微积分习题课参考答案(三重积分概念、性质、计算,重积分应用)_883402960

3
2 2
Ω
2 2
2 2
2
2
I = ∫∫∫ f ( x, y, z )dV =
Ω
x2 + y 2 1
∫∫
≤
dx ∫ 2
2 − x2 + y 2
x + y2
f ( x, y, z )dz
= ∫ dx ∫
−1
1
1− x 2
− 1− x
dy ∫ 2 2
2 − x2 + y 2
x + y2
f ( x, y, z )dz
Ω1 Ω2
， w( x, − y, z) = w( x, y, z) ，
2 2
．（化三重积分为累次积分） 设函数 f ( x, y, z) 连续， Ω 由曲面 z = x + y 和曲面 z = 2 − x + y 围成，将三重积分 I = ∫∫∫ f ( x, y, z )dV 分别在直角坐标系、柱坐标系和球坐 标系下化为累次积分． x + y ≤ z ≤ 2 − x + y , 解：在直角坐标系中，积分域 Ω 可以表示为 Ω : 所以 x + y ≤1,
4
2π
2z
0
( r 2 + z ) ⋅ rd r 256π 3
= 4π ∫ z 2 dz =
．
9
． （交换积分次序） 设 D = {( x, y) 1≤ x
u
0 2
+ y2
sin( z x + y ) 1 ≤ 4} ，求极限 I = lim 2π ∫ dz ∫∫ x + y dxdy ．
u
2 2
u →+∞
Ω Ω
8
y = 2 z, ． （三重积分计算）设有界闭域 Ω 由曲线 绕 z 轴旋转而成的曲面与平面 z = 4 围成， x=0
2

计算三重积分
I = ∫∫∫ ( x 2 + y 2 + z )dV
Ω
．
微积分 B（2）第 5 次习题课
y = 2 z, 解：曲线 绕 z 轴旋转而成的曲面方程为 x x=0
2
I = ∫∫∫ f ( x, y, z )dV = ∫∫∫ f ( x, y, z )dV + ∫∫∫ f ( x, y, z )dV
Ω2
= ∫ dθ ∫ dϕ ∫
0 2π 0 π cos ϕ
2π
π 4 0
2 cos ϕ + sin ϕ 0
f (r sin ϕ cos θ , r sin ϕ sin θ , r cos ϕ ) ⋅ r 2 sin ϕ dr
． 所以 ．
2
在柱坐标系中，积分域 Ω 可以表示为
2π Ω 0
r 2 z 2 − r , Ω : 0 θ 2π, 0 r 1,
1 2− r 0 r
≤≤ ≤≤ ≤≤
I = ∫∫∫ f ( x, y, z )dV = ∫ dθ ∫ dr ∫ 2 f (r cos θ , r sin θ , z ) ⋅ rdz
+ ∫ dθ ∫π2 dϕ ∫ sin 2 ϕ f (r sin ϕ cos θ , r sin ϕ sin θ , r cos ϕ ) ⋅ r 2 sin ϕ dr
4 0
．
1− x 2 2 − x2 − y 2
4
． （交换积分次序）设函数 f ( x) 连续，将累次积分 I = ∫ dx∫ dy ∫ f ( z )dz 化为定积 分． 解：设 Ω ⊂ R 是由半球面 z = 2 − x − y 与平面 z = 1 围成的有界闭域，根据三重积分与累 次积分的关系，可知
2
综上可知，选项 A，B，D 都不正确． 同样因为区域 Ω 关于坐标面 xOz 和坐标面 yOz 都对称，且函数 w( x, y, z) = z 满足
1
Ω2
Ω2
Ω
微积分 B（2）第 5 次习题课
w(− x, y, z ) = w( x, y, z )
2/8
所以 ∫∫∫ zdV = 4∫∫∫ zdV ．
0 1
u
0
sin( zr ) ⋅ rd z r
= 2π[ ln 2 − ∫
2 1
令 ur = t ，得
∫
2 1
cos(ur ) dr ] r
． ． ．
2 u cos t cos(ur ) dr = ∫ dt u r t
因为 lim ∫
10
2u
u →+∞ u
cos t dt = 0 t
，所以
2 cos(ur ) 1 ⋅ 2π[ ln 2 − ∫ dr ] = ln 2 1 u →+∞ 2π r
0
2
2
D
y ) 解：将累次积分 ∫ dz ∫∫ sin( zx x+ + dxdy 交换积分次序，得 y
2 2 2 2
D
∫
u
0
dz ∫∫
D
sin( z x 2 + y 2 ) x2 + y2
2π
dxdy = ∫∫ dxdy ∫
D
2
u
sin( z x 2 + y 2 ) x2 + y2
0
dz
= ∫ dθ ∫ dr ∫
= ∫ π(2 − z 2 ) f ( z )dz
1 2
Ω
I = ∫∫∫ ( x + 2 y + 3z )dV
Ω
= ∫ xdx ∫ dy ∫ dz + 2∫ dx ∫ ydy ∫ dz + 3∫ dx ∫ dy ∫ zdz
0 0 0 0 0 0 0 0 0
a
b
c
a
b
c
a
b
c
= 6
abc 1 2 3 a bc + ab 2 c + abc 2 = (a + 2b + 3c) 2 2 2
Ω
微积分 B（2）第 5 次习题课 法： （1）柱坐标系：
I = ∫∫∫ zdV = ∫ dθ ∫
Ω
4/8
2π
2 2
0
0
dr ∫
1− r 2
r
z ⋅ rdz = π ∫
2 2
0
(1 − 2r 2 )rdr =
π 8
．
（2）直角坐标系： 先定积分、后重积分，得
I =∫
2 2 2 − 2
dx ∫
1 2 −x 2 1 2 − −x 2
微积分 B（2）第 5 次习题课
微积分 B(2)第 5 次习题课 参考答案
1/8
． （重积分性质）确定 Ω 的形状，使得三重积分 I = ∫∫∫ (1 − x − 2 y − 3z )dV 取得最大值． 解：根据重积分的比较定理，当 1 − x − 2 y − 3 z ≥ 0 ， ( x, y , z ) ∈ Ω ， 和 1 − x − 2 y − 3 z < 0 ， ( x, y , z ) ∉ Ω ， 成立时， I = ∫∫∫ (1 − x − 2 y − 3z )dV 取得最大值． 所以当 Ω = {( x, y, z) x + 2 y + 3z ≤1} 时， I = ∫∫∫ (1 − x − 2 y − 3z )dV 取得最大值．
2 2 2 2 1 2 2 2 2 2
Ω1 Ω2 Ω1 Ω2
(C)
∫∫∫ zdV = 4∫∫∫ zdV
Ω1 Ω2
(D)
∫∫∫ xyzdV = 4∫∫∫ xyzdV
Ω1 Ω2
答案：C． 解：因为区域 Ω 关于坐标面 xOz 对称，且函数 f ( x, y, z) = y 和 g ( x, y, z) = xyz 均满足 f ( x, − y , z ) = − f ( x, y , z ) ， g ( x , − y , z ) = − g ( x, y , z ) ， 所以 ∫∫∫ ydV = 0 ， ∫∫∫ xyzdV = 0 ．
1
2 2 2 Ω
2
2
2
2
2
2
2
2
2
Ω
2
2
2
2
2
2
Ω
2
． （重积分性质）设区域 Ω = {( x, y, z) x + y + z ≤ a , z ≥ 0} ， Ω = {( x, y, z ) x + y + z ≤ a , x ≥ 0, y ≥ 0, z ≥ 0} ，则（ ） ． （A） ∫∫∫ xdV = 4∫∫∫ xdV (B) ∫∫∫ ydV = 4 ∫∫∫ ydV
1
−1
− 1− x
2
1
3
2
2
微积分 B（2）第 5 次习题课
I = ∫ dx ∫
−1
1 1− x 2
3/8
− 1− x
dy ∫ 2
2 − x2 − y 2 1
f ( z )dz = ∫∫∫ f ( z )dV
Ω
．
又因为 得
x2 + y 2 Ω: 1 z
≤ 2 − z , 所以将 f ( z)dV 化为先重积分、后定积分的累次积分， ∫∫∫ ≤ ≤ 2,
2
Ω
∫∫∫ f ( z )dV = ∫
Ω
2
1
dz
x2 + y2
∫∫
≤2− z
f ( z )dxdy
2
． 5． （ 三 重 积 分 计 算 ） 设 Ω = {( x, y, z) 0 ≤ x ≤ a, 0 ≤ y ≤b, 0 ≤ z ≤c} ， 计 算 三 重 积 分 I = ∫∫∫ ( x + 2 y + 3z )dV ． 解：直接化为累次积分，得
I = lim
． （重积分的几何意义）求下列空间域 Ω 的体积 V ． （1）设有界闭域 Ω 由曲面 z = 8 − x − y 与平面 z = 2 x 围成．
2 2
2
5/8
2

+ y 2 = 2z
．
x + y ≤ 2 z, 因为 Ω 可以表示为 所以 0 ≤ z ≤ 4,
2 2

I = ∫∫∫ ( x 2 + y 2 + z )dV = ∫ dz
Ω 0
4
x +y
2
∫∫
2
≤2 z
( x 2 + y 2 + z )dxdy
= ∫ dz ∫ dθ ∫
0 0 4 0
1
Ω1
Ω1
又因为区域 Ω 关于坐标面 yOz 也对称，且函数 h( x, y, z) = x 满足 h ( − x , y , z ) = − h ( x, y , z ) ， 所以 ∫∫∫ xdV = 0 ．
1
Ω1
函数 f ( x, y, z) = y ， g ( x, y, z) = xyz ， h( x, y, z) = x 在 Ω 上非负连续，且不恒为零，所以 ∫∫∫ ydV > 0 ， ∫∫∫ xyzdV > 0 ， ∫∫∫ xdV > 0 ．
2 2 2
1
π 8
．
Ω
． （三重积分计算）设 Ω = {( x, y, z) x + y + z ≤ 2z} ，计算三重积分 I = ∫∫∫ (ax + by + cz)dV ． 解法 1： 因为 Ω 关于 yOz 和 xOz 坐标面均对称，所以 ∫∫∫ xdV = 0 ， ∫∫∫ ydV = 0 ，从而 I = ∫∫∫ (ax + by + cz )dV = ∫∫∫ czdV ． 因为在球坐标系中，积分域 Ω 可以表示为 0 ≤θ ≤2 π, π Ω : 0 ≤ϕ ≤ , 2 0 ≤ r ≤ 2cos ϕ, 所以
2 2
．
2 2
． （三重积分计算）设有界闭域 Ω 由半球面 z = 1 − x − y 与锥面 z = x + y 围成，计算 三重积分 I = ∫∫∫ ( x + y + z)dV ． 解：因为 Ω 关于 yOz 和 xOz 坐标面均对称，所以 ∫∫∫ xdV = 0 ， ∫∫∫ ydV = 0 ，从而 I = ∫∫∫ ( x + y + z )dV = ∫∫∫ zdV ． 因为在球坐标系中，积分域 Ω 可以表示为 0 ≤θ ≤2 π, π Ω : 0 ≤ϕ ≤ , 4 0 ≤ r ≤ 1, 所以
dy ∫
1− x 2 − y 2 x2 + y 2
zd z =
− x2 1 22 π dx ∫ 21 2 [1 − 2( x 2 + y 2 )]dy = ∫ 2 − −x 2 −2 8 2
1
．
先重积分、后定积分，得
I = ∫ dz ∫∫ zdxdy = ∫
0 Dz 1 2 2 0
z ⋅ πz 2 dz + ∫ 2 z ⋅ π(1 − z 2 )dz =
0 Ω1 : 0 0
在球坐标系中，积分域 Ω 可以表示为 的并集，所以
Ω Ω1
π π ≤ϕ ≤ π , ≤ϕ ≤ , 4 4 2 和Ω : ≤θ ≤ 2π, 0 ≤θ ≤ 2π, cos ϕ 0 ≤ r ≤ ≤ r ≤ cosϕ 2 + sin ϕ sin ϕ
7
2
Ω Ω Ω Ω
I = ∫∫∫ czdV = c ∫ 2 dϕ ∫ dθ ∫
Ω
π
2π
2cos ϕ
0
0
0
r cos ϕ ⋅ r 2 sin ϕ dr = 8cπ ∫ 2 cos5 ϕ sin ϕ dϕ =
0
π
4cπ 3
．
解法 2： 因为球体 Ω 的重心坐标为 ( x , y , z ) = (0,0,1) ，体积为 V = 4π ，所以 3 4π ∫∫∫ zdV = z ⋅ V = 3 ， cπ 从而 I = ∫∫∫ czdV = 43 ．
Ω Ω Ω Ω Ω
I = ∫∫∫ zdV = ∫ 4 dϕ ∫ dθ ∫ r cos ϕ ⋅ r 2 sin ϕ dr =
Ω
π
2π
1
0
0
0
π π 4 π cos ϕ sin ϕ dϕ = ∫ 0 2 8
．
Remark
：三重积分 ∫∫∫ zdV 的值也可以利用柱坐标或直接坐标计算，下列是几种其他常用方