2010年广东高考试题数学文解析版

试卷类型：B
绝密★启用前
2010年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）
数学（文科）
本试卷共4页，21小题，满分150分。

考试用时120分钟。

注意事项：1•答卷时，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室、座位号填写在答题卡上。

用2B铅笔将试卷类型（B）
填涂在答题卡相应位置上。

将条形码横贴在答题卡右上角“条形码
粘贴处”
2. 选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的
答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，
答案不能答在试卷上。

3. 非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡
各题指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后
再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答的答
案无效。

4•作答选作题时，请先用2B铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再作答。

5.考生必须保持答题卡的整洁。

考试结束后，将试卷和答题卡一并交
回。

参考公式：锥体的体积公式V=£sh，其中S是锥体的底面积，h是锥体的高.
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的
1.若集合A二01231, B二讣2,4 1则集合A_. B二
A. 5,1,2,3,41
B. ^1,2,3,4?
解：并集，选A.
2.函数f(x) =lg(x-1)的定义域是
C. ；1,2?
A. (2,
B. (1, ：：)
C. [1,：：)
解：x -1 0，得x 1，选 B.
3.若函数f(x) =3x 3"与g(x)=3x -3」的定义域均为
A. f (x)与g(x)与均为偶函数C. f(x)与g(x)与均为奇函数
B. f (x)为奇函数,
D. f(x)为偶函数,
D. m
D. [2,：：)
R，则
g(x)为偶函数
g(x)为奇函数
=16
〕-匚=30 -冥；
x =
6 B. 5D, 3
S(-x) =3_I-二_孕一严)二_f(x)f故选D
輕：(ds⑧
MJL
(Sa— b) - c= 6 x3 + JT= 30 .v = 4 选 C
6•若夏心在工轨二、辛泾为揖的更o住二p垂三:Th宜与直线工+打丸
相切，恿国O的方程是
A. (.V-V5):+y:=5
B. (x+75): +y;=5
C. (.Y-5)' - y:=5 D* (x-5):+ y:=5
)o
由题意知，圆心在y轴左侧・排除扎、J
在產含鮎0・—=k|=-・fe—= —= -^=>09 = 5・选W
0.4 1 1 2 00 00 75
7.若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是
A.4
B.3
C. -
D.-
5 5 5 5
1 a + u =丄占=（口 + c）* = 4i* = 4（”* - f）
A
整湮得：晁：+2 加-％：=0, 5R 5e; +2e-3 =0 =>e = 4 或总=-1（舍丿，选
B 5
& :c x > 0 '是"\[x~ > 0 '戌空妁
分養伴；
由亍:斗（-1）： =1 > 0:而-m,童、Vv" >o不聂丁>0成工的无分条件
综上：・>旷是咛“”成立的充分非必要条件,选A
史茹图，为正三宾形，平直巨,
解:由…二张氐,唾点法知,选D
10.在集合Qb,c,d ■上定义两种运
算（+和（*如下
已a b c d
a a
b
c d
b b b b b
:设长转为2宀絞举为2苏焦楚为k
J壬充分非必妄条件圧充要条件
巫多面体的正祀更（也称仝衩图）是
图
1
20分。

（一）必做题（11~13题）
抽样调查，其中4位居民的月均用水量分别为
（单位: 吨）。

根据图2所示的程序框图，若分1.5 , 1.5 , 2，则输出的结果s为—|
第一(i i =1)步：3X i = 0 1 = 1
第二(i i =2 )步：Xi =1 1.5 = 2.5第三(i i -3)步：s^ = s1人=2.5 1.5 =4第四(i i =4)步：x i =42=6 ,
第五(i i =5)步：j =5
3 4，输出s =—
别为1，
s」6」4 21否输
出$
结束
1
~s l
I
c c b c b
d d b b d A. a B.b C. c
o a b c d
a a a a a
b a b
c d
c a c c a
d a d a d D. d
解：由上表可知：（a（+® =c,故d ®a€C）=d=a，选A
、填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分
11.某城市缺水问题比较突出，为了制定节水管开始
理办法，对全市居民某年的月均用水量进行了Y Y
12.其吨唇民2002^2009年家屣年平均收入（单住：万元）与年平均支召（单位：
万元）约统计资灵迦二表所示：
20052006200720082009
收入X11, 512. 113沖 f f
1亠d15支出Y S 88t 89, 81012
唱撞统计H.昌壬家匡年平均负■的二住芟涯二・家磁年干■: 均收入与年平均支£ 2 —找性相关羔系。

1工已冬4, b?匚分.别悬△乂BC的三今内凭九B・C所对的总，若口=1’
i = ^T A+C=2B:Kl s inA^ - 』
■\AAAA/^/v* Vv*AA '^AAAAAAA^- ----------------------- ■冷--- 1
舉；由于A+B+O2B+4冀=—巴
由正弦支逞穷：上一二亠一=-^― = 2^ => sin .4 =- siii
A siii J sin 匚
—
r ■
（二）选做题（14、15题，考生只能从中选做一题）
14.（几何证明选讲选做题）如图3，在直角
梯形ABCD 中，DC /AB,CB _ AB ,AB=AD= a ,CD=-, 2
点E,F分别为线段AB,AD的中点，则EF= _|_
解：连结DE ,可知AED为直角三角形。

贝S EF是Rt DEA斜边上的中线，等于斜边的一半，为|.
15.（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系cm （0“乞2二）中，曲线
-■■（ c o^s • s i n ） = 1 与「（cos v - sin R = 1 的交点的极坐标为 .
華：转化为直星坐标.系下x + y =1与p-.vl 的交帚可知交点为：（L 0）
已fe/(f + _l )= r s 求血虫的罠
4 12
5
(1 ) /(0)=3sin(cy 0 + -)
6
)r
: T = — = -^^d? = 4
G) 2
A /(x) = 3sin(4x + -)
o 式、™ . (-
, JT-, ,、花、9 3 + —丿=r 5iii[ 4i. — + —!
I + —」=二 stni.盘 + — I = —! cos 。

=—
12 4 12 6
2 5 5
sin a = ±V1~cos* a - +—
某电视台在一次对收看文艺节目和新闻节目观众的抽样调查中， 随机抽取了 100
名电视观众，相关的数据如下表所示:
文艺节目
新闻节目
总计
20至40岁
40
18
58
/（-把
八4 故：
17. （本小题满分12分） 证
总计5545100
（11由表中数据直娈分析,收看铲可节目的旣丈是否£年赞老关?（2）用分展拄样方辻在杈耆着闾节目的或众R逐玩打玫5名，才川岁时巫众V该扛氐几名？
（3）在上込扛取妁5名亚众中任氐2名，求恰有1名煎众的年龄为20 至40
有关.収看芦丘节目多为年龄大的’
应抽取为人数为: 15)
—J 、# J * 45
由（2）插嚴的、名班众中.专2名观众年龄入于20至
40罗，3名观处的年龄大二40趴
18.（本小题满分14分）
如图4,弧AEC是半径为a的半圆，AC为直径，点E为弧AC的中点，点B
和点C为线段AD的三等分点，平面AEC外一点F满足FC_平面BED,FB=、5a （1）证明：EB _FD
（2）求点B到平面FED的距离.
A
E
(1) 证明：；点E为弧AC的中点
LABE =-,印肛一AC
X FC —平直BED, BE 迁平E BED
二FC _BE
XvF(\ ACe 平面FBD, FCn AC=C
二BE丄平面FBD
vFD皂平面FBD
EB_FD
(2 )筝：FC=4B F- -BC:=辰二= 2a
1 1 ,
'= 一BE *BD = — a * 2a = a~
在Rr^FBE白,FE二+BF：=辰
由于：FD二ED二晶©
19.（本题满分12分）
即点B到平£ FED的距專为
由等级科逹可知:
7 ^sRiESD " FC = — s曲
E
•h
21
某营养师要求为某个儿童预订午餐和晚餐.已知一个单位的午餐含12个单位的
碳水化合物，6个单位的蛋白质和6个单位的维生素C;一个单位的晚餐含8个单位的碳水化合物，6个单位的蛋白质和10个单位的维生素C.另外，该儿童这两餐需要的营状中至少含64个单位的碳水化合物和42个单位的蛋白质和54 个单位的维生素C.
如果一个单位的午餐、晚餐的费用分别是 2.5元和4元，那么要满足上述的
营养要求，并且花费最少，应当为该儿童分别预订多少个单位的午餐和晚餐？解：设为该儿童分别预订x个单位的午餐和y个单位的晚餐，设费用为F，则
F = 2.5x - 4y，由题意知:
C12x +8八64
6x +6y X42
6x +10y 兰54
x 0, y 0
画出可行域:
变换目标函数:y「5x F
8 4
当目标函数过点A,即直线6x + 6y = 42
6x+10v = 54的交点(4, 3),
F 取得最小。

环要溝足营养要求，并且花费最少，E 当为该儿童分壬帀订4人单伎 丁午餐和5个单位的晚餐。

20・(本小题满分14分)
已知函数f(x)对任意实数Jt 均有/(x) = W + 2),其中佐常数为匚I 数,
K /(X )在区间［0, 2］上有表运式/(x) = -<v-2) (1) 求 /(-1),/(2.5)的值;
(2) 写出“0在卜3, 3］上的表达式,并讨论函数“0在［-3, 3］上的 三词性 (3) 求iB/(x)在［-3,3］上的最小值与最大值,并求出相应的自变量 的取值.
解：由于 /(x)=妙(x+ 2) = kg + 4) 当，<1 时,则有/(x) = V(x+2)=jt :/(x + 4)
(1)
/(-I)=妙(1) =
, /(2-5) = /(0.5 + 2) = = ~ K
4K
(2) 当2_x_3时，0_x—2_1
f（x）= y）（x-4）（2*3）
k '
当- 2岂x乞0时,0乞x • 2乞2
f (x)二kf (x 2) = kx(x 2)(-2 < x< 0)
当- 3 空x _ -2 时,一1 乞x • 2 乞0
f (x) = kf (x 2) = k k(x 2)(x 4) = k2 (x 2)(x 4)( -3 _ x _ -2) 厂k2(x+2)(x+4), (—3 兰x 兰一2)
kx(x+2)(—2 兰x 兰0)
f(x)= \
x(x —2)(0 兰x 兰2)
(x_2)(x—4)(2X3)
k
由于上为负数，易匡占/'(对在［-33］的图形’
由图形可応：［-5, -1］为羊词罐区闫；
［-1)1］为巣囲遞星凰;
［1>釘为单调灌区间
(3) 由(2｝可知，
/(X)的最小值出自于/(-3)=-t\/(I) = -1
/W的最大值出自于/H) = -応7(3) = 4
k
耳* — 1 <. Jc < 0 时-—k*> —1 - ——
此时：/(©□ = /(3)=二丿(对“ =/® = T
K
b t音血二一1时二一1, 一上二一丄
T
fC
此时：= /(3) = /(-I) = h吐二/(I) = /(-3) = -1
1
C.当k ：：：-1 时—k? ：：：-1 , - k -
k
此时：f(X)max 二 f (-1) = f(X)min 二 f (-3) = -k?
21.(本小题满分14分)
已知曲线C n：八nx2,点P n(X n,y n)(X n O,y n 0)是曲线C上的点(n =1,2,...),
(1) 试写出曲缰G在人点处的切聂h的方程.并求出J与，轴的交点2的坐标；
(2) 若原点0(0』)到h的童离与线段現2的长度之比取得最大值,试求点p n的坐标(耳曲);
(3) 设聊与上为两木给迄的不同的正整数，兀与儿是满足(2)白条件绚点无的坐标，
证明：三J儿-相+ 1)几＜-岛(0 = 1二…)*
籍:
I : 1 V
切线仁的方程：\ - \\ = ImAx-X.)
起 a 2 r ir g 耳*
$ 玄二0 得J = _2处；十y,2 - _2池玄；+ nx~: - —nx；「即QJO：—nr；)
(2 '切线万程可三戌：2ux^x-v - + i\ =0
r te ・冷*■兀
+1 说+1
P；$J = 亠(饥fr = x Ji + 4/丈
d弧 1 1 \P.Q.. ~ l + 4i?;x； _ = 1——丁
(…密N
旦略'場一 >
玄
(E )p —
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J )
定rl 官 心
占
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吧
富
T T 询M B 询
心
tg 凹一字—怎一
T V
占M .
srHU — sr —
s >+・： + (I —^)+(o 丄)
V
(HL +: ・+-lL +-lL )。