全等三角形之角平分线模型

角平分线模型
【理论准备1】：
已知：∠AOB ．
求作：∠AOB 的平分线．
作法：（1）以O 为圆心，适当长为半径作弧，分别交OA 、OB 于M 、N ．
（2）分别以M 、N 为圆心，大于½MN 的长为半径作弧．两弧在∠AOB 内部交于点C ．
（3）作射线OC ，射线OC 即为所求．
【理论依据】：三边对应相等的三角戏是全等三角形（SSS ）、全等三角形对应角相等
C
O B
Ｂ
A
Ｎ
Ｍ
Ｂ
Ｃ
Ｏ
【理论准备2】：
角平分线性质定理：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
【几何语言】：∵ OC 为∠AOB 的角平分线，D 为OC 上一点DE ⊥OA ，DF ⊥OB ∴ DE=DF
【理论准备3】：
角平分线判定定理：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上．
【几何语言】：∵ DE ⊥OA ，DF ⊥OB 且DE=DF
∴ OD 为∠AOB 的角平分线
【说明】：利用角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，构造模型，为边相等、角相等、三角形全等创造更多的条件，进而可以快速找到解题的突破口。

D
F
E
O
C
B
A D
F
E
O
C
B
A
【例题1】
证明：三角形三个内角的角平分线交于一点．
【跟踪训练】
1. 如图，△ABC 的∠B 、∠C 的外角平分线交于点D ．求证：AD 是∠BAC 的平分线．
A
B
C
D
2. 如图，△ABC 的外角一平分线CP 和内角平分线BP 相交于点P ，若∠BAC=80°，则 ∠CAP=________.
A
B
P
C
D
3. 如图，在△ABC 中，∠C=90°，AD 是角平分线，DE ⊥AB ，DE=3cm ，BD=5cm ，则BC=__________．
I F
E D
C
B
A
第19题
第
C
A
E
D
B
B
E
F
A
C
4. 如图，△ABC 的周长是22，OB 、OC 分别平分∠ABC 和∠ACB ，OD ⊥BC 于D ，且OD=3， 求△ABC 的面积．
B
A
D
C O
5. 在△ABC 中，∠BAC=90°，AB=3，AC=4，BC=5，若点P 是△ABC 的三条角平分线的交点，则点P 到边BC 的距离是________.
6. 如图，画∠AOB=90°，并画∠AOB 的平分线OC ，将三角尺的直角顶点落在OC 的任意一点P 上，使三角尺的两条直角边与∠AOB 的两边分别相交于点E 、F ，试猜想PE 、PF 的大小关系，并说明理由．
7. 在△ABC 中，AD 是∠BAC 的平分线，E 、F 分别为AB 、AC 上的点，且∠EDF+∠EAF=180°，
求证
DE=DF
．
【理论准备4】
【说明】：构造此模型可以利用等腰三角形的“三线合一”，也可以得到两个全等的直角三角形，进而得到对应边、对应角相等。

这个模型巧妙地把角平分线和三线合一联系了起来。

【例题2】
如图所示，在△ABC 中，∠BAC=90°，AB=AC ，BE 平分∠ABC ，CE ⊥BE ．求证：CE=½BD ．
B
A
C E
D
B
A
C E
D
F
12
3
【跟踪训练】
8. 如图所示，在△ABC 中，∠ABC=3∠C ，∠1=∠2，BE ⊥AE ．求证：AC-AB=2BE ．
A
B
C E
1
2
9.如图，在△ABC中，BE是角平分线，AD⊥BE，垂足为D。

求证：∠2=∠1+∠C。

10.如图，△ABC内有一点D，AD平分∠CAB，CD⊥AD于点D，连接DB，若△ADB的面积为3cm2，则△ABC的面积为________.
【理论准备5】
【说明】：利用角平分线图形的对称性，在角的两边构造对称全等三角形，可以得到对应边、对应角相等。

利用对称性把一些线段或角进行转移，这是经常使用的一种解题技巧。

【例题3】
如图，在△ABC中，∠ABC=60°，AD、CE分别平分∠BAC、∠ACB，AD、CE交于O．（1）求∠AOC的度数；
（2）求证：AC=AE+CD．
B
A
E
D C
O
B
A
E
D C
O
T
2
1
E
D
C B
A
【跟踪训练】
11. 如图，在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，∠A 的角平分线AE 交DC 于E ，BE 是∠B 的角平分线．
求证：（1）AE ⊥BE ；（2）AD+BC=AB ．
A D
E
B
12. 如图，△ABC 中AB=AC ，∠A=108°，BD 平分∠ABC 交AC 于D 点．求证：BC=AC+CD.
A
B
C
D
13. 如图，四边形ABCD 中,BC ＞AB ，AD=DC ，BD 平分∠ABC.求证：∠BAD+∠BCD=180°.（跟踪训练8做对比）
【理论准备6】
M
Q
'
O O
N P
1
2
3
H F
G
A C D
E
【说明】：有角平分线时，常过角平分线上一点作角的一边的平行线，构造等腰三角形，为证明结论提供更多的条件，体现了角平分线与等腰三角形之间的密切关系。

【例题3】
已知等腰△ABC ，∠A=100°，∠ABC 的平分线交AC 于D ．求证：BD+AD=BC ．
A
D
C
【跟踪训练】
14. （1）如图①，在ABC △中，BD 、CD 分别平分ABC ∠和ACB ∠，//ED AB ，//FD AC ．如果6BC =，则DEF △的周长为__________．
B
A
E
F
C D
（2）如图②，ABC ∠的平分线与ACB ∠的外角平分线相交于点D ，过点D 作EF//BC ，交AB 于E ，交AC 于F ，若8cm BE =，5cm CF =，则EF =________．
A B C
G
D
F
E
（3）如图③，ABC △的内角ABC ∠和外角ACD ∠的平分线相交于点E ，BE 交AC 于点F ，
过点E 作EG//BD 交AB 于点G ，交AC 于点H ，连接AE ，有以下结论：①1
2
BEC BAC =∠∠；
②HEF CBF △≌△；③BG CH GH =+；④AEB ACE +∠∠ 90=︒，其中正确的结论有_____________（只填序号）
15. （1）如图，在△ABC 中，BF 、CF 是角平分线，DE ∥BC ，分别交AB 、AC 于点D 、E ，DE 经过点F ．结论：①△BDF 和△CEF 都是等腰三角形；②DE=BD+CE ； ③△ADE 的周长=AB+AC ；④BF=CF ．其中正确的是___________．(填序号)
（2）如图，BD 平分ABC ∠，CD 平分外角ACG ∠．DE//BC 交AB 于E ，交AC 于F ．线段EF 与BE 、CF 有什么关系?
图4
G
F
D
C A E
B。