菱形的判定课件
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判定定理4：每条对角线平分一组对角的四边形是菱形 ∵AC平分∠BAD和 ∠ BCD,BD平分∠ABC和∠ADC ∴四边形ABCD是菱形
A
问：如何证明判定定理2和判定定理3呢？
判定定理2对角线互相垂直的平行四边形是菱形 已知 ABCD中，对角线AC、BD互相 垂直， 求证：四边形ABCD是菱形．
证明：在 ABCD 中，OA＝OC （ ① ）． 又∵AC⊥BD， ∴ BD所在直线是线段AC的垂直平分线， ∴ AB＝BC， ∴ 四边形ABCD是菱形 （ ② ）．
解：是菱形，因 为这个四边形的 对角线相互垂直 平分行。
1、下列说法正确的是（ D ）
A、邻角相等的四边形是菱形 B、有一组邻边相等的四边形是菱形 C、对角线互相垂直的四边形是菱形 D、对角线互相垂直且平分的四边形是菱形
2、如图，在四边形ABCD是平行四边形，对角线 AC、BD相交于点O，且AO=3，BO=4，AB=5。 求证：四边形ABCD是菱形。 A 证明：∵ AO=3，BO=4，AB=5 ∴AB2=AO2+BO2 ∴△OAB是直角三角形 ∴AC⊥BD 又∵四边形ABCD是平行四边形 ∴四边形ABCD是菱形(对角线互相垂直的平行 四边形是菱形) B O C D
）
判定定理3：四条边都相等的四边形是菱形
A
B C
D
已知：AB=BC=CD=DA 求证：四边形ABCD是菱形 ∵AB=CD,BC=AD ∴四边形ABCD是平行四 边形 ∵AB=CD ∴四边形ABCD是菱形 （有一组邻边相等的平行 四边形是菱形）
拓展 由菱形的性质：“每条对角线平分一组Biblioteka Baidu角”，我们 还可以得到判定菱形的方法：
DF∥AB交AC于点F
∴四边形AEDF是平行四边形且 ∠EDA=∠DAF
∵ AD是△ABC的一条角平分线
∴∠EAD=∠DAF
（第 1 题）
∴∠EDA=∠EAD
∴EA=ED（等角对等边）
∴四边形AEDF是菱形.(有一组邻边 相等的平行四边形是菱形）
2． 如图，△ABC中，AB＝ AC，点D是BC的中点， DE⊥AC于E，DG⊥AB于 G，EK⊥AB于K， GH⊥AC于H，EK和GH相 交于点F．求证： 四边形 DEFG是菱形．
A B D
（ （ （ （ （ ） ） ） ） ）
3.判断对错： C （1）对角线互相垂直的四边形是菱形。 （2）对角线垂直且平分的四边形是菱形。 （3）对角线垂直的矩形是菱形。 （4）对角线垂直且相等的四边形是菱形。 （5）有一条对角线平分一组对角的四边形 是菱形。
P116习题20.3 1． 如图，AD是△ABC的一条角平分线， DE∥AC交AB于点E，DF∥AB交AC于点F.求证四边形 AEDF是菱形 . AC交AB于点E， 证明：∵ DE∥
20.3菱形的判定
复习：菱形的特殊性
边： 四边相等 角： 对角线平分一组对角 对角线： 对角线互相垂直平分
菱形的性质有： 1.两条对角线互相平分 2.四条边都相等 3.每条对角线平分一组对角
判定定理1：有一组邻边相等 的平行四边形是菱形 D B O ∵ ABCD AB=BC ∴四边形ABCD是菱形 C 判定定理2：对角线互相垂直的平行四边形是菱形 ∵ ABCD AC⊥BD ∴四边形ABCD是菱形 判定定理3：四条边都相等的四边形是菱形 ∵AB=BC=CD=AD ∴四边形ABCD是菱形
∴四边形DEFG是菱形(有一组邻边相等的平行四边形是菱形）
3． 如图，菱形ABCD的周长为2p，对角线AC、 BD交于O，AC＋BD＝q，求菱形ABCD的面积． （提示： 利用两数和的平方公式 (a+b)2=a2+2ab+b2与勾股定理）
（第 3 题）
例 已知:矩形ABCD的对角线AC的垂直平 分线与边AD、BC分别交于点E、F， 求证:四边形AFCE是菱形 证明 ∵ 四边形ABCD是矩形， ∴ AE∥FC（ ① ） ∴ ∠1＝∠2．（ ② ） ∵ EF平分AC， ∴ AO＝OC． 又∵ ∠AOE＝∠COF＝90°， ∴ △AOE≌△COF（ ③ ）， ∴ EO＝FO， ∴ 四边形AFCE是平行四边形（ ④ 又∵EF⊥AC， ∴ 四边形AFCE是菱形（ ⑤ ）
证明：∵ DE⊥AC于E， GH⊥AC于H ∵ DG⊥AB于G, EK⊥AB于K
（第 2 题）
∴DE∥GH
∴DG∥EK
∴四边形DEFG是平行四边形
∵ AB＝AC∴∠B=∠C ∵点D是BC的中点∴BD=CD
∵ DG⊥AB于G, DE⊥AC于E∴∠BGD=∠CED=90度 在⊿BGD和⊿CED中，∵ ∠BGD=∠CED， ∠B=∠C，BD=CD ∴ ⊿BGD≌⊿CED(AAS) ∴DG=DE
每条对角线平分一组对角的四边形是菱形．
对此感兴趣的同学，可以试着用逻辑推理的方法进行 证明．
小结：
菱形的证明方法
判定定理1：有一组邻边相等的平行四边形是菱形 判定定理2：对角线互相垂直的平行四边形是菱形
判定定理3：四条边都相等的四边形是菱形
判定定理4：每条对角线平分一组对角的四边形是菱形
P116练习 见前面 1． 证明： 四条边都相等的四边形是菱形． 2． 将一张矩形的纸对折再对折，然后沿着图中的虚 线剪下，打开，你发现这是一个什么样的图形呢？ 说说你的理由.
A
问：如何证明判定定理2和判定定理3呢？
判定定理2对角线互相垂直的平行四边形是菱形 已知 ABCD中，对角线AC、BD互相 垂直， 求证：四边形ABCD是菱形．
证明：在 ABCD 中，OA＝OC （ ① ）． 又∵AC⊥BD， ∴ BD所在直线是线段AC的垂直平分线， ∴ AB＝BC， ∴ 四边形ABCD是菱形 （ ② ）．
解：是菱形，因 为这个四边形的 对角线相互垂直 平分行。
1、下列说法正确的是（ D ）
A、邻角相等的四边形是菱形 B、有一组邻边相等的四边形是菱形 C、对角线互相垂直的四边形是菱形 D、对角线互相垂直且平分的四边形是菱形
2、如图，在四边形ABCD是平行四边形，对角线 AC、BD相交于点O，且AO=3，BO=4，AB=5。 求证：四边形ABCD是菱形。 A 证明：∵ AO=3，BO=4，AB=5 ∴AB2=AO2+BO2 ∴△OAB是直角三角形 ∴AC⊥BD 又∵四边形ABCD是平行四边形 ∴四边形ABCD是菱形(对角线互相垂直的平行 四边形是菱形) B O C D
）
判定定理3：四条边都相等的四边形是菱形
A
B C
D
已知：AB=BC=CD=DA 求证：四边形ABCD是菱形 ∵AB=CD,BC=AD ∴四边形ABCD是平行四 边形 ∵AB=CD ∴四边形ABCD是菱形 （有一组邻边相等的平行 四边形是菱形）
拓展 由菱形的性质：“每条对角线平分一组Biblioteka Baidu角”，我们 还可以得到判定菱形的方法：
DF∥AB交AC于点F
∴四边形AEDF是平行四边形且 ∠EDA=∠DAF
∵ AD是△ABC的一条角平分线
∴∠EAD=∠DAF
（第 1 题）
∴∠EDA=∠EAD
∴EA=ED（等角对等边）
∴四边形AEDF是菱形.(有一组邻边 相等的平行四边形是菱形）
2． 如图，△ABC中，AB＝ AC，点D是BC的中点， DE⊥AC于E，DG⊥AB于 G，EK⊥AB于K， GH⊥AC于H，EK和GH相 交于点F．求证： 四边形 DEFG是菱形．
A B D
（ （ （ （ （ ） ） ） ） ）
3.判断对错： C （1）对角线互相垂直的四边形是菱形。 （2）对角线垂直且平分的四边形是菱形。 （3）对角线垂直的矩形是菱形。 （4）对角线垂直且相等的四边形是菱形。 （5）有一条对角线平分一组对角的四边形 是菱形。
P116习题20.3 1． 如图，AD是△ABC的一条角平分线， DE∥AC交AB于点E，DF∥AB交AC于点F.求证四边形 AEDF是菱形 . AC交AB于点E， 证明：∵ DE∥
20.3菱形的判定
复习：菱形的特殊性
边： 四边相等 角： 对角线平分一组对角 对角线： 对角线互相垂直平分
菱形的性质有： 1.两条对角线互相平分 2.四条边都相等 3.每条对角线平分一组对角
判定定理1：有一组邻边相等 的平行四边形是菱形 D B O ∵ ABCD AB=BC ∴四边形ABCD是菱形 C 判定定理2：对角线互相垂直的平行四边形是菱形 ∵ ABCD AC⊥BD ∴四边形ABCD是菱形 判定定理3：四条边都相等的四边形是菱形 ∵AB=BC=CD=AD ∴四边形ABCD是菱形
∴四边形DEFG是菱形(有一组邻边相等的平行四边形是菱形）
3． 如图，菱形ABCD的周长为2p，对角线AC、 BD交于O，AC＋BD＝q，求菱形ABCD的面积． （提示： 利用两数和的平方公式 (a+b)2=a2+2ab+b2与勾股定理）
（第 3 题）
例 已知:矩形ABCD的对角线AC的垂直平 分线与边AD、BC分别交于点E、F， 求证:四边形AFCE是菱形 证明 ∵ 四边形ABCD是矩形， ∴ AE∥FC（ ① ） ∴ ∠1＝∠2．（ ② ） ∵ EF平分AC， ∴ AO＝OC． 又∵ ∠AOE＝∠COF＝90°， ∴ △AOE≌△COF（ ③ ）， ∴ EO＝FO， ∴ 四边形AFCE是平行四边形（ ④ 又∵EF⊥AC， ∴ 四边形AFCE是菱形（ ⑤ ）
证明：∵ DE⊥AC于E， GH⊥AC于H ∵ DG⊥AB于G, EK⊥AB于K
（第 2 题）
∴DE∥GH
∴DG∥EK
∴四边形DEFG是平行四边形
∵ AB＝AC∴∠B=∠C ∵点D是BC的中点∴BD=CD
∵ DG⊥AB于G, DE⊥AC于E∴∠BGD=∠CED=90度 在⊿BGD和⊿CED中，∵ ∠BGD=∠CED， ∠B=∠C，BD=CD ∴ ⊿BGD≌⊿CED(AAS) ∴DG=DE
每条对角线平分一组对角的四边形是菱形．
对此感兴趣的同学，可以试着用逻辑推理的方法进行 证明．
小结：
菱形的证明方法
判定定理1：有一组邻边相等的平行四边形是菱形 判定定理2：对角线互相垂直的平行四边形是菱形
判定定理3：四条边都相等的四边形是菱形
判定定理4：每条对角线平分一组对角的四边形是菱形
P116练习 见前面 1． 证明： 四条边都相等的四边形是菱形． 2． 将一张矩形的纸对折再对折，然后沿着图中的虚 线剪下，打开，你发现这是一个什么样的图形呢？ 说说你的理由.