2 导数公式及导数的运算法则

基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(一)
1．能根据定义求函数y＝c，y＝x，y＝x2，y＝1
x，y＝x的导数．
2．能利用给出的基本初等函数的导数公式求简单函数的导数．
1
2
[情境导学]
在前面，我们利用导数的定义能求出函数在某一点处的导数，那么能不能利用导数的定义求出比较简单的函数及基本函数的导数呢？这就是本节要研究的问题．
探究点一几个常用函数的导数
思考1怎样利用定义求函数y＝f(x)的导数？
答(1)计算Δy
Δx，并化简；
(2)观察当Δx趋近于0时，Δy
Δx趋近于哪个定值；
(3)Δy
Δx趋近于的定值就是函数y＝f(x)的导数．
思考2利用定义求下列常用函数的导数：
①y＝c，②y＝x，③y＝x2，④y＝1
x，⑤y＝x.
答①y′＝0，②y′＝1，③y′＝2x，④y′＝lim
Δx→0Δy
Δx＝lim
Δx→0
1
x＋Δx
－
1
x
Δx＝lim
Δx→0
－1
x(x＋Δx)
＝－
1
x2
(其它类同)，⑤y′＝
1
2x
.
思考3导数的几何意义是曲线在某点处的切线的斜率．物理意义是运动物体在某一时刻的瞬时速度．
(1)函数y＝f(x)＝c(常数)的导数的物理意义是什么？
(2)函数y＝f(x)＝x的导数的物理意义呢？
答(1)若y＝c表示路程关于时间的函数，则y′＝0可以解释为某物体的瞬时速度始终为0，即一直处于静止状态．
(2)若y＝x表示路程关于时间的函数，则y′＝1可以解释为某物体做瞬时速度为1的匀速运动．
思考4在同一平面直角坐标系中，画出函数y＝2x，y＝3x，y＝4x的图象，并根据导数定义，求它们的导数．
(1)从图象上看，它们的导数分别表示什么？
(2)这三个函数中，哪一个增加得最快？哪一个增加得最慢？
(3)函数y＝kx(k≠0)增(减)的快慢与什么有关？
答函数y＝2x，y＝3x，y＝4x的图象如图所示，导数分别为y′＝2，y′＝3，
y′＝4.
(1)从图象上看，函数y＝2x，y＝3x，y＝4x的导数分别表示这三条直线的
斜率．
(2)在这三个函数中，y＝4x增加得最快，y＝2x增加得最慢．
(3)函数y＝kx(k>0)增加的快慢与k有关系，即与函数的导数有关系，k越
大，函数增加得越快，k越小，函数增加得越慢．
函数y＝kx(k<0)减少的快慢与|k|有关系，即与函数导数的绝对值有关系，|k|
越大，函数减少得越快，|k|越小，函数减少得越慢．
思考5画出函数y＝1
x的图象．根据图象，描述它的变化情况，并求出曲线在点(1，1)处的
切线方程．
答 函数y ＝1x 的图象如图所示，结合函数图象及其导数y ′＝－1
x 2发现，当x <0时，随着x 的增加，函数y ＝1
x 减少得越来越快；当x >0时，随着x 的增加，函数减少得越来越慢．
点(1，1)处切线的斜率就是导数y ′|x ＝1＝－1
12＝－1，故斜率为－1，过点
(1，1)的切线方程为y ＝－x ＋2.
思考6 利用导数的定义可以求函数的导函数，但运算比较繁杂，有些函数式子在中学阶段无法变形，怎样解决这个问题？
答 可以使用给出的导数公式进行求导，简化运算过程，降低运算难度．
例1 求下列函数的导数：
(1)y ＝sin π3； (2)y ＝5x ； (3)y ＝1
x 3； (4)y ＝43x ； (5)y ＝log 3x .
反思与感悟
对于教材中出现的8个基本初等函数的导数公式，要想在解题过程中应用自如，必须做到以
下两点：一是正确理解，如sin π3＝32是常数，而常数的导数一定为零，就不会出现)3
(sin
′
＝cos π
3这样的错误结果．二是准确记忆，灵活变形．如根式、分式可转化为指数式，利用公式2求导． 跟踪训练1
求下列函数的导数：
(1)y ＝x 8； (2)y ＝(1
2)x ； (3)y ＝x x ； (4)y ＝log 3
1x .
例2 判断下列计算是否正确．
求y＝cos x在x＝π
3处的导数，过程如下：y′|x＝
π
3＝)3
(cos
′＝－sinπ
3＝－
3
2.
反思与感悟
函数f(x)在点x0处的导数等于f′(x)在点x＝x0处的函数值．在求函数在某点处的导数时可以先利用导数公式求出导函数，再将x0代入导函数求解，不能先代入后求导．
跟踪训练2
求函数f(x)＝ln x在x＝1处的导数．
探究点三导数公式的综合应用
按照基本初等函数的导数公式，我们可以解决两类问题：
(1)可求基本初等函数图象在某一点P(x0，y0)处的切线方程．
(2)知切线斜率可求切点坐标．
例3已知直线l: 2x－y＋4＝0与抛物线y＝x2相交于A、B两点，O是坐标原点，试求与直线l平行的抛物线的切线方程，并在弧AOB上求一点P，使△ABP的面积最大．
反思与感悟
利用基本初等函数的求导公式，可求其图象在某一点P(x0，y0)处的切线方程，可以解决一些与距离、面积相关的几何的最值问题，一般都与函数图象的切线有关．解题时可先利用图象分析取最值时的位置情况，再利用导数的几何意义准确计算．
跟踪训练3
点P是曲线y＝e x上任意一点，求点P到直线y＝x的最小距离．
1．给出下列结论：
①若y ＝1x 3，则y ′＝－3
x 4；
②若y ＝3x ，则y ′＝1
33x ；
③若y ＝1
x 2，则y ′＝－2x －3； ④若f (x )＝3x ，则f ′(1)＝3. 其中正确的个数是( )
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4 2．函数f (x )＝x ，则f ′(3)等于( )
A ．36
B ．0
C ．12x
D ．32
3．设正弦曲线y ＝sin x 上一点P ，以点P 为切点的切线为直线l ，则直线l 的倾斜角的范围是( )
A ．[0，π4]∪[3π
4，π) B ．[0，π)
C ．[π4，3π4]
D ．[0，π4]∪[π2，3π4]
4．曲线y ＝e x 在点(2，e 2)处的切线与坐标轴所围三角形的面积为________．
[呈重点、现规律]
1．利用常见函数的导数公式可以比较简捷地求出函数的导数，其关键是牢记和运用好导数公式．解题时，能认真观察函数的结构特征，积极地进行联想化归． 2．有些函数可先化简再应用公式求导．
如求y ＝1－2sin 2x 2的导数．因为y ＝1－2sin 2x
2＝cos x ，所以y ′＝(cos x )′＝－sin x . 3．对于正、余弦函数的导数，一是注意函数的变化，二是注意符号的变化.
一、基础过关
1．下列结论中正确的个数为( )
①y ＝ln 2，则y ′＝12； ②y ＝1x 2，则y ′|x ＝3＝－2
27；
③y ＝2x ，则y ′＝2x ln 2； ④y ＝log 2x ，则y ′＝1
x ln 2. A ．0 B ．1 C ．2 D ．3
2．过曲线y ＝1
x 上一点P 的切线的斜率为－4，则点P 的坐标为( )
A ．)2,21(
B ．)2,21(或)2,2
1
(--
C ．)2,21(--
D ．)2,21(-
3．已知f (x )＝x a ，若f ′(－1)＝－4，则a 的值等于( ) A ．4 B ．－4 C ．5 D ．－5
4．曲线y ＝1x
在x ＝a 处的切线的倾斜角为3π
4，则a ＝____.
5．若曲线y ＝12
x -
在点(a ，12
a -
)处的切线与两个坐标轴围成的三角形的面积为18，则a 等于( )
A ．64
B ．32
C ．16
D ．8
6．曲线y ＝9
x 在点M (3，3)处的切线方程是________． 7．求下列函数的导数：
(1)y ＝53x ； (2)y ＝1x 4； (3)y ＝－2sin x 2(1－2cos 2x
4)； (4)y ＝log 2x 2－log 2x .
二、能力提升
8．已知直线y ＝kx 是曲线y ＝e x 的切线，则实数k 的值为( ) A.1e B ．－1
e C ．－e D ．e
9．设函数f (x )在(0，＋∞)内可导，且f (e x )＝x ＋e x ，则f ′(1)＝________. 10．求下列函数的导数：
(1)y ＝x x ； (2)y ＝x 7； (3)y ＝－1
x 5； (4)y ＝ln 3； (5)y ＝x x 3(x >0)．
11．已知f (x )＝cos x ，g (x )＝x ，求适合f ′(x )＋g ′(x )≤0的x 的值．
12．已知抛物线y＝x2，直线x－y－2＝0，求抛物线上的点到直线的最短距离．
三、探究与拓展
13．设f0(x)＝sin x，f1(x)＝f0′(x)，f2(x)＝f1′(x)，…，f n＋1(x)＝f n′(x)，n N，试求f2 016(x)．
基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(二)
明目标、知重点
1．理解函数的和、差、积、商的求导法则．
2．理解求导法则的证明过程，能够综合运用导数公式和导数运算法则求函数的导数．
导数的运算法则：设两个函数分别为f (x )和g (x ) (1)[f (x )±g (x )]′＝f ′(x )±g ′(x ) (2)[f (x )·g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )
(3)[f (x )
g (x )]′＝f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )[g (x )]2(g (x )≠0)．
[情境导学]
前面我们已经学习了几个常用函数的导数和基本初等函数的导数公式，这样做起题来比用导数的定义显得格外轻松．对于由四则运算符号连接的两个或两个以上基本初等函数的导数如何求？正是本节要研究的问题．
探究点一 导数的运算法则
思考1 我们已经会求f (x )＝5和g (x )＝1.05x 等基本初等函数的导数，那么怎样求f (x )与g (x )的和、差、积、商的导数呢？ 答 利用导数的运算法则．
思考2 应用导数的运算法则求导数有哪些注意点？ 答 (1)要准确判断函数式的结构特点，选择合适的公式和法则；(2)求导前可以先对解析式适当化简变形，以利于求导；(3)在两个函数积与商的导数运算中，不要出现[f (x )·g (x )]′＝f ′(x )·g ′(x )
以及'
])
()([x g x f ＝)()(''x g x f 的错误；(4)注意区分两个函数积与商的求导公式中符号的异同，积的导
数公式中是“＋”，而商的导数公式中分子上是“－”； (5)要注意区分参数与变量，例如[a ·g (x )]′＝a ·g ′(x )，运用公式时要注意a ′＝0.
例1 求下列函数的导数： (1)y ＝x 3－2x ＋3； (2)y ＝(x 2＋1)(x －1)； (3)y ＝3x －lg x .
本题是基本函数和(差)的求导问题，求导过程要紧扣求导法则，联系基本函数求导法则，对于不具备求导法则结构形式的可先进行适当的恒等变形转化为较易求导的结构形式再求导数．
跟踪训练1
求下列函数的导数：
(1)y＝x5＋x7＋x9
x
；(2)f(x)＝2－2sin2
x
2.
例2求下列函数的导数：
(1)f(x)＝x·tan x；(2)f(x)＝x－1
x＋1
. 跟踪训练2
求f(x)＝
sin x
1＋sin x
的导数．
探究点二导数的应用
例2(1)曲线y＝x e x＋2x＋1在点(0，1)处的切线方程为________________．
(2)在平面直角坐标系xOy中，点P在曲线C：y＝x3－10x＋3上，且在第二象限内，已知曲线C在点P处的切线斜率为2，则点P的坐标为________．
(3)已知某运动着的物体的运动方程为s(t)＝t－1
t2＋2t
2(位移单位：m，时间单位：s)，求t＝3 s
时物体的瞬时速度．
本题应用导数的运算法则进一步强化导数的物理意义及几何意义：函数y＝f(x)在点x0处的导数就是曲线y＝f(x)在点P(x0，y0)处的切线的斜率，即k＝y′|x＝x0＝f′(x0)；瞬时速度是位移函数s(t)对时间t的导数，即v＝s′|t＝t0.
跟踪训练2
(1)曲线y＝
sin x
sin x＋cos x
－
1
2在点M)0,4(
π
处的切线的斜率为()
A．－1
2B．
1
2C．－
2
2D．
2
2
(2)设函数f(x)＝1
3x
3－
a
2x
2＋bx＋c，其中a>0，曲线y＝f(x)在点P(0，f(0))处的切线方程为y＝1，
确定b、c的值．
1．设y＝－2e x sin x，则y′等于()
A．－2e x cos x B．－2e x sin x
C．2e x sin x D．－2e x(sin x＋cos x)
2．函数y＝cos x
1－x
的导数是()．
A．－sin x＋x sin x
(1－x)2
B．
x sin x－sin x－cos x
(1－x)2
C．cos x－sin x＋x sin x
(1－x)2
D．
cos x－sin x＋x sin x
1－x
3．已知f(x)＝ax3＋3x2＋2，若f′(－1)＝4，则a的值是()
A．19
3B．
16
3C．
13
3D．
10
3
4．已知f(x)＝1
3x
3＋3xf′(0)，则f′(1)＝________.
5．已知抛物线y＝ax2＋bx＋c过点(1，1)，且在点(2，－1)处与直线y＝x－3相切，求a、b、c的值．
[呈重点、现规律]
求函数的导数要准确把函数分割为基本函数的和、差、积、商，再利用运算法则求导数．在求导过程中，要仔细分析出函数解析式的结构特征，根据导数运算法则，联系基本函数的导数公式．对于不具备导数运算法则结构形式的要进行适当恒等变形，转化为较易求导的结构形式，再求导数，进而解决一些切线斜率、瞬时速度等问题.
一、基础过关
1．下列结论不正确的是( )
A ．若y ＝3，则y ′＝0
B ．若f (x )＝3x ＋1，则f ′(1)＝3
C ．若y ＝－x ＋x ，则y ′＝－12x
＋1 D ．若y ＝sin x ＋cos x ，则y ′＝cos x ＋sin x
2．已知直线y ＝x ＋b 是曲线y ＝f (x )＝ln x 的切线，则b 的值等于( )
A ．－1
B ．0
C ．1
D ．e
3．设曲线y ＝x ＋1x －1
在点(3，2)处的切线与直线ax ＋y ＋1＝0垂直，则a 等于( ) A ．2 B ．12 C ．－12 D ．－2
4．已知曲线y ＝x 3在点P 处的切线斜率为k ，则当k ＝3时的P 点坐标为( )
A ．(－2，－8)
B ．(－1，－1)或(1，1)
C ．(2，8)
D ．(－12，－18)
5．设函数f (x )＝g (x )＋x 2，曲线y ＝g (x )在点(1，g (1))处的切线方程为y ＝2x ＋1，则曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处切线的斜率为( )
A ．4
B ．－14
C ．2
D ．－12
6．若f (x )＝(2x ＋a )2，且f ′(2)＝20，则a ＝________.
7．若某物体做s ＝(1－t )2的直线运动，则其在t ＝1.2 s 时的瞬时速度为________．
二、能力提升
8．当函数y ＝x 2＋a 2
x (a >0)在x ＝x 0处的导数为0时，那么x 0＝( )
A ．a
B ．±a
C ．－a
D ．a 2
9．若函数f (x )＝13x 3－f ′(－1)·x 2＋x ＋5，则f ′(1)＝____.
10．求曲线y ＝cos x 在点A )2
3,6( 处的切线方程为____．
11．求过点(2，0)且与曲线y ＝x 3相切的直线方程．
12．已知曲线f(x)＝x3－3x，过点A(0，16)作曲线f(x)的切线，求曲线的切线方程．三、探究与拓展
13．设函数f(x)＝ax－b
x，曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为7x－4y－12＝0.
(1)求f(x)的解析式；
(2)证明：曲线y＝f(x)上任一点处的切线与直线x＝0和直线y＝x所围成的三角形的面积为定值，并求此定值．
基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(三)
明目标、知重点
1．了解复合函数的概念，掌握复合函数的求导法则．
2．能够利用复合函数的求导法则，并结合已经学过的公式、法则进行一些复合函数的求导(仅限于形如f(ax＋b)的导数)．
1．概念
一般地，对于两个函数y＝f(u)和u＝g(x)，如果通过变量u，y可以表示成x的函数，那么称这个函数为y＝f(u)和u＝g(x)的复合函数，记作y＝f(g(x))．
2．复合函数的求导法则
复合函数y＝f(g(x))的导数和函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为y x′＝y u′·u x′.即y对x的导数是y对u的导数与u对x的导数的乘积．
探究点一复合函数的定义
思考1观察函数y＝2x cos x及y＝ln(x＋2)的结构特点，说明它们分别是由哪些基本函数组成的？
答y＝2x cos x是由u＝2x及v＝cos x相乘得到的；而y＝ln(x＋2)是由u＝x＋2与y＝ln u(x>－2)经过“复合”得到的，即y可以通过中间变量u表示为自变量x的函数．所以它们称为复合函数．
思考2对一个复合函数，怎样判断函数的复合关系？
答复合函数是因变量通过中间变量表示为自变量的函数的过程．在分析时可以从外向里出发，先根据最外层的主体函数结构找出y＝f(u)；再根据内层的主体函数结构找出函数u＝g(x)，函数y＝f(u)和u＝g(x)复合而成函数y＝f(g(x))．
思考3在复合函数中，内层函数的值域A与外层函数的定义域B有何关系？
答A⊆B.
小结
要特别注意两个函数的积与复合函数的区别，对于复合函数，要掌握引入中间变量，将其分拆成几个基本初等函数的方法．
例1指出下列函数是怎样复合而成的：
(1)y＝(3＋5x)2；(2)y＝log3(x2－2x＋5)；(3)y＝cos 3x.
小结
分析函数的复合过程主要是设出中间变量u，分别找出y和u的函数关系，u和x的函数关系．
跟踪训练1
指出下列函数由哪些函数复合而成：
(1)y＝ln x；(2)y＝e sin x；(3)y＝cos (3x＋1)．
探究点二复合函数的导数
思考如何求复合函数的导数？
答对于简单复合函数的求导，其一般步骤为“分解——求导——回代”，即：(1)弄清复合关系，将复合函数分解成基本初等函数形式；(2)利用求导法则分层求导；(3)最终结果要将中间变量换成自变量．注意不要漏掉第(3)步回代的过程．
例2求下列函数的导数：
(1)y＝(2x－1)4；(2)y＝
1
1－2x
；(3)y＝sin(－2x＋
π
3)；(4)y＝10
2x＋3.
反思与感悟
分析复合函数的结构，找准中间变量是求导的关键，要善于把一部分量、式子暂时看作一个整体，并且它们必须是一些常见的基本函数．
复合函数的求导熟练后，中间步骤可以省略，不必再写出函数的复合过程，直接运用公式，从外层开始由外及内逐层求导．
跟踪训练2
求下列函数的导数．
(1)y＝(2x＋3)3；
(2)y＝e－0.05x＋1；
(3)y＝sin(πx＋φ)．
探究点三导数的应用
例3求曲线y＝e2x＋1在点(－1
2，1)处的切线方程．
反思与感悟
求曲线切线的关键是正确求复合函数的导数，要注意“在某点处的切线”与“过某点的切线”两种不同的说法．
跟踪训练3
曲线y ＝e sin x 在(0，1)处的切线与直线l 平行，且与l 的距离为2，求直线l 的方程．
1．函数y ＝(3x －2)2的导数为( )
A ．2(3x －2)
B ．6x
C ．6x (3x －2)
D ．6(3x －2)
2．若函数y ＝sin 2x ，则y ′等于( )
A ．sin 2x
B ．2sin x
C ．sin x cos x
D ．cos 2x
3．若y ＝f (x 2)，则y ′等于( )
A ．2xf ′(x 2)
B ．2xf ′(x )
C ．4x 2f (x )
D ．f ′(x 2)
4．设曲线y ＝e ax 在点(0,1)处的切线与直线x ＋2y ＋1＝0垂直，则a ＝________.
[呈重点、现规律]
求简单复合函数f (ax ＋b )的导数
求简单复合函数的导数，实质是运用整体思想，先把简单复合函数转化为常见函数y ＝f (u )，u ＝ax ＋b 的形式，然后再分别对y ＝f (u )与u ＝ax ＋b 分别求导，并把所得结果相乘．灵活应用整体思想把函数化为y ＝f (u )，u ＝ax ＋b 的形式是关键.
一、基础过关
1．下列函数不是复合函数的是( )
A ．y ＝－x 3－1x ＋1
B ．y ＝cos(x ＋π4)
C．y＝
1
ln x D．y＝(2x＋3)
4
2．函数y＝
1
(3x－1)2
的导数是()
A．
6
(3x－1)3
B．
6
(3x－1)2
C．－
6
(3x－1)3
D．－
6
(3x－1)2
3．若f(x)＝log3(x－1)，则f′(2)＝________. 4．函数y＝x2cos 2x的导数为()
A．y′＝2x cos 2x－x2sin 2x
B．y′＝2x cos 2x－2x2sin 2x
C．y′＝x2cos 2x－2x sin 2x
D．y′＝2x cos 2x＋2x2sin 2x
5．函数y＝(2 015－8x)3的导数y′＝________.
6．曲线y＝cos(2x＋π
6)在x＝
π
6处切线的斜率为______．
7．函数y＝x(1－ax)2(a>0)，且y′|x＝2＝5，则实数a的值为________．
二、能力提升
8．已知直线y＝x＋1与曲线y＝ln(x＋a)相切，则a的值为()
A．1 B．2
C．－1 D．－2
9．曲线y＝12e x在点(4，e2)处的切线与坐标轴所围三角形的面积为()
A．9
2e
2B．4e2
C．2e2D．e2
10．若f(x)＝(2x＋a)2，且f′(2)＝20，则a＝________.
11．已知a>0，f(x)＝ax2－2x＋1＋ln(x＋1)，l是曲线y＝f(x)在点P(0，f(0))处的切线．求切线l的方程．
12．有一把梯子贴靠在笔直的墙上，已知梯子上端下滑的距离s(单位：m)关于时间t(单位：
s)的函数为s＝s(t)＝5－25－9t2.求函数在t＝7
15s时的导数，并解释它的实际意义．
三、探究与拓展
13．曲线y＝e2x·cos 3x在(0，1)处的切线与直线l的距离为5，求直线l的方程．。