《正弦函数y=sinx的图像》教学案

《正弦函数y＝sinx的图像》教学案

一、教学目标：

1、知识与技能：

(1)回忆锐角的正弦函数定义；

(2)熟练运用锐角正弦函数的性质；

(3)理解通过单位圆引入任意角的正弦函数的意义；

(4)掌握任意角的正弦函数的定义；

(5)理解有向线段的概念；

(6)了解正弦函数图像的画法；

(7)掌握五点作图法，并会用此方法画出[0，2π]上的正弦曲线。

2、过程与方法：

初中所学的正弦函数，是通过直角三角形中给出定义的；由于我们已将角推广到任意角的情况，而且一般都是把角放在平面直角坐标系中，这样一来，我们就在直角坐标系中来找直角三角形，从而引出单位圆；利用单位圆的独特性，是高中数学中的一种重要方法，在第二节课的正弦函数图像，以及在后面的正弦函数的性质中都有直接的应用；讲解例题，总结方法，巩固练习。

3、情感态度与价值观：

通过本节的学习，使同学们对正弦函数的概念有了一个新的认识；在由锐角的正弦函数推广到任意角的正弦函数的过程中，体会特殊与一般的关系，形成一种辩证统一的思想；通过单位圆的学习，建立数形结合的思想，激发学习的学习积极性；培养学生分析问题、解决问题的能力。

二、教学重、难点

重点:

1.任意角的正弦函数定义，以及正弦函数值的几何表示。

2.正弦函数图像的画法。

难点:

1.正弦函数值的几何表示。

2.利用正弦线画出y＝sinx，x∈[0，2π]的图像。

三、学法与教法

在初中，我们知道直角三角形中锐角的对边比上斜边就叫着这个角的正弦，当把锐角放在直角坐标系中时，角的终边与单位圆交于一点，正弦函数对应于该点的纵坐标，当是任意角时，通过函数定义的形式引出正弦函数的定义；作正弦函数y ＝sinx 图像时，在正弦函数定义的基础上，通过平移正弦线得出其图像，再归结为五点作图法。教法: 探究讨论法。

四、教学过程

【创设情境，揭示课题】

三角函数是一种重要的函数，从第一节我们就知道在实际生活中，有许多地方用到三角函数。今天我们来学正弦函数y ＝sinx 的图像的做法。在前一节，我们知道正弦函数是一个周期函数，最小正周期是2π，所以，关键就在于画出[0，2π]上的正弦函数的图像。

请同学们回忆初中作函数图像的方法是怎样的？ 作函数图像的三步骤：列表，描点，连线。

【探究新知】 1、正弦函数线MP

下面我们来探讨正弦函数的一种几何表示．如右图所示， 角α的终边与单位圆交于点P(x ，y)，提出问题 ①线段MP 的长度可以用什么来表示？

②能用这个长度表示正弦函数的值吗？如果不能，你能否设计一种方法加以解决？引出有向线段的概念．有向线段：当α的终边不在坐标轴上时，可以把MP 看作是带方向的线段，

① y ＞0时，把MP 看作与y 轴同向(多媒体优势，利用计算机演示角α终边在一、二象限时MP 从M 到P 点的运动过程．让学生看清后定位，运动的方向表明与y 轴同向)． ② y ＜0时，把MP 看作与y 轴反向(演示角α终边在三、四象限时MP 从M 到P 点的运动过程．让学生看清后定位，运动的方向表明与y 轴反向)．

师生归纳：①MP 是带有方向的线段，这样的线段叫有向线段．MP 是从M→P ，而PM 则是从P→M 。②不论哪种情况，都有MP ＝y ．③依正弦定义，有sinα＝MP ＝y ，我们把MP 叫做α的正弦线．

当α为特殊角，即终边在坐标轴上时，找出其正弦线。演示运动过程，让学

α的终边

P

M O x

y

生清楚认识到：当α终边在x 轴上时，正弦线变为一个点，即 sinα＝0。 2．作图的步骤

边作边讲(几何画法)y=sinx x ∈[0，2π]

(1)作单位圆，把⊙O 十二等分(当然分得越细，图像越精确) (2)十二等分后得对应于0，

6π， 3

π，2π

，…2π等角，并作出相应的正弦线，

(3)将x 轴上从0到2π一段分成12等份(2π≈6.28)，若变动比例，今后图像将相应“变形” (4)取点，平移正弦线，使起点与轴上的点重合 (5)描图(连接)得y=sinx x ∈[0，2π]

(6)由于终边相同的三角函数性质知 y=sinx x ∈[2k π，2(k+1)π] (k ∈Z ，k ≠0) 与函数y=sinx x ∈[0，2π]图像相同，只是位置不同——每次向左(右)平移2π单位长。

可以得到y ＝sinx 在R 上的图像

3、五点作图法：由上图我们不难发现，在函数y=sinx ，x ∈[0，2π]的图像上，起着关键作用的有以下五个关键点： (0，0) (2

π，1) (π，0) (2

3π，-1) (2π，0)。

描出这五个点后，函数y=sinx ，x ∈[0，2π]的图像的形状就基本上确定了。因此，在精确度要求不太高时，我们常常先找出这五个关键点，然后用光滑曲线将它们连接起来，就得到这个函数的简图。我们称这种画正弦曲线的方法为“五点法”。 【巩固深化，发展思维】 1．例题探析

例1．用“五点法”画出下列函数在区间[0， 2π]上的简图。 (1)y ＝－sinx (2)y ＝1＋sinx 解：(1)列表

x

2π π 2

3π 2π y ＝－sinx 0 -1

+1

描点得y ＝－sinx 的图像：(略，见教材P22)

x

y

o

y

y=-sin

2．学生练习： 教材P25

二、归纳整理，整体认识：

(1)请学生回顾本节课所学过的知识内容有哪些？所涉及到的主要数学思想方法有那些？

(2)在本节课的学习过程中，还有那些不太明白的地方，请向老师提出。 (3)你在这节课中的表现怎样？你的体会是什么？

三、布置作业：作业：习题1—5A 组第2题． 四、课后反思：

x 0 2π π 23π

2π y=1+sinx

1

2

1

1

y