高级中学数学竞赛题之平面几何
全国高中数学联赛平面几何国外竞赛题阅读

全国高中数学联赛平面几何国外竞赛题阅读阅读时必须考虑的几个问题:1.步步皆要考虑“知其然之其所以然”。
2.解此题的关键步骤是什么?如何想到,是否应该想到这样的方法、这样的思路?3.画图线条的如何取舍?4.本题有什么特点?解法是否接触过?5.分析思考各类定理的运用时机,运用条件。
注意:思考过久(不超过15分钟为宜)不知其然,思考过久(不超过10分钟为宜)不知所以然,跳过!强调一下,不超过不是指一题不超过15分钟,是指从某一步推到另一步不超过的时间。
例1(美国37届)设M 、N 、P 分别是非等腰锐角△ABC 的边BC 、CA 、AB 的中点,AB 、AC 的中垂线分别与AM 交于点D 、E ,直线BD 、CE 交于点F ,且点F在△ABC的内部。
证明:A、N、F、P四点共圆。
证明:如图1,设△ABC的外心为O。
则∠APO=∠ANO=900。
于是A、P、N在以AO为直径的圆上。
因此,只要证明∠AFO=900。
不妨设AB>AC。
由PD是AB的中垂线知,AD=BD。
同理,AE=CE。
设α=∠ABD=∠BAD,CAE ACE β∠=∠=。
则BAC αβ+=∠。
在△ABM和△ACM中,由正弦定理得sin sin BM AB BMA α=∠,sin sin CM ACCMAβ=∠。
由于si n ∠BMA=sin ∠CMA ,因此sin sin BM ABCM ACβα=。
又因为BM=CM,所以,sin sin ACABαβ=。
如图2,在△ABF和△ACF中,由正弦定理得,sin sin sin sin AF AB AF ACAFB AFC αβ==∠∠。
于是,s i n s i n s i n s i n A C A F BA B A F Cαβ∠=∠。
从而,sin sin AFB AFC ∠=∠。
因为2,2ADF DEC αβ∠=∠=,所以180221802EFD BAC αβ∠=--=-∠。
因此,∠BFC=2∠BAC=∠BOC。
高中奥林匹克竞赛数学平面几何100题——珍藏版

高中奥林匹克竞赛数学平面几何100题——珍藏版高中数学联赛的几何题目有100道,难度较高。
这些题目涉及到各种不同的几何概念和定理,需要考生具备扎实的数学基础和丰富的解题经验。
在这些题目中,有许多需要考生进行证明,需要考生熟练掌握各种证明方法和技巧。
同时,还有一些需要考生进行画图,需要考生具备良好的几何直观和手绘能力。
这些几何题目的难度不仅仅在于其题目本身,还在于考试的时间限制。
考生需要在有限的时间内解决尽可能多的问题,因此需要考生具备快速解题的能力和良好的时间管理能力。
为了更好地应对这些几何题目,考生需要在平时的研究中注重基础知识的掌握和解题技巧的训练。
同时,还需要多做一些类似的练题目,以提高自己的解题水平和应对能力。
总之,高中数学联赛的几何题目难度较高,需要考生具备扎实的数学基础、丰富的解题经验、良好的几何直观和手绘能力、快速解题的能力和良好的时间管理能力。
考生需要在平时的研究中注重基础知识的掌握和解题技巧的训练,并多做类似的练题目,以提高自己的解题水平和应对能力。
1.研究证明角平分在这一部分中,我们将研究如何证明一个角被平分。
这是一个非常基础的几何问题,但是它的应用非常广泛。
我们将介绍几种不同的证明方法,包括使用角平分线的定义、角度相等、相似三角形等。
2.研究证明四点共圆在这一部分中,我们将研究如何证明四个点共圆。
这个问题也是几何学中的基础问题之一。
我们将介绍几种不同的证明方法,包括使用圆的定义、圆心角、垂直等。
3.研究证明角的倍数关系在这一部分中,我们将研究如何证明角的倍数关系。
这是一个非常重要的几何问题,因为它在许多几何证明中都有应用。
我们将介绍几种不同的证明方法,包括使用角度相等、相似三角形等。
4.证明线与圆相切在这一部分中,我们将研究如何证明一条线与一个圆相切。
这是一个非常基础的几何问题,但是它的应用非常广泛。
我们将介绍几种不同的证明方法,包括使用切线的定义、圆心角等。
5.证明垂直在这一部分中,我们将研究如何证明两条线段垂直。
高中数学竞赛平面几何题典型例题

高中数学竞赛平面几何题典型例题一、高中数学竞赛平面几何题那点事儿高中数学竞赛里的平面几何题啊,就像是一群神秘的小怪兽,有的看着简单,其实暗藏玄机,有的一上来就张牙舞爪,让你不知所措。
不过别怕,咱今儿个就来好好唠唠典型例题。
平面几何题里,三角形可是个大明星。
比如说有这么一道题:在三角形ABC中,AB = AC,角A = 120°,D是BC中点,DE垂直AB于E,求AE与BE的长度比。
这题啊,就考你等腰三角形的性质。
你看啊,因为AB = AC,角A = 120°,那角B和角C就都是30°。
D是BC中点,那AD就垂直BC。
再看三角形ADE,角AED = 90°,角A = 120°,那角ADE就是30°。
根据30°所对直角边是斜边一半这个性质,设AE = x,那AD就是2x。
又因为三角形ABD是直角三角形,角B = 30°,所以AB = 4x,那BE就等于3x,所以AE与BE的长度比就是1:3啦。
还有圆相关的平面几何题也很常见。
像有个圆O,半径为5,AB 是圆的一条弦,AB = 8,C是圆上一点,角ACB = 30°,求圆心O 到弦AB的距离。
这时候就得用到圆的性质和三角函数啦。
连接OA,OB,过O作OD垂直AB于D。
因为OD垂直AB,D就是AB中点,所以AD = 4。
在直角三角形AOD中,OA = 5,AD = 4,根据勾股定理就能算出OD = 3,这就是圆心到弦的距离。
再比如说四边形里的平面几何题。
有个平行四边形ABCD,对角线AC和BD相交于O点,E是AB中点,OE = 3,求平行四边形ABCD 的周长。
这题就需要利用平行四边形对角线互相平分的性质。
因为平行四边形对角线互相平分,所以O是AC中点。
又因为E是AB中点,所以OE是三角形ABC的中位线。
中位线长度是底边的一半,所以BC = 6。
因为平行四边形对边相等,所以AB = CD,AD = BC,那周长就是2×(AB + BC) = 2×(6 + 6)= 24。
高中数学竞赛平面几何

高中数学竞赛平面几何叶中豪学习要点几何问题的转化圆幂与根轴P ’tolemy 定理及应用几何变换及相似理论位似及其应用完全四边形与Miquel 点垂足三角形与等角共轭反演与配极,调和四边形射影几何复数法及重心坐标方法例题和习题1.四边形ABCD 中,AB=BC ,DE ⊥AB ,CD ⊥BC ,EF ⊥BC ,且()s i n 1t a n s i n 2θθγγ⋅+=。
求证:2EF=DE+DC 。
(10081902.gsp )2.已知相交两圆O和O'交于A、B两点,且O'恰在圆O上,P为圆O的AO'B 弧段上任意一点。
∠APB的平分线交圆O'于Q点。
求证:PQ2=PA×PB。
(10092401-1. gsp)3.设三角形ABC的Fermat点为R,连结AR,BR,CR,三角形ABR,BCR,ACR的九点圆心分别为D,E,F,则三角形DEF为正三角形。
(10082602.gsp)4.在△ABC中,已知∠A的内角平分线和外角平分线分别交外接圆于D、E,点A关于D、E的对称点分别为F、G,△ADG和△AEF的外接圆交于A 和另一点P。
求证:AP//BC。
(10092102.gsp)5.圆O1和圆O2相交于A、B两点,P是直线AB上一点,过P作两圆作切线,分别切圆O1和圆O2于点C、D,又两圆的一条外公切线分别切圆O1和圆O2于点E,F。
求证:AB、CE、DF共点。
(10092201.gsp)6.四边形ABCD中,M是AB边中点,且MC=MD,过C、D分别作BC、AD 的垂线,两条垂线交于P点,再作PQ⊥AB于Q。
求证:∠PQC=∠PQD。
(10081601-26.gsp)7.已知RT△ABD∽RT△ADC,M是BC中点,AD与BC交于E,自C作AM 垂线交AD于F。
求证:DE=EF。
(10083001.gsp)8.在△ABC中,AB=AC,D为BC边的中点,E是△ABC外一点,满足CE⊥AB,BE=BD。
高中奥林匹克竞赛数学平面几何100题——珍藏版

高中数学联赛难度几何题100道第一题:学习证明角平分 (4)第二题:学习证明四点共圆 (5)第三题:学习证明角的倍数关系 (6)第四题:证明线与圆相切 (7)第五题:证明垂直 (8)第六题:证明线段相等 (9)第七题:证明线段为比例中项 (10)第八题:证明垂直 (11)第九题:证明线段相等 (12)第十题:证明角平分 (13)第十一题:证明垂直 (14)第十二题:证明线段相等 (15)第十三题:证明角相等 (16)第十四题:证明中点 (17)第十五题:证明线段的二次等式 (18)第十六题:证明角平分 (19)第十七题:证明中点 (20)第十八题:证明角相等 (21)第十九题:证明中点 (22)第二十题:证明线段相等 (23)第二十一题:证明垂直 (24)第二十二题:证明角相等 (25)第二十三题:证明四点共圆 (26)第二十四题:证明两圆相切 (27)第二十五题:证明线段相等 (28)第二十六题:证明四条线段相等 (29)第二十七题:证明线段比例等式 (30)第二十八题:证明角的倍数关系 (31)第二十九题:证明三线共点 (32)第三十题:证明平行 (33)第三十一题:证明线段相等 (34)第三十二题:证明四点共圆 (35)第三十三题:证明三角形相似 (36)第三十四题:证明角相等 (37)第三十五题:证明内心 (38)第三十六题:证明角平分 (39)第三十七题:证明垂直 (40)第三十八题:证明面积等式 (41)第三十九题:证明角平分 (42)第四十题:证明角相等 (43)第四十二题:证明中点 (45)第四十三题:证明角相等 (46)第四十四题:证明垂直 (47)第四十五题:证明角相等 (48)第四十六题:证明垂直 (49)第四十七题:证明四点共圆 (50)第四十八题:证明四点共圆 (51)第四十九题:证明四点共圆 (52)第五十题:证明角平分 (53)第五十一题:证明线段相等 (54)第五十二题:证明两圆外切 (55)第五十三题:证明垂直 (56)第五十四题:证明垂直 (57)第五十五题:证明垂直 (58)第五十六题:证明垂直 (59)第五十七题:证中点 (60)第五十八题:证明角相等 (61)第五十九题:证明角相等 (62)第六十题:证明四点共圆 (63)第六十一题:证明四点共圆 (64)第六十二题:证明四点共圆 (65)第六十三题:证明角相等 (66)第六十四题:证明角的倍数关系 (67)第六十五题:证明中点 (68)第六十六题:伪旁切圆 (69)第六十七题:证明垂直 (70)第六十八题:证明平行 (71)第六十九题:证明圆心在某线上 (72)第七十题:证明三线共点 (73)第七十一题:证明垂直 (74)第七十二题:证明垂直 (75)第七十三题:证明中点 (76)第七十四题:证明垂直 (77)第七十五题:证明垂直 (78)第七十六题:证明三线共点 (79)第七十七题:证明平行 (80)第七十八题:证明平行 (81)第七十九题:证明三线共点、证明垂直 (82)第八十题:证明三点共线(牛顿定理) (83)第八十一题:证明角平分 (84)第八十二题:证明角相等 (85)第八十三题:证明三点共线 (86)第八十四题:证明四圆共点 (87)第八十六题:证明线段相等 (89)第八十七题:证明角相等 (90)第八十八题:证明线段相等 (91)第八十九题:证明线段相等 (92)第九十题:证明线段相等 (93)第九十一题:证明中点 (94)第九十二题:证明四点共圆 (95)第九十三题:证明西姆松定理及逆定理 (96)第九十四题:证明线段的和差关系等式 (97)第九十五题:证明角相等 (98)第九十六题:证明托勒密定理及逆定理 (99)第九十七题:证明线段的和差关系等式 (100)第九十八题:证明角相等 (101)第九十九题:证明四点共圆 (102)第一百题:证明两三角形共内心 (103)第一题:证明角平分已知PE 、PF 是⊙O 的切线,A 、B 是一组对径点,PB 交⊙O 于另一点C ,直线AF 、BE 交于D 点。
数学竞赛试题及答案

数学竞赛试题及答案在数学竞赛中,试题的设计和答案的解析非常关键。
本文将为读者提供一些经典的数学竞赛试题以及相应的答案解析,帮助读者更好地理解数学竞赛试题的特点和解题方法。
一、平面几何1. 题目:已知正方形ABCD的边长为2,M为AD边上的一点,连接BM并延长交于E,连接CM并延长交于F。
若 BM = CF,则求角ABC的度数。
答案解析:首先连接AC,并设其交BM于H。
由于正方形ABCD,所以BH = HM = 2/2 = 1。
根据题目条件可知,BH = BM - HM = CF -CM = MH + HC。
将这个等式代入题目图中,并设角ABC的度数为x,则角CBH的度数为90-x。
根据余角定理可得:tan(90-x) = (BH/HC) = (2/2)/(H + HC) = 1/(HC + H/2)= 1/(HC + 1)又因为BM = CF,所以BE = CH。
利用三角形的正弦定理可得:sin(90-x)/BE = sinx/1=> cot(90-x) = 1/tanx=> HC + 1 = 1/(HC + 1)解方程可得HC = 0,代入可得角ABC的度数x = 60°。
二、数列与函数2. 题目:已知数列{an}满足a1 = 1,an+1 = 3an + 1,求a20的值。
答案解析:将数列展开可得:a2 = 3a1 + 1 = 3 + 1 = 4a3 = 3a2 + 1 = 3*4 + 1 = 13a4 = 3a3 + 1 = 3*13 + 1 = 40通过观察前几项数列的规律可知,数列的通项公式为an = 3^n - 2^n。
代入n = 20可得a20 = 3^20 - 2^20 = 3^20 - (2^10)^2 = 3^20 - 2^20^2。
三、数论3. 题目:将正整数n写成两个素数的和,求所有可能的素数对。
答案解析:根据哥德巴赫猜想,每个大于2的偶数都可以表示成两个素数的和。
全国高中数学联赛平面几何题

全国高中数学联赛平面几何题1.(2000) 如图,在锐角三角形ABC 的BC 边上有两点E 、F ,满足∠BAE =∠CAF ,作FM ⊥AB ,FN ⊥AC 〔M 、N 是垂足〕,延长AE 交三角形ABC 的外接圆于D .证明:四边形AMDN 与三角形ABC 的面积相等.2. (2001) 如图,△ABC 中,O 为外心,三条高AD 、BE 、CF 交于点H ,直线ED 和AB 交于点M ,FD 和AC 交于点N . 求证:(1) OB ⊥DF ,OC ⊥DE ;(2) OH ⊥MN .3.(2002)4.(2003) 过圆外一点P 作圆的两条切线和一条割线,切点为A ,B 所作割线交圆于C ,D 两点,C 在P ,D 之间,在弦CD 上取一点Q ,使∠DAQ =∠PBC .求证:∠DBQ =∠P AC .AB C DE F M N5.(2004)在锐角三角形ABC 中,AB 上的高CE 与AC 上的高BD 相交于点H ,以DE 为直径的圆分别交AB 、AC 于F 、G 两点,FG 与AH 相交于点K 。
BC=25,BD=20,BE=7,求AK 的长。
6.(2005)7.(2006)以B 0和B 1为焦点的椭圆与△AB 0B 1的边AB i 交于点C i (i =0,1). 在AB 0的延长线上任取点P 0,以B 0为圆心,B 0P 0为半径作圆弧P 0Q 0⌒交C 1B 0的延长线于Q 0;以C 1为圆心,C 1Q 0为半径作圆弧Q 0P 1⌒交B 1A 的延长线于点P 1;以B 1为圆心,B 1P 1为半径作圆弧P 1Q 1⌒交B 1C 0的延长线于Q 1;以C 0为圆心,C 0Q 1为半径作圆弧Q 1P 0'⌒,交AB 0的延长线于P 0'. 试证:⑴ 点P 0'与点P 0重合,且圆弧P 0Q 0⌒与P 0Q 1⌒相内切于点P 0; ⑵ 四点P 0,Q 0,Q 1,P 1共圆.PB 1B 0C 1P 1P 0Q 1Q 0AC 08.(2007)如图,在锐角△ABC 中,AB<AC ,AD 是边BC 上的高,P 是线段AD 内一点。
2022年全国高中数学联赛几何专题(平面几何解析几何)

2022年全国高中数学联赛几何专题(平面几何解析几何)数学竞赛中的平面几何一、引言1.国际数学竞赛中出现的几何问题,包括平面几何与立体几何,但以平面几何为主体.国际数学竞赛中的平面几何题数量较多、难度适中、方法多样(综合几何法、代数计算法、几何变换法等),从内容上看可以分成三个层次:第一层次,中学几何问题.这是与中学教材结合比较紧密的常规几何题,虽然也有轨迹与作图,但主要是以全等法、相似法为基础的证明题,重点是与圆有关的命题,因为圆的命题知识容量大、变化余地大、综合性也强,是编拟竞赛试题的优质素材.第二层次,中学几何的拓展.第三层次,组合几何——几何与组合的交叉.这是用组合数学的成果来解决几何学中的问题,主要研究几何图形的拓扑性质和有限制条件的欧几里得性质.所涉及的类型包括计数、分类、构造、覆盖、递推关系以及相邻、相交、包含等拓扑性质.这类问题在第六届IMO(1964)就出现了,但近30年,无论内容、形式和难度都上了新的台阶,成为一类极有竞赛味、也极具挑战性的新颖题目.组合几何的异军突起是数学竞赛的三大热点之一.2.在中国的数学竞赛大纲中,对平面几何内容除了教材内容外有如下的补充.初中竞赛大纲:四种命题及其关系;三角形的不等关系;同一个三角形中的边角不等关系,不同三角形中的边角不等关系;面积及等积变换;三角形的心(内心、外心、垂心、重心)及其性质.高中竞赛大纲:几个重要定理:梅涅劳斯定理、塞瓦定理、托勒密定理、西姆松定理;三角形中的几个特殊点:旁心、费马点,欧拉线;几何不等式;几何极值问题;几何中的变换:对称、平移、旋转;圆的幂和根轴;面积方法,复数方法,向量方法,解析几何方法.二、基本内容全等三角形的判别与性质,相似三角形的判别与性质,等腰三角形的判别与性质,“三线八角”基本图形,中位线定理,平行线截割定理,圆中角(圆心角、圆周角、弦切角)定理等大家都已经非常熟悉,此外,竞赛中还经常用到以下基本内容.定义1点集的直径是指两个端点都属于这个集合且长度达到最大值的线段(一个点集可能有多条直径,也可能没有直径).定义2如果对点集A中的任意两点,以这两点为端点的线段包含在A 里,则集合A称为是凸的.定义3设M1,M2,,Mn是多边形,如果MM1M2Mn并且当ij时,Mi与Mj 没有公共的内点,则称多边形M剖分为多边形M1,M2,,Mn.定义4如果凸边形N的所有顶点都在凸多边形M的边上,则称多边形N内接于多边性M.定理1两点之间直线距离最短.推论三角形的两边之和大于第三边,两边之差小于第三边.定理2三角形的内角之等于180.凸n边形(n3)的n个内角和等于(n2)外角和为180180;(每一个顶点处只计算一个外角).702022年全国高中数学联赛集训暨2022年中国数学奥林匹克赛前训练材料--内部使用证明如图1,过C作CE//AB,则有ECAA,(两直线平行,内错角相等)得ABCACB(结合律)ECBB(等量代换)180.(两直线平行,同旁内角互补图1推论三角形的一个外角等于两个不相邻内角之和.定理3三角形中大边对大角、小边对小角.证明(1)如图2,在ABC中,已知ABAC,可在AB上截取ADAC,则在等腰ACD中有12.(等腰三角形的性质定理)又在BCD中,2B,(外角定理)更有C12B.(传递性)说明由上面的证明知ABACBC,ABACBC,ABACBC,这样的分断式命题,其逆命题必定成立.证明如下:图2(2)反之,在ABC中,若CB,这时AB,AC有且只有三种关系ABAC,ABAC,ABAC.若ABAC,由上证得CB,与已知CB矛盾.若ABAC,由等腰三角形性质定理得CB,与已知CB矛盾.所以ABAC.定理4在ABC与A1B1C1中,若ABA1B1,ACAC11,则AA1BCB1C1.定理5凸四边形ABCD内接于圆的充分必要条件是:ABCCDA180(或BADDCB180).证明当四边形ABCD内接于圆时,由圆周角定理有ABCCDA1111ADCABCADCABC180.2222同理可证BADDCB180.反之,当ABCCDA180时,首先过不共线的三点A,B,C作O,若点D不在O上,则有两种可能:(1)D在O的外部(如图3(1)).记AD与O相交于S,连CS,在CDS中有ASCCDA.又由上证,有ABCASC180,得180ABCCDAABCASC180,矛盾.712022年全国高中数学联赛集训暨2022年中国数学奥林匹克赛前训练材料--内部使用图3(2)D在O的内部(如图3(2)).记AD的延长线与O相交于S,连CS,在CDS中有ASCCDA.又由上证,有ABCASC180,得180ABCCDAABCASC180,矛盾.定理6凸四边形ABCD外切于圆的充分必要条件是ABCDBCAD.证明当凸四边形ABCD外切于圆时,设各边的切点分别为P,Q,R,S (如图4),根据圆外一点到圆的两切线长相等,有APAS,PBBQ,CRQC,DRDS.相加APPBCRDRASBQQCDS,得ABCDBCAD.图4反之,若ABCDBCAD,我们引B,C的平分线,因为BC360,所以,两条角平分线必定相交于四边形内部一点,记为N,则N到三边AB,BC,CD的距离相等,可以以N为圆心作N与AB,BC,CD同时相切,这时AD与N的关系有且只有三种可能:相离、相切、相交.(1)若AD与N相离(如图5(1)).过A作切线与CD相交于D,在ADD中,有//DDADAD.①//但由上证,有ABCDBCAD,又由已知,有ABCDBCAD相减得CDCDADAD,////DD/ADAD/,与①矛盾.图5722022年全国高中数学联赛集训暨2022年中国数学奥林匹克赛前训练材料--内部使用(2)若AD与N相交(如图5(2)).过A作切线与CD的延长线相交于D,在ADD中,有①//DDADAD.//但由上证,有ABCDBCAD,//又由已知,有ABCDBCAD相减得CDCDADAD,//即DDADAD,与①矛盾.综上得AD与N的相切,即凸四边形ABCD外切于圆.定理7(相交弦定理)圆内的两条相交弦,被交点分成的两条线段长的积相等.定理8(切割线定理)从圆外一点引圆的切线和割线,切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项.定义5从一点A作O的割线交O于B,C,则点A到两交点B,C的线段长度之积ABAC称为点A对O的羃.对于两个已知圆有等羃的点的轨迹,称为两圆的根轴(或等羃轴).定理9若两圆相交,其根轴在两圆公共弦所在的直线上;若两圆相切,其根轴在过两圆切点的公切线上;若两圆相离,则两圆的四条公切线的中点在根轴上.定理10(三角形面积公式)在ABC中,记a,b,c为三边长,p//1(abc)为半周长,R是2外接圆半径,r为内切圆半径,ha是边BC上的高,ra是与边BC及AB,AC的延长线相切的旁切圆的半径,则ABC的面积S为:(1)S111ahabhbchc;222111(2)SabinCacinBbcinA;222(3)Sp(pa)(pb)(pc);(4)Sabc2R2inAinBinC;4R(5)Srp;1ra(bca);21(7)SR2(in2Ain2Bin2C).2定理11在RtABC中,有(6)S(1)abc,(勾股定理的逆定理也成立)(2)r2221c(abc),R.22732022年全国高中数学联赛集训暨2022年中国数学奥林匹克赛前训练材料--内部使用定理12(角平分线定理)设AD是ABC中A的平分线,则.ABBD.ACDC此定理有10多种证法,下面是有辅助线与无辅助线的两种代表性证法.证明1(相似法)如图6,延长BA到E,使AEAC,连CE,则BAD1A(已知)21AECACE(外角定理)2AEC,(等腰三角形的两个底角相等)有AD//CE,BDABAB得.(平行线截割定理)图6DCAEAC11ABADinABCSABD2AB2证明2(面积法).DCSACD1ACADin1AAC22定理13(正弦定理、余弦定理)在ABC中,有(1)abcoBccoC,bacoAccoC,cacoAbcoB.abC2R;(2)inAinBinC222(3)abc2bccoA,b2a2c22accoB,c2a2b22abcoC.(4)inAinBinC2inBinCcoA.222abC2R;inAinBinC证明1(1)当ABC为直角三角形时,命题显然成立.(2)当ABC为锐角三角形时,如图7(1),作ABC外接圆O,则圆心O在ABC的内部,(2)连BO交O于D,连结DC.因为BD是O的直径,所以BCD90,在直角BCD中有aabc2R,但AD,故得2R.同理可证2R,2R.inDinAinBinCabC2R.得inAinBinC(1)(2)图7(3)当ABC为钝角三角形时,记A为钝角,则圆心O在ABC的外部,过A作直径,仿上证74。
高中联赛难度几何题100道(精华双图版)

高中联赛难度几何题100道(精华双图版)第一题:证明角平分已知PE 、PF 是⊙O 的切线,A 、B 是一组对径点,PB 交⊙O 于另一点C ,直线AF 、BE 交于D 点。
求证:PCE PCD ∠=∠。
第二题:证明四点共圆如图,AB 是⊙O 的直径,C ,D 是圆上异于A 、B ,且在AB 同侧的两点,分别过C 、D 作⊙的O 切线,它们交于点E ,线段AD 与BC 的交点为F ,线段AB 与EF 的交点为M ,求证:E 、C 、M 、D 四点共圆。
第三题:证明角的倍数关系如图,PE 、PF 是以AB 为直径圆的切线E 、F 是切点,PB 交圆于C 点,AF 、BE 交于D 点,AB 是直径。
求证:ACD DPE ∠=∠2。
第四题:证明线与圆相切已知:ABC ∆中,︒=∠90A ,AD 切⊙ABC ,AD 交BC 延长线于D ,E 是A 关于BC 的对称点,BE AY ⊥于Y ,X 是AY 中点,延长BX 交⊙ABC 于J ,求证:BD 切AJD ∆外接圆。
第五题:证明垂直已知四边形ABCD 内接于以BD 为直径的圆,设'A 为A 关于BD 为对称点,'B 是B 关于AC 对称点,直线AC 交'DB 于Q ,直线DB 交'CA 于P 。
求证:AC PQ ⊥。
第六题:证明线段相等已知:BC 、BD 是⊙O 切线,C 、D 是切点,BJA 是割线,A 、J 在圆上,J 离B 较近,AO DE ⊥于E ,交AB 于F ,AC 交DE 于G ,求证:FG DF =。
第七题:证明线段为比例中项已知ABC ∆中,BC AC =,M 是AB 的中点,FG 经过点M ,且CFG ∆与ABC ∆有相同的内心。
求证:GM FM AM ⨯=2。
第八题:证明垂直已知:ABC ∆为非直角三角形,AD 平分BAC ∠,D 在BC 上,AC DF ⊥于F ,AB DE ⊥于E ,CE 交BF 于P 。
全国高中数学联赛--平面几何赛题精选5

1. 已知直线l 与△ABC 的边AB 、
与BC 的延长线交于点E .过A 、线与△ABC 的外接圆分别交于点证明:
A ’E
B ’F
C ’D
2. 已知△ABC 的内心为I , ∠B 的平分线与AC 交于点P .
证明: 若CB AB AP =+,则△API 为等腰三角形。
3. 在△ABC 中,∠A 与∠B 经过△ABC 内心且平行于证明:直线PB 与△ABC
4. 在锐角△ABC 中,AD 是∠A 的平分线,BE 是边上AC 的高,
证明:∠CED >450
P A C
D
C
B
5. 设△ABC 为锐角三角形。
经过其垂心作三个圆,
分别与它的三条边切于该边上高的垂足。
证明:三个圆的其它三个交点所形成的三角形与△ABC 相似
6. 在△ABC 中,∠A 与∠C 的平分线交于I 且分别交对边于点A 1 ,C 1 .
交△ABC 的外接圆于点A ', C '。
现知道直线A 1C 1与A 'C ' 交于P . 证明:IP//AC
7. 已知四边形ABCD , E , F 分别为边AD , BC 上的点, 且
FC
BF
ED AE
, 射线FE 与BA , CD 分别交于点S , T . 证明:△SAE , △SBF , △TCF 和△TDE 的外接圆交于一点.
8. R t △ABC
个弧段上作一条切线,切点为该切线被证明三个切点组成等边三角形
H 2C
D''。
个人精心高中数学联赛竞赛平面几何四大定理及考纲

个人精心高中数学联赛竞赛平面几何四大定理及考纲Standardization of sany group #QS8QHH-HHGX8Q8-GNHHJ8-HHMHGN#1、数学竞赛考纲二试1、平面几何基本要求:掌握高中数学竞赛大纲所确定的所有内容。
补充要求:面积和面积方法。
几个重要定理:梅涅劳斯定理、、、。
几个重要的极值:到三角形三顶点距离之和最小的点--。
到三角形三顶点距离的平方和最小的点--。
三角形内到三边距离之积最大的点--重心。
几何不等式。
简单的。
了解下述定理:在周长一定的n边形的集合中,正n边形的面积最大。
在周长一定的的集合中,圆的面积最大。
在面积一定的n边形的集合中,正n边形的周长最小。
在面积一定的简单闭曲线的集合中,圆的周长最小。
几何中的运动:反射、平移、旋转。
方法、方法。
平面、及应用。
2、代数在一试大纲的基础上另外要求的内容:周期函数与周期,带的函数的图像。
,三角形的一些简单的恒等式,三角不等式。
,一阶、二阶递归,法。
函数,求n次迭代,简单的函数方程。
n个变元的平均不等式,,及应用。
复数的指数形式,欧拉公式,,单位根,单位根的应用。
圆排列,有重复的排列与组合,简单的组合恒等式。
一元n次方程(多项式)根的个数,根与系数的关系,实系数方程虚根成对定理。
简单的初等数论问题,除初中大纲中所包括的内容外,还应包括,,欧几里得除法,非负最小完全剩余类,,,,,格点及其性质。
3、立体几何多面角,多面角的性质。
三面角、直三面角的基本性质。
正多面体,欧拉定理。
体积证法。
截面,会作截面、表面展开图。
4、平面解析几何直线的式,直线的,直线束及其应用。
二元一次不等式表示的区域。
三角形的。
圆锥曲线的切线和法线。
圆的幂和根轴。
5、其它。
集合的划分。
覆盖。
西姆松线的存在性及性质()。
及其逆定理。
一、平面几何1. 梅涅劳斯定理(Menelaus)定理(简称梅氏定理)是由数学家梅涅劳斯首先证明的。
它指出:如果一条直线与△ABC的三边AB、BC、CA或其延长线交于F、D、E点,那么(AF/FB)×(BD/DC)×(CE/EA)=1。
高中数学竞赛 平面几何

高中数学竞赛平面几何一、常用定理(仅给出定理,证明请读者完成)梅涅劳斯定理 设',','C B A 分别是ΔABC 的三边BC ,CA ,AB 或其延长线上的点,若',','C B A 三点共线,则.1''''''=⋅⋅BC AC A B CB C A BA 梅涅劳斯定理的逆定理 条件同上,若.1''''''=⋅⋅BC AC A B CB C A BA 则',','C B A 三点共线。
塞瓦定理 设',','C B A 分别是ΔABC 的三边BC ,CA ,AB 或其延长线上的点,若',','CC BB AA 三线平行或共点,则.1''''''=⋅⋅BC AC A B CB C A BA 塞瓦定理的逆定理 设',','C B A 分别是ΔABC 的三边BC ,CA ,AB 或其延长线上的点,若.1''''''=⋅⋅BC AC A B CB C A BA 则',','CC BB AA 三线共点或互相平行。
角元形式的塞瓦定理 ',','C B A 分别是ΔABC 的三边BC ,CA ,AB 所在直线上的点,则',','CC BB AA 平行或共点的充要条件是.1'sin 'sin 'sin 'sin 'sin 'sin =∠∠⋅∠∠⋅∠∠BAB CBB CBC ACC AC A BAA 广义托勒密定理 设ABCD 为任意凸四边形,则AB •CD+BC •AD ≥AC •BD ,当且仅当A ,B ,C ,D 四点共圆时取等号。
高中数学竞赛——平面几何基础知识(基本定理、基本性质)

平面几何基础知识(基本定理、基本性质)1. 勾股定理(毕达哥拉斯定理)(广义勾股定理)(1)锐角对边的平方,等于其他两边之平方和,减去这两边中的一边和另一边在这边上的射影乘积的两倍. (2)钝角对边的平方等于其他两边的平方和,加上这两边中的一边与另一边在这边上的射影乘积的两倍.2. 射影定理(欧几里得定理)3. 中线定理(巴布斯定理)设△ABC 的边BC 的中点为P ,则有)(22222BP AP AC AB +=+; 中线长:222222a c b m a −+=. 4. 垂线定理:2222BD BC AD ACCD AB −=−⇔⊥. 高线长:C b B c A a bc c p b p a p p a h a sin sin sin ))()((2===−−−=. 5. 角平分线定理:三角形一个角的平分线分对边所成的两条线段与这个角的两边对应成比例.如△ABC 中,AD 平分∠BAC ,则ACAB DC BD =;(外角平分线定理). 角平分线长:2cos 2)(2A c b bc a p bcp c b t a +=−+=(其中p 为周长一半). 6. 正弦定理:R Cc B b A a 2sin sin sin ===,(其中R 为三角形外接圆半径). 7. 余弦定理:C ab b a c cos 2222−+=.8. 张角定理:ABDAC AC BAD AD BAC ∠+∠=∠sin sin sin .9. 斯特瓦尔特(Stewart )定理:设已知△ABC 及其底边上B 、C 两点间的一点D ,则有AB 2·DC +AC 2·BD -AD 2·BC =BC ·DC ·BD .10. 圆周角定理:同弧所对的圆周角相等,等于圆心角的一半.(圆外角如何转化?)11. 弦切角定理:弦切角等于夹弧所对的圆周角.12. 圆幂定理:(相交弦定理:垂径定理:切割线定理(割线定理):切线长定理:)13. 布拉美古塔(Brahmagupta )定理: 在圆内接四边形ABCD 中,AC ⊥BD ,自对角线的交点P 向一边作垂线,其延长线必平分对边.14. 点到圆的幂:设P 为⊙O 所在平面上任意一点,PO =d ,⊙O 的半径为r ,则d 2-r 2就是点P 对于⊙O 的幂.过P 任作一直线与⊙O 交于点A 、B ,则P A·PB = |d 2-r 2|.“到两圆等幂的点的轨迹是与此二圆的连心线垂直的一条直线,如果此二圆相交,则该轨迹是此二圆的公共弦所在直线”这个结论.这条直线称为两圆的“根轴”.三个圆两两的根轴如果不互相平行,则它们交于一点,这一点称为三圆的“根心”.三个圆的根心对于三个圆等幂.当三个圆两两相交时,三条公共弦(就是两两的根轴)所在直线交于一点.15. 托勒密(Ptolemy )定理:圆内接四边形对角线之积等于两组对边乘积之和,即AC ·BD =AB ·CD +AD ·BC ,(逆命题成立) .(广义托勒密定理)AB ·CD +AD ·BC ≥AC ·BD .16. 蝴蝶定理:AB 是⊙O 的弦,M 是其中点,弦CD 、EF 经过点M ,CF 、DE 交AB 于P 、Q ,求证:MP =QM .17. 费马点:定理1等边三角形外接圆上一点,到该三角形较近两顶点距离之和等于到另一顶点的距离;不在等边三角形外接圆上的点,到该三角形两顶点距离之和大于到另一点的距离.定理2 三角形每一内角都小于120°时,在三角形内必存在一点,它对三条边所张的角都是120°,该点到三顶点距离和达到最小,称为“费马点”,当三角形有一内角不小于120°时,此角的顶点即为费马点.18. 拿破仑三角形:在任意△ABC 的外侧,分别作等边△ABD 、△BCE 、△CAF ,则AE 、AB 、CD 三线共点,并且AE=BF =CD ,这个命题称为拿破仑定理. 以△ABC 的三条边分别向外作等边△ABD 、△BCE 、△CAF ,它们的外接圆⊙C 1 、⊙A 1 、⊙B 1的圆心构成的△——外拿破仑的三角形,⊙C 1 、⊙A 1 、⊙B 1三圆共点,外拿破仑三角形是一个等边三角形;△ABC 的三条边分别向△ABC 的内侧作等边△ABD 、△BCE 、△CAF ,它们的外接圆⊙C 2 、⊙A 2 、⊙B 2的圆心构成的△——内拿破仑三角形,⊙C 2 、⊙A 2 、⊙B 2三圆共点,内拿破仑三角形也是一个等边三角形.这两个拿破仑三角形还具有相同的中心.19. 九点圆(Nine point round 或欧拉圆或费尔巴赫圆):三角形中,三边中心、从各顶点向其对边所引垂线的垂足,以及垂心与各顶点连线的中点,这九个点在同一个圆上,九点圆具有许多有趣的性质,例如:(1)三角形的九点圆的半径是三角形的外接圆半径之半;(2)九点圆的圆心在欧拉线上,且恰为垂心与外心连线的中点;(3)三角形的九点圆与三角形的内切圆,三个旁切圆均相切〔费尔巴哈定理〕.20. 欧拉(Euler )线:三角形的外心、重心、九点圆圆心、垂心依次位于同一直线(欧拉线)上.21. 欧拉(Euler )公式:设三角形的外接圆半径为R ,内切圆半径为r ,外心与内心的距离为d ,则d 2=R 2-2Rr .22. 锐角三角形的外接圆半径与内切圆半径的和等于外心到各边距离的和.23. 重心:三角形的三条中线交于一点,并且各中线被这个点分成2:1的两部分;)3,3(C B A C B A y y y x x x G ++++ 重心性质:(1)设G 为△ABC 的重心,连结AG 并延长交BC 于D ,则D 为BC 的中点,则1:2:=GD AG ;(2)设G 为△ABC 的重心,则ABC ACG BCG ABG S S S S ∆∆∆∆===31; (3)设G 为△ABC 的重心,过G 作DE ∥BC 交AB 于D ,交AC 于E ,过G 作PF ∥AC 交AB 于P ,交BC 于F ,过G 作HK ∥AB 交AC 于K ,交BC 于H ,则2;32=++===AB KH CA FP BC DE AB KH CA FP BC DE ; (4)设G 为△ABC 的重心,则①222222333GC AB GB CA GA BC+=+=+; ②)(31222222CA BC AB GC GB GA ++=++; ③22222223PG GC GB GA PC PB PA +++=++(P 为△ABC 内任意一点);④到三角形三顶点距离的平方和最小的点是重心,即222GC GB GA ++最小; ⑤三角形内到三边距离之积最大的点是重心;反之亦然(即满足上述条件之一,则G 为△ABC 的重心). 24. 垂心:三角形的三条高线的交点;)cos cos cos cos cos cos ,cos cos cos cos cos cos (Cc B b A a y C c y B b y A a C c B b A a x C c x B b x A a H C B A C B A ++++++++ 垂心性质:(1)三角形任一顶点到垂心的距离,等于外心到对边的距离的2倍;(2)垂心H 关于△ABC 的三边的对称点,均在△ABC 的外接圆上;(3)△ABC 的垂心为H ,则△ABC ,△ABH ,△BCH ,△ACH 的外接圆是等圆;(4)设O ,H 分别为△ABC 的外心和垂心,则HCA BCO ABH CBO HAC BAO ∠=∠∠=∠∠=∠,,.25. 内心:三角形的三条角分线的交点—内接圆圆心,即内心到三角形各边距离相等;),(cb a cy by ayc b a cx bx ax I C B A C B A ++++++++ 内心性质:(1)设I 为△ABC 的内心,则I 到△ABC 三边的距离相等,反之亦然;(2)设I 为△ABC 的内心,则C AIB B AIC A BIC ∠+︒=∠∠+︒=∠∠+︒=∠2190,2190,2190; (3)三角形一内角平分线与其外接圆的交点到另两顶点的距离与到内心的距离相等;反之,若A ∠平分线交△ABC 外接圆于点K ,I 为线段AK 上的点且满足KI=KB ,则I 为△ABC 的内心;(4)设I 为△ABC 的内心,,,,c AB b AC a BC === A ∠平分线交BC 于D ,交△ABC 外接圆于点K ,则ac b KD IK KI AK ID AI +===; (5)设I 为△ABC 的内心,,,,c AB b AC a BC ===I 在AB AC BC ,,上的射影分别为F E D ,,,内切圆半径为r ,令)(21c b a p ++=,则①pr S ABC =∆;②c p CD CE b p BF BD a p AF AE −==−==−==;;;③CI BI AI p abcr ⋅⋅⋅=.26. 外心:三角形的三条中垂线的交点——外接圆圆心,即外心到三角形各顶点距离相等; )2sin 2sin 2sin 2sin 2sin 2sin ,2sin 2sin 2sin 2sin 2sin 2sin (C B A Cy By Ay C B A Cx Bx Ax O C B A C B A ++++++++ 外心性质:(1)外心到三角形各顶点距离相等;(2)设O 为△ABC 的外心,则A BOC ∠=∠2或A BOC ∠−︒=∠2360;(3)∆=S abc R 4;(4)锐角三角形的外心到三边的距离之和等于其内切圆与外接圆半径之和.27. 旁心:一内角平分线与两外角平分线交点——旁切圆圆心;设△ABC 的三边,,,c AB b AC a BC ===令)(21c b a p ++=,分别与AB AC BC ,,外侧相切的旁切圆圆心记为C B A I I I ,,,其半径分别记为C B A r r r ,,. 旁心性质:(1),21,2190A C BI C BI A C BI C B A ∠=∠=∠∠−︒=∠(对于顶角B ,C 也有类似的式子); (2))(21C A I I I C B A ∠+∠=∠; (3)设A AI 的连线交△ABC 的外接圆于D ,则DC DB DI A ==(对于C B CI BI ,有同样的结论);(4)△ABC 是△I A I B I C 的垂足三角形,且△I A I B I C 的外接圆半径'R 等于△ABC 的直径为2R .28. 三角形面积公式:C B A R R abc C ab ah S a ABC sin sin sin 24sin 21212====∆)cot cot (cot 4222C B A c b a ++++= ))()((c p b p a p p pr −−−==,其中a h 表示BC 边上的高,R 为外接圆半径,r 为内切圆半径,)(21c b a p ++=. 29. 三角形中内切圆,旁切圆和外接圆半径的相互关系:;2sin 2cos 2cos 4,2cos 2sin 2cos 4,2cos 2cos 2sin 4;2sin 2sin 2sin4C B A R r C B A R r C B A R r C B A R r c b a ==== .1111;2tan 2tan ,2tan 2tan ,2tan 2tan r r r r B A r r C A r r C B r r c b a c b a =++=== 30. 梅涅劳斯(Menelaus )定理:设△ABC 的三边BC 、CA 、AB 或其延长线和一条不经过它们任一顶点的直线的交点分别为P 、Q 、R 则有 1=⋅⋅RBAR QA CQ PC BP .(逆定理也成立)31.梅涅劳斯定理的应用定理1:设△ABC的∠A的外角平分线交边CA于Q,∠C的平分线交边AB于R,∠B的平分线交边CA于Q,则P、Q、R三点共线.32.梅涅劳斯定理的应用定理2:过任意△ABC的三个顶点A、B、C作它的外接圆的切线,分别和BC、CA、AB的延长线交于点P、Q、R,则P、Q、R三点共线.33.塞瓦(Ceva)定理:设X、Y、Z分别为△ABC的边BC、CA、AB上的一点,则AX、BY、CZ所在直线交于一点的充要条件是AZZB·BXXC·CYYA=1.34.塞瓦定理的应用定理:设平行于△ABC的边BC的直线与两边AB、AC的交点分别是D、E,又设BE和CD交于S,则AS一定过边BC的中点M.35.塞瓦定理的逆定理:(略)36.塞瓦定理的逆定理的应用定理1:三角形的三条中线交于一点,三角形的三条高线交于一点,三角形的三条角分线交于一点.37.塞瓦定理的逆定理的应用定理2:设△ABC的内切圆和边BC、CA、AB分别相切于点R、S、T,则AR、BS、CT交于一点.38.西摩松(Simson)定理:从△ABC的外接圆上任意一点P向三边BC、CA、AB或其延长线作垂线,设其垂足分别是D、E、R,则D、E、R共线,(这条直线叫西摩松线Simson line).39.西摩松定理的逆定理:(略)40.关于西摩松线的定理1:△ABC的外接圆的两个端点P、Q关于该三角形的西摩松线互相垂直,其交点在九点圆上.41.关于西摩松线的定理2(安宁定理):在一个圆周上有4点,以其中任三点作三角形,再作其余一点的关于该三角形的西摩松线,这些西摩松线交于一点.42.史坦纳定理:设△ABC的垂心为H,其外接圆的任意点P,这时关于△ABC的点P的西摩松线通过线段PH的中心.43.史坦纳定理的应用定理:△ABC的外接圆上的一点P的关于边BC、CA、AB的对称点和△ABC的垂心H同在一条(与西摩松线平行的)直线上.这条直线被叫做点P关于△ABC的镜象线.44.牛顿定理1:四边形两条对边的延长线的交点所连线段的中点和两条对角线的中点,三点共线.这条直线叫做这个四边形的牛顿线.45.牛顿定理2:圆外切四边形的两条对角线的中点,及该圆的圆心,三点共线.46.笛沙格定理1:平面上有两个三角形△ABC、△DEF,设它们的对应顶点(A和D、B和E、C和F)的连线交于一点,这时如果对应边或其延长线相交,则这三个交点共线.47.笛沙格定理2:相异平面上有两个三角形△ABC、△DEF,设它们的对应顶点(A和D、B和E、C和F)的连线交于一点,这时如果对应边或其延长线相交,则这三个交点共线.48.波朗杰、腾下定理:设△ABC的外接圆上的三点为P、Q、R,则P、Q、R关于△ABC交于一点的充要条件是:弧AP+弧BQ+弧CR=0(mod2 ) .49.波朗杰、腾下定理推论1:设P、Q、R为△ABC的外接圆上的三点,若P、Q、R关于△ABC的西摩松线交于一点,则A、B、C三点关于△PQR的的西摩松线交于与前相同的一点.50.波朗杰、腾下定理推论2:在推论1中,三条西摩松线的交点是A、B、C、P、Q、R六点任取三点所作的三角形的垂心和其余三点所作的三角形的垂心的连线段的中点.51.波朗杰、腾下定理推论3:考查△ABC的外接圆上的一点P的关于△ABC的西摩松线,如设QR为垂直于这条西摩松线该外接圆的弦,则三点P、Q、R的关于△ABC的西摩松线交于一点.52.波朗杰、腾下定理推论4:从△ABC的顶点向边BC、CA、AB引垂线,设垂足分别是D、E、F,且设边BC、CA、AB的中点分别是L、M、N,则D、E、F、L、M、N六点在同一个圆上,这时L、M、N点关于关于△ABC的西摩松线交于一点.53. 卡诺定理:通过△ABC 的外接圆的一点P ,引与△ABC 的三边BC 、CA 、AB 分别成同向的等角的直线PD 、PE 、PF ,与三边的交点分别是D 、E 、F ,则D 、E 、F 三点共线.54. 奥倍尔定理:通过△ABC 的三个顶点引互相平行的三条直线,设它们与△ABC 的外接圆的交点分别是L 、M 、N ,在△ABC 的外接圆上取一点P ,则PL 、PM 、PN 与△ABC 的三边BC 、CA 、AB 或其延长线的交点分别是D 、E 、F ,则D 、E 、F 三点共线.55. 清宫定理:设P 、Q 为△ABC 的外接圆的异于A 、B 、C 的两点,P 点的关于三边BC 、CA 、AB 的对称点分别是U 、V 、W ,这时,QU 、QV 、QW 和边BC 、CA 、AB 或其延长线的交点分别是D 、E 、F ,则D 、E 、F 三点共线.56. 他拿定理:设P 、Q 为关于△ABC 的外接圆的一对反点,点P 的关于三边BC 、CA 、AB 的对称点分别是U 、V 、W ,这时,如果QU 、QV 、QW 和边BC 、CA 、AB 或其延长线的交点分别是D 、E 、F ,则D 、E 、F 三点共线.(反点:P 、Q 分别为圆O 的半径OC 和其延长线的两点,如果OC 2=OQ ×OP 则称P 、Q 两点关于圆O 互为反点)57. 朗古来定理:在同一圆周上有A 1、B 1、C 1、D 1四点,以其中任三点作三角形,在圆周取一点P ,作P 点的关于这4个三角形的西摩松线,再从P 向这4条西摩松线引垂线,则四个垂足在同一条直线上.58. 从三角形各边的中点,向这条边所对的顶点处的外接圆的切线引垂线,这些垂线交于该三角形的九点圆的圆心.59. 一个圆周上有n 个点,从其中任意n -1个点的重心,向该圆周的在其余一点处的切线所引的垂线都交于一点.60. 康托尔定理1:一个圆周上有n 个点,从其中任意n -2个点的重心向余下两点的连线所引的垂线共点.61. 康托尔定理2:一个圆周上有A 、B 、C 、D 四点及M 、N 两点,则M 和N 点关于四个三角形△BCD 、△CDA 、△DAB 、△ABC 中的每一个的两条西摩松线的交点在同一直线上.这条直线叫做M 、N 两点关于四边形ABCD 的康托尔线.62. 康托尔定理3:一个圆周上有A 、B 、C 、D 四点及M 、N 、L 三点,则M 、N 两点的关于四边形ABCD 的康托尔线、L 、N 两点的关于四边形ABCD 的康托尔线、M 、L 两点的关于四边形ABCD 的康托尔线交于一点.这个点叫做M 、N 、L 三点关于四边形ABCD 的康托尔点.63. 康托尔定理4:一个圆周上有A 、B 、C 、D 、E 五点及M 、N 、L 三点,则M 、N 、L 三点关于四边形BCDE 、CDEA 、DEAB 、EABC 中的每一个康托尔点在一条直线上.这条直线叫做M 、N 、L 三点关于五边形A 、B 、C 、D 、E 的康托尔线.64. 费尔巴赫定理:三角形的九点圆与内切圆和旁切圆相切.65. 莫利定理:将三角形的三个内角三等分,靠近某边的两条三分角线相得到一个交点,则这样的三个交点可以构成一个正三角形.这个三角形常被称作莫利正三角形.66. 布利安松定理:连结外切于圆的六边形ABCDEF 相对的顶点A 和D 、B 和E 、C 和F ,则这三线共点.67. 帕斯卡(Paskal )定理:圆内接六边形ABCDEF 相对的边AB 和DE 、BC 和EF 、CD 和F A 的(或延长线的)交点共线.68. 阿波罗尼斯(Apollonius )定理:到两定点A 、B 的距离之比为定比m :n (值不为1)的点P ,位于将线段AB 分成m :n 的内分点C 和外分点D 为直径两端点的定圆周上.这个圆称为阿波罗尼斯圆.69. 库立奇*大上定理:(圆内接四边形的九点圆)圆周上有四点,过其中任三点作三角形,这四个三角形的九点圆圆心都在同一圆周上,我们把过这四个九点圆圆心的圆叫做圆内接四边形的九点圆.70. 密格尔(Miquel )点: 若AE 、AF 、ED 、FB 四条直线相交于A 、B 、C 、D 、E 、F 六点,构成四个三角形,它们是△ABF 、△AED 、△BCE 、△DCF ,则这四个三角形的外接圆共点,这个点称为密格尔点.71. 葛尔刚(Gergonne )点:△ABC 的内切圆分别切边AB 、BC 、CA 于点D 、E 、F ,则AE 、BF 、CD 三线共点,这个点称为葛尔刚点.72. 欧拉关于垂足三角形的面积公式:O 是三角形的外心,M 是三角形中的任意一点,过M 向三边作垂线,三个垂足形成的三角形的面积,其公式: 222ABC D 4||R d R S S EF −=∆∆.。
数学奥赛平面几何

《竞赛数学解题研究》之平面几何专题一、平面几何中的一些重要定理:1、梅涅劳斯定理:设D 、E 、F 分别是ABC ∆三边(或其延长线)上的三点,则D 、E 、F 三点共线的充要条件是1=⋅⋅EACEFC BF DB AD 。
2、塞瓦定理:设D 、E 、F 分别是ABC ∆三边(或其延长线)上的三点,则AF 、BE 、CD 三点共线的充要条件是1=⋅⋅EACEFC BF DB AD 。
3、托勒密定理:四边形ABCD 内接于圆的充要条件是CD BC CD AB BD AC ⋅+⋅=⋅4、西摩松定理:设P 是ABC ∆外接圆上任一点,过P 向ABC ∆的三边分别作垂线,设垂足为D 、E 、F ,则D 、E 、F 三点共线。
5、斯德瓦特定理:设P 是ABC ∆的边BC 边上的任一点,则BC PC BP AP BC AB PC AC BP ⋅⋅+⋅=⋅+⋅2226、共角定理:设ABC ∆和C B A '''∆中有一个角相等或互补(不妨设A=A ')则 C A B A ACAB S S C B A ABC ''⋅''⋅='''∆∆7、共边定理:设ABC ∆和C B A '''∆中有一个边相等,则CA B A ACAB S S C B A ABC ''⋅''⋅='''∆∆举例说明:1、设M 、N 分别是正六边形ABCDEF 的对角线AC 、CE 上的点,且AM:AC=CN:CE=k,如果BMN 三点共线,试求k 。
(IMO23,1982)2、在四边形ABCD 中,ABD ∆、BCD ∆、ABC ∆的面积之比为3:4:1,点M 、N 分别 是AC 、CD 上的点,且AM:AC=CN:CD, 并且BMN 三点共线,求证:M 、N 分别是AC 、 CD 的中点。
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第一讲 注意添加平行线证题在同一平面内,不相交的两条直线叫平行线.平行线是初中平面几何最基本的,也是非常重要的图形.在证明某些平面几何问题时,若能依据证题的需要,添加恰当的平行线,则能使证明顺畅、简洁.添加平行线证题,一般有如下四种情况. 1 为了改变角的位置大家知道,两条平行直线被第三条直线所截,同位角相等,内错角相等,同旁内角互补.利用这些性质,常可通过添加平行线,将某些角的位置改变,以满足求解的需要.例1 设P 、Q 为线段BC 上两点,且BP =CQ ,A 为BC 外一动点(如图1).当点A 运动到使 ∠BAP =∠CAQ 时,△ABC 是什么三角形?试证明你的结论. 答: 当点A 运动到使∠BAP =∠CAQ 时,△ABC 为等腰三角形. 证明:如图1,分别过点P 、B 作AC 、AQ 的平行线得交点D .连结DA .在△DBP =∠AQC 中,显然∠DBP =∠AQC ,∠DPB =∠C .由BP =CQ ,可知 △DBP ≌△AQC . 有DP =AC ,∠BDP =∠QAC . 于是,DA ∥BP ,∠BAP =∠BDP .则A 、D 、B 、P 四点共圆,且四边形ADBP 为等腰梯形.故AB =DP . 所以AB =AC .这里,通过作平行线,将∠QAC “平推”到∠BDP 的位置.由于A 、D 、B 、P 四点共圆,使证明很顺畅.例2 如图2,四边形ABCD 为平行四边形,∠BAF =∠BCE .求证:∠EBA =∠ADE . 证明:如图2,分别过点A 、B 作ED 、EC 的平行线,得交点P ,连PE .由AB CD ,易知△PBA ≌△ECD .有PA =ED ,PB =EC .∥=ADBP Q图1PE D G A B FC图2显然,四边形PBCE 、PADE 均为平行四边形.有 ∠BCE =∠BPE ,∠APE =∠ADE . 由∠BAF =∠BCE ,可知 ∠BAF =∠BPE .有P 、B 、A 、E 四点共圆. 于是,∠EBA =∠APE . 所以,∠EBA =∠ADE .这里,通过添加平行线,使已知与未知中的四个角通过P 、B 、A 、E 四点共圆,紧密联系起来.∠APE 成为∠EBA 与∠ADE 相等的媒介,证法很巧妙. 2 欲“送”线段到当处利用“平行线间距离相等”、“夹在平行线间的平行线段相等”这两条,常可通过添加平行线,将某些线段“送”到恰当位置,以证题.例3 在△ABC 中,BD 、CE 为角平分线,P 为ED 上任意一点.过P 分别作AC 、AB 、BC 的垂线,M 、N 、Q 为垂足.求证:PM +PN =PQ .证明:如图3,过点P 作AB 的平行线交BD 于F ,过点F 作BC 的平行线分别交PQ 、AC 于K 、G ,连PG .由BD 平行∠ABC ,可知点F 到AB 、BC 两边距离相等.有KQ =PN . 显然,PD EP =FD EF =GDCG,可知PG ∥EC . 由CE 平分∠BCA ,知GP 平分∠FGA .有PK =PM .于是, PM +PN =PK +KQ =PQ .这里,通过添加平行线,将PQ “掐开”成两段,证得PM =PK ,就有PM +PN =PQ .证法非常简捷.3 为了线段比的转化由于“平行于三角形一边的直线截其它两边,所得对应线段成比例”,在一些问题中,可以通过添加平行线,实现某些线段比的良性转化.这在平面几何证题中是会经常遇到的.例4 设M 1、M 2是△ABC 的BC 边上的点,且BM 1=CM 2.任作一直线分别交AB 、AC 、AM 1、ANE B QKG CD M FP 图3AM 2于P 、Q 、N 1、N 2.试证:AP AB +AQAC=11AN AM +22AN AM .证明:如图4,若PQ ∥BC ,易证结论成立. 若PQ 与BC 不平行,设PQ 交直线BC 于D .过点A 作PQ 的平行线交直线BC 于E .由BM 1=CM 2,可知BE +CE =M 1E +M 2E ,易知AP AB =DE BE ,AQ AC =DECE,11AN AM =DE E M 1,22AN AM =DE E M 2. 则AP AB +AQ AC =DECEBE +=DE E M E M 21+=11AN AM +22AN AM . 所以,AP AB +AQAC=11AN AM +22AN AM .这里,仅仅添加了一条平行线,将求证式中的四个线段比“通分”,使公分母为DE ,于是问题迎刃而解.例5 AD 是△ABC 的高线,K 为AD 上一点,BK 交AC 于E ,CK 交AB 于F .求证:∠FDA =∠EDA . 证明:如图5,过点A 作BC 的平行线,分别交直线DE 、DF 、BE 、CF 于Q 、P 、N 、M .显然,AN BD =KA KD =AMDC. 有BD ·AM =DC ·AN . (1)由BD AP =FB AF =BC AM ,有 AP =BCAM BD ·. (2) 由DC AQ =EC AE =BCAN,有 AQ =BC AN DC ·. (3)对比(1)、(2)、(3)有AP =AQ .显然AD 为PQ 的中垂线,故AD 平分∠PDQ . 所以,∠FDA =∠EDA .这里,原题并未涉及线段比,添加BC 的平行线,就有大量的比例式产生,恰当地运用这些比例式,就使AP 与AQ 的相等关系显现出来.A PEDC M 2M 1BQN 1N 2图4图5MP A Q NFBDCEK4 为了线段相等的传递当题目给出或求证某点为线段中点时,应注意到平行线等分线段定理,用平行线将线段相等的关系传递开去.例6 在△ABC 中,AD 是BC 边上的中线,点M 在AB 边上,点N 在AC 边上,并且∠MDN =90°.如果BM 2+CN 2=DM 2+DN 2,求证:AD 2=41(AB 2+AC 2). 证明:如图6,过点B 作AC 的平行线交ND 延长线于E .连ME . 由BD =DC ,可知ED =DN .有 △BED ≌△CND .于是,BE =NC .显然,MD 为EN 的中垂线.有EM =MN . 由BM 2+BE 2=BM 2+NC 2=MD 2+DN 2=MN 2=EM 2,可知△BEM 为直角三角形,∠MBE =90°.有∠ABC +∠ACB =∠ABC +∠EBC =90°. 于是,∠BAC =90°.所以,AD 2=221⎪⎭⎫⎝⎛BC =41(AB 2+AC 2).这里,添加AC 的平行线,将BC 的以D 为中点的性质传递给EN ,使解题找到出路. 例7 如图7,AB 为半圆直径,D 为AB 上一点,分别在半圆上取点E 、F ,使EA =DA ,FB =DB .过D 作AB 的垂线,交半圆于C .求证:CD 平分EF .证明:如图7,分别过点E 、F 作AB 的垂线,G 、H 为垂足,连FA 、EB . 易知DB 2=FB 2=AB ·HB ,AD 2=AE 2=AG ·AB .二式相减,得 DB 2-AD 2=AB ·(HB -AG ),或 (DB -AD )·AB =AB ·(HB -AG ).于是,DB -AD =HB -AG ,或 DB -HB =AD -AG . 就是DH =GD . 显然,EG ∥CD ∥FH . 故CD 平分EF .图6ANCDEBMAGD O H BFC E图7这里,为证明CD 平分EF ,想到可先证CD 平分GH .为此添加CD 的两条平行线EG 、FH ,从而得到G 、H 两点.证明很精彩. 经过一点的若干直线称为一组直线束.一组直线束在一条直线上截得的线段相等,在该直线的平行直线上截得的线段也相等. 如图8,三直线AB 、AN 、AC 构成一组直线束,DE 是与BC 平行的直线.于是,有BN DM =AN AM =NC ME ,即 BN DM=NCME 或ME DM =NC BN . 此式表明,DM =ME 的充要条件是 BN =NC .利用平行线的这一性质,解决某些线段相等的问题会很漂亮.例8 如图9,ABCD 为四边形,两组对边延长后得交点E 、F ,对角线BD ∥EF ,AC 的延长 线交EF 于G .求证:EG =GF .证明:如图9,过C 作EF 的平行线分别交AE 、AF 于M 、N .由BD ∥EF ,可知MN ∥BD .易知S △BEF =S △DEF .有S △BEC =S △ⅡKG - *5ⅡDFC . 可得MC =CN . 所以,EG =GF .例9 如图10,⊙O 是△ABC 的边BC 外的旁切圆,D 、E 、F 分别为⊙O 与BC 、CA 、AB 的切点.若OD 与EF 相交于K ,求证:AK 平分BC .证明:如图10,过点K 作BC 的行平线分别交直线AB 、AC 于Q 、P 两点,连OP 、OQ 、OE 、OF .由OD ⊥BC ,可知OK ⊥PQ .由OF ⊥AB ,可知O 、K 、F 、Q 四点共圆,有 ∠FOQ =∠FKQ .图8ADBN CEM 图9ABM E N D C GO图10由OE ⊥AC ,可知O 、K 、P 、E 四点共圆.有 ∠EOP =∠EKP . 显然,∠FKQ =∠EKP ,可知 ∠FOQ =∠EOP .由OF =OE ,可知 Rt △OFQ ≌Rt △OEP . 则OQ =OP . 于是,OK 为PQ 的中垂线,故 QK =KP . 所以,AK 平分BC .综上,我们介绍了平行线在平面几何问题中的应用.同学们在实践中应注意适时添加平行线,让平行线在平面几何证题中发挥应有的作用.练习题1. 四边形ABCD 中,AB =CD ,M 、N 分别为AD 、BC 的中点,延长BA 交直线NM 于E ,延长CD 交直线NM 于F .求证:∠BEN =∠CFN .(提示:设P 为AC 的中点,易证PM =PN .)2. 设P 为△ABC 边BC 上一点,且PC =2PB .已知∠ABC =45°,∠APC =60°.求∠ACB . (提示:过点C 作PA 的平行线交BA 延长线于点D .易证△ACD ∽△PBA .答:75°)3. 六边开ABCDEF 的各角相等,FA =AB =BC ,∠EBD =60°,S △EBD =60cm 2.求六边形ABCDEF 的面积.(提示:设EF 、DC 分别交直线AB 于P 、Q ,过点E 作DC 的平行线交AB 于点M .所求面积与EMQD 面积相等.答:120cm 2)4. AD 为Rt △ABC 的斜边BC 上的高,P 是AD 的中点,连BP 并延长交AC 于E .已知AC :AB =k .求AE :EC .(提示:过点A 作BC 的平行线交BE 延长线于点F .设BC =1,有AD =k ,DC =k 2.答:211k) 5. AB 为半圆直径,C 为半圆上一点,CD ⊥AB 于D ,E 为DB 上一点,过D 作CE 的垂线交CB 于F .求证:DE AD =FBCF.(提示:过点F 作AB 的平行线交CE 于点H .H 为△CDF 的垂心.)6. 在△ABC 中,∠A :∠B :∠C =4:2:1,∠A 、∠B 、∠C 的对边分别为a 、b 、c .求证:a 1+b 1=c1. (提示:在BC 上取一点D ,使AD =AB .分别过点B 、C 作AD 的平行线交直线CA 、BA 于点E 、F .)7. 分别以△ABC 的边AC 和BC 为一边在△ABC 外作正方形ACDE 和CBFG ,点P 是EF 的中点.求证:P 点到边AB 的距离是AB 的一半.8. △ABC 的内切圆分别切BC 、CA 、AB 于点D 、E 、F ,过点F 作BC 的平行线分别交直线DA 、DE 于点H 、G .求证:FH =HG .(提示:过点A 作BC 的平行线分别交直线DE 、DF 于点M 、N .)9. AD 为⊙O 的直径,PD 为⊙O 的切线,PCB 为⊙O 的割线,PO 分别交AB 、AC 于点M 、N .求证:OM =ON .(提示:过点C 作PM 的平行线分别交AB 、AD 于点E 、F .过O 作BP 的垂线,G 为垂足.AB ∥GF .)第二讲 巧添辅助 妙解竞赛题在某些数学竞赛问题中,巧妙添置辅助圆常可以沟通直线形和圆的内在联系,通过圆的有关性质找到解题途径.下面举例说明添置辅助圆解初中数学竞赛题的若干思路. 1 挖掘隐含的辅助圆解题有些问题的题设或图形本身隐含着“点共圆”,此时若能把握问题提供的信息,恰当补出辅助圆,并合理挖掘图形隐含的性质,就会使题设和结论的逻辑关系明朗化. 1.1 作出三角形的外接圆例1 如图1,在△ABC 中,AB =AC ,D 是底边BC 上一点,E 是线段AD 上一点ABGCD FE图1且∠BED =2∠CED =∠A .求证:BD =2CD .分析:关键是寻求∠BED =2∠CED 与结论的联系.容易想到作∠BED 的平分线, 但因BE ≠ED ,故不能直接证出BD =2CD .若延长AD 交△ABC 的外接圆于F , 则可得EB =EF ,从而获取.证明:如图1,延长AD 与△ABC 的外接圆相交于点F ,连结CF 与BF ,则∠BFA =∠BCA =∠ABC =∠AFC ,即∠BFD =∠CFD .故BF :CF =BD :DC .又∠BEF =∠BAC ,∠BFE =∠BCA ,从而∠FBE =∠ABC =∠ACB =∠BFE . 故EB =EF .作∠BEF 的平分线交BF 于G ,则BG =GF . 因∠GEF =21∠BEF =∠CEF ,∠GFE =∠CFE ,故△FEG ≌△FEC .从而GF =FC . 于是,BF =2CF .故BD =2CD . 1.2 利用四点共圆例2 凸四边形ABCD 中,∠ABC =60°,∠BAD =∠BCD =90°, AB =2,CD =1, 对角线AC 、BD 交于点O ,如图2.则sin ∠AOB =____. 分析:由∠BAD =∠BCD =90°可知A 、B 、C 、D四点共圆,欲求sin ∠AOB ,联想到托勒密定理,只须求出BC 、AD 即可.解:因∠BAD =∠BCD =90°,故A 、B 、C 、D 四点共圆.延长BA 、CD 交于P ,则∠ADP =∠ABC =60°.设AD =x ,有AP =3x ,DP =2x .由割线定理得(2+3x )3x =2x (1+2x ). 解得AD =x =23-2,BC =21BP =4-3. 由托勒密定理有 BD ·CA =(4-3)(23-2)+2×1=103-12. 又S ABCD =S △ABD +S △BCD =233. 故sin ∠AOB =263615 . ABCDPO 图2ABPQDHC例3 已知:如图3,AB =BC =CA =AD ,AH ⊥CD 于H ,CP ⊥BC ,CP 交AH 于P .求证: △ABC 的面积S =43AP ·BD . 分析:因S △ABC =43BC 2=43AC ·BC ,只 须证AC ·BC =AP ·BD ,转化为证△APC ∽△BCD .这由A 、B 、C 、Q 四点共圆易证(Q 为BD 与AH 交点).证明:记BD 与AH 交于点Q ,则由AC =AD ,AH ⊥CD 得∠ACQ =∠ADQ . 又AB =AD ,故∠ADQ =∠ABQ .从而,∠ABQ =∠ACQ .可知A 、B 、C 、Q 四点共圆. ∵∠APC =90°+∠PCH =∠BCD ,∠CBQ =∠CAQ , ∴△APC ∽△BCD . ∴AC ·BC =AP ·BD . 于是,S =43AC ·BC =43AP ·BD . 2 构造相关的辅助圆解题有些问题貌似与圆无关,但问题的题设或结论或图形提供了某些与圆的性质相似的信息,此时可大胆联想构造出与题目相关的辅助圆,将原问题转化为与圆有关的问题加以解决. 2.1 联想圆的定义构造辅助圆例4 如图4,四边形ABCD 中,AB ∥CD ,AD =DC =DB =p ,BC =q .求对角线AC 的长. 分析:由“AD =DC =DB =p ”可知A 、B 、C 在半径为p 的⊙D 上.利用圆的性质即 可找到AC 与p 、q 的关系.解:延长CD 交半径为p 的⊙D 于E 点,连结AE .显然A 、B 、C 在⊙D 上.A EDCB图4∵AB ∥CD ,∴BC =AE . 从而,BC =AE =q .在△ACE 中,∠CAE =90°,CE =2p ,AE =q ,故 AC =22AE CE -=224q p -.2.2 联想直径的性质构造辅助圆例5 已知抛物线y =-x 2+2x +8与x 轴交于B 、C 两点,点D 平分BC .若在x A 点为抛物线上的动点,且∠BAC 为锐角,则AD 的取值范围是____.分析:由“∠BAC 为锐角”可知点A 在以定线段BC 为直径的圆外,又点A 在x 轴上 侧,从而可确定动点A 的范围,进而确定AD 的取值范围.解:如图5,所给抛物线的顶点为A 0(1,9),对称轴为x =1,与x 轴交于两点B (-2,0)、C (4,0).分别以BC 、DA 为直径作⊙D 、⊙E ,则两圆与抛物线均交于两点P (1-22,1)、Q (1+22,1).可知,点A 在不含端点的抛物线PA 0Q 内时,∠BAC <90°.且有3=DP =DQ <AD ≤DA 0=9,即AD 的取值范围是3<AD ≤9. 2.3 联想圆幂定理构造辅助圆例6 AD 是Rt △ABC 斜边BC 上的高,∠B 的平行线交AD 于M ,交AC 于N .求证:AB 2-AN 2=BM ·BN .分析:因AB 2-AN 2=(AB +AN )(AB -AN )=BM ·BN ,而由题设易知AM =AN ,联想割线定理,构造辅助圆即可证得结论. 证明:如图6,∵∠2+∠3=∠4+∠5=90°,又∠3=∠4,∠1=∠5, ∴∠1=∠2.从而,AM =AN .图5EA NCD BFM 12345图6以AM长为半径作⊙A,交AB于F,交BA的延长线于E.则AE=AF=AN.由割线定理有BM·BN=BF·BE=(AB+AE)(AB-AF)=(AB+AN)(AB-AN) =AB2-AN2,即AB2-AN2=BM·BN.例7如图7,ABCD是⊙O的内接四边形,延长AB和DC相交于E,延长AB和DC相交于E,延长AD和BC相交于F,EP和FQ分别切⊙O于P、Q.求证:EP2+FQ2=EF2.分析:因EP和FQ是⊙O的切线,由结论联想到切割线定理,构造辅助圆使EP、FQ向EF转化.证明:如图7,作△BCE的外接圆交EF于G,连结CG.因∠FDC=∠ABC=∠CGE,故F、D、C、G四点共圆.由切割线定理,有EF2=(EG+GF)·EF=EG·EF+GF·EF=EC·ED+FC·FB=EC·ED+FC·FB=EP2+FQ2,即EP2+FQ2=EF2.2.4 联想托勒密定理构造辅助圆例8如图8,△ABC与△A'B'C'的三边分别为a、b、c与a'、b'、c',且∠B=∠B',∠A+∠A=180°.试证:aa'=bb'+cc'. 分析:因∠B=∠B',∠A+∠A'=180°,由结论联想到托勒密定理, 构造圆内接四边形加以证明.证明:作△ABC的外接圆,过C作CD∥AB交圆于D,连结AD和BD, 如图9所示. ∵∠A+∠A'=180°=∠A+∠D,∠BCD=∠B=∠B',(1)(2)图8AB CA'B'C' caba'c'b'ABCDabbc图9∴∠A '=∠D ,∠B '=∠BCD . ∴△A 'B 'C '∽△DCB . 有DC B A ''=CB C B ''=DBC A '', 即 DC c '=aa '=DBb '. 故DC =''a ac ,DB =''a ab .又AB ∥DC ,可知BD =AC =b ,BC =AD =a .从而,由托勒密定理,得 AD ·BC =AB ·DC +AC ·BD , 即 a 2=c ·''a ac +b ·''a ab . 故aa '=bb '+cc '. 练习题1. 作一个辅助圆证明:△ABC 中,若AD 平分∠A ,则AC AB =DCBD. (提示:不妨设AB ≥AC ,作△ADC 的外接圆交AB 于E ,证△ABC ∽△DBE ,从而AC AB =DEBD=DCBD.) 2. 已知凸五边形ABCDE 中,∠BAE =3a ,BC =CD =DE ,∠BCD =∠CDE =180°-2a .求证:∠BAC =∠CAD =∠DAE .(提示:由已知证明∠BCE =∠BDE =180°-3a ,从而A 、B 、C 、D 、E 共圆,得∠BAC =∠CAD =∠DAE .)3. 在△ABC 中AB =BC ,∠ABC =20°,在AB 边上取一点M ,使BM =AC .求∠AMC 的度数. (提示:以BC 为边在△ABC 外作正△KBC ,连结KM ,证B 、M 、C 共圆,从而∠BCM =21∠BKM =10°,得∠AMC =30°.) 4.如图10,AC 是ABCD 较长的对角线,过C 作CF ⊥AF ,CE ⊥AE .F DABEC图10求证:AB ·AE +AD ·AF =AC 2. (提示:分别以BC 和CD 为直径作圆交AC 于点G 、H .则CG =AH ,由割线定理可证得结论.)5. 如图11.已知⊙O 1和⊙O 2相交于A 、B ,直线CD 过A 交⊙O 1和⊙O 2于C 、D , 且AC =AD ,EC 、ED 分别切两圆于C 、D .求证:AC 2=AB ·AE . (提示:作△BCD 的外接圆⊙O 3,延长BA 交⊙O 3于F ,证E 在⊙O 3上, 得△ACE ≌△ADF ,从而AE =AF ,由相交弦定理即得结论.) 6.已知E 是△ABC 的外接圆之劣弧BC 的中点. 求证:AB ·AC =AE 2-BE 2.(提示:以BE 为半径作辅助圆⊙E ,交AE 及其延长线于N 、M ,由△ANC ∽△ABM 证AB ·AC =AN ·AM .)7. 若正五边形ABCDE 的边长为a ,对角线长为b ,试证:a b -ba=1. (提示:证b 2=a 2+ab ,联想托勒密定理作出五边形的外接圆即可证得.)第三讲 点共线、线共点在本小节中包括点共线、线共点的一般证明方法及梅涅劳斯定理、塞瓦定理的应用。