沪教版(上海)高中数学高二上册数学归纳法课件 _2
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数学建模：证明与正整数n有关的命题 （与多米诺骨牌类比）
数学归纳法
多米诺骨牌
第一步 证明n=no时命题成立 第1张牌倒下
假设n=k时命题成立， 第k张牌倒下
第二步 证明n=k+1时命题也 时，第k+1张
成立
牌也随后倒下
结论
沪教版（上海）高中数学高二上册第 七章7.4 数学归 纳法课 件 _2
命题对于从n0开始的 骨牌全部倒下 所有正整数n都成立
▪ 只要满足以下两个条件，所有多米诺 骨牌就能全部倒下：
▪ （1）第一块骨牌倒下;
▪ （2）任意相邻的两块骨牌，前一块倒 下一定导致后一块倒下.
事实上，条件（2）给出了一个递 推关系：当第k块倒下时，相邻的第k+1 块也倒下.
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7.4 数学归纳法
1
回顾：我们是怎样求出首项为a1，公差 为d的等差数列{an}的通项公式?
a1 a1 0d a2 a1 d a1 1d a3 a2 d a1 2d
a4 a3 d a1 3d
归纳：由此得到，等差数列{an}的通项 公式是
an a1 (n 1)d (n N ) .
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沪教版（上海）高中数学高二上册第 七章7.4 数学归 纳法课 件 _2
小结： （1）数学归纳法是一种严密的数学证明方法 (基础正确；可传递) ，它适用于证明与正整数 有关的数学命题; （2）两个步骤，缺一不可，否则结论不能成 立； （3）在证明n=k+1时命题成立，必须利用归 纳假设的结论（即假设n=k时命题成立），必 须进行恒等变形.
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练习1.已知f (n) 1 1 1 1
23
3n 1
(n N * )，则当n 1时，f Байду номын сангаас1) _______
练习2.已知 f (n) 1 1 1
n1 n2
3n 1
(n N * ),则 f (k 1) f (k) _________
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例2、用数学归纳法证明:
1 2 22 2n1 2n 1 (n N* ) .
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4
完全归纳法 不完全归纳法
归纳法的分类：
某些与正整数有关的数学命题
数学归纳法
考察部分特例 得出一般结论
对考察对象一一 考察后得出结论
5
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请思考：要满足怎样的条件才能使 骨牌全部倒下呢？
2
归纳法：
由特殊到一般的推理方法, 叫做归纳法。 （1）不完全归纳法
根据事物的部分(不是全部)特例得出
一般结论的推理方法。(得出的结论不一
定正确) （2）完全归纳法(枚举法)
研究了事物的全部(有限种)特殊情况
后,得出一般结论的推理方法。(得出的结
论正确).
3
已知数列{an}通项公式为an=(n2-5n+5)2 验证可知：a1=1， a2=1， a3=1， a4=1， 由此推知对任何n∈N*都有an=1，对吗? 答：不对，因为a5 =25 .
第一步中n可取的第一个值不一定是1； 第二步是证明一个命题，必须要利用假设
的结论来证明n=k+1时结论正确. 10
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例1.
用数学归纳法证明：
1 3 5 (2n 1) n2 (n N * ) .
（4）数学归纳法的基本思想： 在可靠的基础上利用命题本身具有传递性,运
用“有限”的手段来解决“无限”的问题.
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下面用数学归纳法来证明命题: 如果数列{an}是一个等差数列，那么
an a1 (n 1)d .
对一切 n∈N* 都成立.
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总结：数学归纳法证题步骤：
递推基础
(1)证明当n取第一个值n0（如n0=1或2等等）
时结论正确；
“找准起点，奠基要稳”
(n2=)k假+设1 时n=结k“论(用k∈也上N正假*且确设k．，≥ 递n0)推时才结真论”正递据确推，依证明 由(1)和(2)可知命题对于从n0开始的所有正整 数n都成立. 注意：
数学归纳法
多米诺骨牌
第一步 证明n=no时命题成立 第1张牌倒下
假设n=k时命题成立， 第k张牌倒下
第二步 证明n=k+1时命题也 时，第k+1张
成立
牌也随后倒下
结论
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命题对于从n0开始的 骨牌全部倒下 所有正整数n都成立
▪ 只要满足以下两个条件，所有多米诺 骨牌就能全部倒下：
▪ （1）第一块骨牌倒下;
▪ （2）任意相邻的两块骨牌，前一块倒 下一定导致后一块倒下.
事实上，条件（2）给出了一个递 推关系：当第k块倒下时，相邻的第k+1 块也倒下.
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7.4 数学归纳法
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回顾：我们是怎样求出首项为a1，公差 为d的等差数列{an}的通项公式?
a1 a1 0d a2 a1 d a1 1d a3 a2 d a1 2d
a4 a3 d a1 3d
归纳：由此得到，等差数列{an}的通项 公式是
an a1 (n 1)d (n N ) .
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小结： （1）数学归纳法是一种严密的数学证明方法 (基础正确；可传递) ，它适用于证明与正整数 有关的数学命题; （2）两个步骤，缺一不可，否则结论不能成 立； （3）在证明n=k+1时命题成立，必须利用归 纳假设的结论（即假设n=k时命题成立），必 须进行恒等变形.
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练习1.已知f (n) 1 1 1 1
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3n 1
(n N * )，则当n 1时，f Байду номын сангаас1) _______
练习2.已知 f (n) 1 1 1
n1 n2
3n 1
(n N * ),则 f (k 1) f (k) _________
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例2、用数学归纳法证明:
1 2 22 2n1 2n 1 (n N* ) .
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完全归纳法 不完全归纳法
归纳法的分类：
某些与正整数有关的数学命题
数学归纳法
考察部分特例 得出一般结论
对考察对象一一 考察后得出结论
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请思考：要满足怎样的条件才能使 骨牌全部倒下呢？
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归纳法：
由特殊到一般的推理方法, 叫做归纳法。 （1）不完全归纳法
根据事物的部分(不是全部)特例得出
一般结论的推理方法。(得出的结论不一
定正确) （2）完全归纳法(枚举法)
研究了事物的全部(有限种)特殊情况
后,得出一般结论的推理方法。(得出的结
论正确).
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已知数列{an}通项公式为an=(n2-5n+5)2 验证可知：a1=1， a2=1， a3=1， a4=1， 由此推知对任何n∈N*都有an=1，对吗? 答：不对，因为a5 =25 .
第一步中n可取的第一个值不一定是1； 第二步是证明一个命题，必须要利用假设
的结论来证明n=k+1时结论正确. 10
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例1.
用数学归纳法证明：
1 3 5 (2n 1) n2 (n N * ) .
（4）数学归纳法的基本思想： 在可靠的基础上利用命题本身具有传递性,运
用“有限”的手段来解决“无限”的问题.
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下面用数学归纳法来证明命题: 如果数列{an}是一个等差数列，那么
an a1 (n 1)d .
对一切 n∈N* 都成立.
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沪教版（上海）高中数学高二上册第 七章7.4 数学归 纳法课 件 _2
总结：数学归纳法证题步骤：
递推基础
(1)证明当n取第一个值n0（如n0=1或2等等）
时结论正确；
“找准起点，奠基要稳”
(n2=)k假+设1 时n=结k“论(用k∈也上N正假*且确设k．，≥ 递n0)推时才结真论”正递据确推，依证明 由(1)和(2)可知命题对于从n0开始的所有正整 数n都成立. 注意：