为“黑白黑”概率；

(3)逐一把球取出(不返回),直至留在袋中的球都是同一种颜色为止,求最后是白球留在袋中的概率.

思考方法 这里的三个小题,摸球的方式各不相同,必须在各自的样本空间中分别进行处理.(1)中的每一个样本点,对应着从α+β个球中任取a+b 个球的一种取法,无需考虑顺序,属于组合问题.(2)中的每一个样本点,对应着从α+β个球中依次取出三个球的一种取法,需要考虑先后次序,属于排列问题.(3)中事件的有利场合(摸剩白球)包含了α种不同情形：摸剩α个白球,α-1个白球,…,1个白球.因此,必须对各种情形分别加以考虑.

[解](1)设A 1表示事件“所取的a+b 个球中恰有a 个白球和b 个黑球”.从α+β个球中

任意摸出a+b 个,有⎪⎪⎭⎫

⎝⎛++=++b a C b a βαβα种不同取法,此即样本空间所包含的样本点总数.而事

件A 1所包含的样本点数,相当于从α个白球中任取a 个,从β个黑球中任取b 个的取法种数,

共⎪⎪⎭⎫

⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=b a C C b a βαβα种.所以

P(A 1)=⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=++b a b a C C C b a b a βαβαβαβα (2)设A 2表示事件“取出的3个球依次为黑白黑”.从α+β个球中依次任取3个,有3βα+A 种取法,此即样本点总数.对于有利场合,第一个和第三个黑球可在β个黑球中依次取得,有2βA 种取法,第二个白球可在α个白球中任取,有1

αA 种取法.因此,A 2所包含的样本点数为21βαA A ⋅.于是

P(A 2)=)

2)(1)(()1(-+-++-βαβαβαβαβ (3)袋中只剩白球时(设此事件为A 3),取出的球必为β个黑球,i 个白球(i=0,1,…,α-1).用Bi 表示事件“取出β个黑球,i 个白球,袋中留下的全是白球”(i=0,1,…,α-1),则事件B 0,B 1,…,B α-1,β必两两互不相容,且A 3=B 0+B 1+…+B α-1．

依概率的有限可加性,有

P(A 3)=P(B 0)+P(B 1)+P(B 2)+ …+P(B α-1)

依事件B i 的含义,对于确定的i,它的样本空间就是从α+β个球中任取i+β个球的排列.所

以,样本点总数为ββα++i A .注意到i+β个球取出后,留在袋中的全是白球,因而在这i+β个球

中,最后取出的一个应是黑球.这样,事件B i 的有利场合,就是i+β-1个球的全排列(β个黑球中扣除1个,以保证最后取出的一个必为黑球).显然,i 个白球可从α个白球中取得,有i C α种取法;β-1个黑球可从β个黑球中取得,有1-ββ

C 种取法,．从而事件B i 所包含的样本点数为11-+-⋅⋅βββαi i A C C .于是

P(B i )=ββαββββα++-+-+-⋅⋅i i i i A A C C 11

1 =i i C 1)

(!!-++ββαβα 把诸P(Bi)的值代入(1)式,并注意到

22110++++m m m C C C +…111-+--+=n n m n n m C C

即得

P(A 3)=+++++-21101[)!(!!ββββαβαC C C …]12--+ααβC =11)!

(!!--++ααββαβαC =βαα+ 评注 如果把题中的“白球”、“黑球”换为“正品”、“次品”或“甲物”、“乙物”等等,我们就可以得到各种各样的“摸球问题”.为了让读者对此有深切的体会,我们再来看下面的例子：

(1)一批灯泡40只,其中3只是坏的,从中任取5只检查.问：① 5只都是好的概率为多少？② 5只中有2只坏的概率为多少？

(答案：①540537C C ;②540

23337C C C ) (2)在相应地写有2,4,6,7,8,11,12及13的8张相同的卡片中,任意取出2张,求由所取得的两个数构成的分数为可约的概率.

(答案:28

25C C ) (3)从一副扑克牌(52张)中任取6张,求得3张红色的牌和三张黑色的牌的概率.

(答案：652

326326C C C ) (4)用火车运载两类产品,甲类n 件,乙类m 件.有消息证实,在路途中有2件产品损坏.求损坏的是不同产品的概率.

(答案:211m

n m n C C C +⋅) (5)一个班级有2n 个男生和2n 个女生,把全班学生任意地分成人数相等的两组,求每组中男女生人数相等的概率.

(答案：n n

n n n C C C 24222⋅) (6)从数1,2,…,n 中任取两数,求所取两数之和和偶数的概率.

(答案：当n 为偶数时,p=222/2n

n C C ；当n 为奇数时,p=222/)1(22/)1(n n n C C C +-+) 不难发现,上述各个问题的解决,都可以归结为摸球问题(例1(1)).我们说摸球问题具有典型意义,原因也正在于此.,

二、分球入盒问题

[例2]把n 个球以同样的概率分配到Ｎ(n≤Ｎ)个盒子中的每一个中去,试求下列各事件的概率：

(1)Ａ：某指定n 个盒子中各有一球；

(2)Ｂ：恰有n 个盒子,其中各有一球;

(3)Ｃ：某指定盒子中恰有m(m≤n)个球.

思考方法 解答本题时,要发掘“n 个球以同样的概率分配到Ｎ个盒子中的每一个中去”一语的含义.这句话意思是说,每一个球,被分配到任意一个盒子中去是等可能的；也就是说每一个球各有Ｎ种不同的去向.

[解] 因为n 个球中的每一个球,都以同样的概率进入Ｎ个盒子中的任意一个,所以样

本点总数为N n .

(1)n 个球分别分配到Ｎ个预先指定的盒子中去,相当于n 个球的全排列,因此事件Ａ所包含的样本点数为A n ,于是 P(A)=n n n N

n N A !=． (2)对于事件Ｂ,ｎ个盒子可自Ｎ个盒子中任意选取,有n N C 种选法,因而事件Ｂ包含

!n C n N ⋅个样本点,于是 P(B)=)!

(!!n N N N N n C n n n N -⋅=⋅. (8)事件Ｃ中的ｍ个球,可以从n 个球中任意选取有m

n C 种选法,其余的n-m 个球可以任