近世代数中的子环与理想的证明

近世代数中的子环的证明以及理想的证明

1.证明：在环R 到环R 的一个同态满射φ之下,R 的一个子环S 的象S 是R 的一个子环。 证明:

S 为R 的一个子环, ∴0∈S , 而0=(0)φ∈S , 故S 非空。 对,a b ∀∈S ,∃,a b ∈S ,使得a =()a φ,b =()b φ

由于S 是环R 的子环，故a b S -∈,ab S ∈ ∴ a b -=()a φ-()b φ=()a b φ-S ∈ a b = ()a φ()b φ=()ab φS ∈ 故S 是R 的一个子环。

2. 证明：在环R 到环R 的一个同态满射φ之下, R 的一个子环S 的逆象S 是R 的一个子环。

证明:

S 为R 的子环, ∴0∈S , 而0=(0)φ∈S , ∴0∈S ,故S 非空。

对∀,a b ∈S ，∃,a b ∈S ,使得 a =()a φ,b =()b φ, 由于S 是环R 的子环，

故 a b -=()a φ-()b φ=()a b φ-S ∈ a b =()a φ()b φ=()ab φS ∈

∴a b S -∈,ab S ∈

故S 是R 的一个子环。

3.证明：在环R 到环R 的一个同态满射φ之下，R 的一个理想A 的象A 是R 的一个理想。 证明:

A 为R 的理想,∴ 0A ∈,,而0=(0)φ∈A ,故A 非空。 对,a b A ∀∈,r R ∀∈, ∃,a b ∈A ,r R ∈

使得 ()a a φ=,()b b φ=,()r r φ=

由于A 是环R 的一个理想，故 a b A -∈,ra A ∈，ar A ∈ ∴ a b -=()a φ-()b φ=()a b φ-A ∈ ra =()r φ()a φ=()ra A φ∈, ar =()a φ()r φ=()ar A φ∈ 故 A 是环R 的一个理想。

4.证明：在环R 到环R 的一个同态满射φ之下，R 的一个理想A 的逆象A 是R 的一个理想。 证明:

A 为环R 的理想,∴0∈A , 而0=φ(0)∈A , ∴0∈A, 故A 非空。

对于∀,a b ∈A ，∀r R ∈，∃,a b ∈A ,r R ∈

使得 ()a a φ=,()b b φ=,()r r φ= 由于A 是环R 的理想，

故 a -b ∈A ，ar A ∈，ra A ∈。 a -b =()a φ-()b φ=()a b φ-A ∈ r a =()r φ()a φ=()ra φ∈A ， ar =()a φ()r φ=()ar φA ∈

∴a b A -∈,ra A ∈，ar A ∈, 故 A 是R 的一个理想。