含参数的二次不等式恒成立问题(参变分离)解析

导数的分类讨论问题（含参数的二次不等式恒成立问题）

例１．定义在Ｒ上的连续()f x 为奇函数，且在[0,]+∞上时增函数，问是否存在这样的实数，使得

(cos 23)(42cos )(0)f f m m f θθ-+->对所有的实数R θ∈都成立？若存在，求出m 的取值范围；若不存在，说明

理由。

解析：奇函数(0)0f =(cos 23)(42cos )0f f m m θθ∴-+->

(cos 23)(42cos )(2cos 4)f f m m f m m θθθ∴->--=-又奇函数是增函数

所以cos232cos 4m m θθ->-整理得2cos 2cos 2m m θθ->-

法一：（以m 为变量，参变分离，建议采用）2

cos 2(cos 2)m θθ->-因为cos 20θ-<

所以变形得22cos 2cos m θθ->-24cos 22cos θθ--=-2(2cos )2cos θθ=+--2

4[(2cos )]2cos θθ

=--+-

（≤4-

cos 2θ=

4m >-法二：（以cos θ为变量，分类讨论）2

cos

cos 220m m θθ-+->恒成立，令2()22f x x mx m =-+-

其中cos [1,1]x θ=∈-，由图像对称轴2m x =

，且(1)310(1)10

f m f m -=->⎧⎨=->⎩即1m >，即1

22m >（要先代入-1和1求，否则分类讨论会麻烦）①211()0880222

m m

f m m >

>>⇒-+<⇒当

时，44m -<<+12m <<

，因为142<-<

，所以42m -<<

②当2

m

≥1时，(1)10f m m =->⇒≥2

综上，4m >-

例２．已知函数()y f x =在定义域[,1]-∞上是减函数，问：是否存在实数k ，使得不等式(sin )f k x -≥2

2

(sin )f k x -对于一切实数x 恒成立？

解析：sin k x -≤22

sin k x -≤1，整理得22

22

sin sin sin 1

k x k x

k x ⎧-≤-⎪⎨-≤⎪⎩恒成立 法一：（参变分离，推荐）即2222

sin sin 1sin k k x x k x

⎧-≥-⎪⎨≤+⎪⎩恒成立，其中对于一切实数x 都有14-≤2

sin sin x x -≤2，1≤2

1sin x +≤1k =-2，所以222211

k k k k k ⎧-≥⇒≥≤-⎪

⎨≤⎪⎩或即1k =-

法二：（以sin x 为变量，分类讨论）22sin sin ()0x x k k ---≤，令22

()()f x t t k k =---∴只需(1)0f -≤，即

22k k -≥即21k k ≥≤-或，又21k ≤∴1k =-

法三：（分类讨论不好不推荐）即(sin )(sin 1)011

k x k x k -+-≥⎧⎨-≤≤⎩①

，由①1sin [1,1]k x =∈-，21sin [0,2]k x =-∈

所以21k k ≥≤-或，所以1k =-

例３．是否存在m 使得不等式2

21(1)x m x ->-对满足||x ≤２的一切实数x 都成立？

解析：法一：（m 为参数分类讨论，推荐）2

210mx x m -+-<（0m =时显然不成立），对称轴1

x m

=

且(2)350(2)330

f m f m -=+<⎧⎨=-<⎩即53m <-即13(,0)5m ∈-（先代入特殊值※）显然1[2,2]x m =∈-，抛物线开口向下，所以

只需最大值1(

)0f m <即可，即11m m +>，显然，1

0m m

+<所以m 无解 法二：（参变分离，分类讨论，非常麻烦强烈不推荐；特殊值法，简单易行强烈推荐，但仅限此题，局限性强） 当1x =时，对于任意m 都有210x ->，令1[2,2]x =-∈-，左边=3-，右边=0显然不成立，所以m 无解

例４．m 在什么范围内，函数2

2

(sin )21y m m m θ=--+--(0≤θ≤

)2

π

的最大值为负值。

解析：法一：（sin θ为变量m 为参数，配方法分类讨论，推荐）sin [0,1]θ∈ ①若0m <，则当sin 0θ=时y 有最大值max 210y m =--<，即1

02

m -

<< ②若1m >，则当sin 1θ=时y 有最大值2

2

max (1)2120y m m m =--+--=-<，即1m >

③若01m ≤≤，则当sin m θ=时y 有最大值2

max 210y m m =--< 11m ⇒<<01m ≤≤ 综上，12

m >-

法二：（sin θ为变量m 为参数，二次函数法分类讨论，推荐）2

sin 2sin 21y m m θθ=-+--，sin [0,1]θ∈ 由2

()221f x x mx m =-+--的图像（对称轴x m =） ①当0m <时，需(0)0f <即12m >-

，所以1

02

m -<<

②当01m ≤≤时，需()0f m <即11m <<，所以01m ≤≤ ③当1m >时，需(1)0f <即20-<，所以1m > 综上，12

m >-