高二数学课件 矩阵和行列式初步

三. 矩阵方程及其求解方法
矩阵方程
解
AX B
X A1 B
XA B
X BA1
AXB C
X A1C B1
例8
设
B
1 0
1 1
01，C
2 0
1 2
13 ，
0 0 1
0 0 2
且 A( E C 1B)T C T B，求 A.
解 : 由于 A( E C 1B)T C T A(C CC 1B)T
错，而是利用下章所介绍的初等变换法.
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3. 利用分块矩阵求逆阵
例6
0
M
0 an
a1
0 0
0
an1
0
，其中a1,, an
0，求
M
1 .
解:
将
M
分 块 为M
0 B
A 0 ,
其中
A
a1
，B (an ).
an1
从而
0 0 1
an
M
1
0 A1
B 1 0
1 a1
0 0 1
0 1 0 0 1 0
解:
因为
A2
1
0
0 1 0
0
0 0 1 0 0 1
＝
1 0
0 1
0 0
，
0 0 1
故 A4 E，从而 A2004 ( A4 )501 E 501 E.
1 0 0 1 0 0
所以
A2004
2 A2
0
1
0 2 0
1 0
0 0 1 0 0 1
2 1 0
0 0 1
3 2 3
0
3 1 3
0
0 .
1 3
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第二章 自测题
一、填空题(8分/题)
1) A为3阶方阵,已知 AA 3E,则| A |
;
| A1 |
| 3( A )2 |
| A |
;
;
; | 8 A1 3 A |
;
2)
设3阶方阵A
O, B
1 2
3 4
5 t ,
k
AB 1 B1A1 ,
; AT
1
A1 T
A1 1 A.
若 A 0，则 A 可逆，且A1 A* ，其中
A
A*为 A的伴随方阵。
6. 分块矩阵
矩阵的分块，主要目的在于简化运算及便于论证． 分块矩阵的运算规则与普通矩阵的运算规则相似．
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典型例题
一、矩阵的运算 二、有关逆矩阵的运算及证明 三、矩阵方程及其求解方法
A1m
A2m
为方阵 A的伴随方阵.
A
AA* A* A
A
An1
An
2
Anm
AE
A
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4. 方阵的行列式
n 由 阶方阵 A 的各元素按原位置排列构成的
行列式，叫做方阵 A 的行列式，记作| A | 或det(A).
运算性质
1 A AT ; 3 AB A B | A || B |;
2. 利用伴随矩阵 A求逆阵
例5
A
a c
b d
，ad
bc
0，求A1
.
解 : 因为|A| ad-bc 0，故 A 可逆.
又 A*
d c
b a
，
从
而
有
A1
ad
1
bc
d c
b a
.
注：对2阶数字方阵求逆一般,都用 A来做，既简便又 迅速，但对3阶及其以上的数字方阵一般不使用 A 求 其逆阵，因为若用 A去做，计算工作量太大且容易出
2. 几种特殊矩阵
零矩阵:
元素全为零的 m n 矩阵，记为:O或 0 mn
行矩阵: 只有一行的矩阵。 a1, a2 , , an
列矩阵:
b 1
只有一列的矩阵。
b 2
b n
方阵: 行数列数皆相等的矩阵。
上三角方阵: 非零元素只可能在主对角线及其上方。
下三角方阵: 非零元素只可能在主对角线及其下方.
由于
aik为实数,故
a ik
0(i
1,2,, n)即
A
0
二、有关逆矩阵的运算及证明
1. 利用定义求逆阵
利用定义求 n 阶方阵 A逆阵，即找或猜或凑一个 n阶方阵 B ，使AB E 或 BA E，从而 A1 B.
例4
a 1
A
，a1
a n
0
(未写出的为0)，
a n
求A1 .
分析 : 求 A1 即找矩阵 B，使 AB E.
且AB
O,则
3 5 3
t
.
3) 已知
A
2 3
31, f ( x) x2 5x 3,
则 f ( A)
.
4) 若n阶矩阵A满足方程A2 2A 3E 0,则
A1
.
3 0 0
5)
设A
0
1
0
,
则An
.
0 0 4
0 0 2
6) 矩阵A 0 5 0的逆矩阵A1 8 0 0
.
二. 证明题 (26分)
由 m n 个数 aij i 1,2,,m; j 1,2,,n
排成的m行 n列的数表
a 11
a 21
a 12
a 22
a 1n
a 2n
a n1
a n2
a nn
称为一个m行 n 列矩阵或 m n矩阵. 记为 A 或 ij
a (a ) ; ij mn
ij 称为矩阵的第i行j列的元素.
元素为实数的称为实矩阵, 元素为复数的称为复矩阵.
0
.
1 an1
0
4. 利用定义证明某一矩阵 B为矩阵 A 的逆阵
分析：这类问题中矩阵A 与 B 是已知的，只需验证
AB E 或 BA E，从而证明B A1.
例7 设 Ak 0 (k 为正整数)，证明
(E A)1 E A A2 Ak1.
证 : 因为(E A)( E A A2 Ak1 ) E A A2 Ak1
. 2 kA k n A; (4) A1A2 An A1 A2 An
5. 逆矩阵
定义 对于n阶矩阵 A ，如果存在 n 阶矩阵B ,使得
AB BA E,
则称 A 为可逆矩阵，B 是 A的逆方阵。
相关定理及性质
若方阵A可逆，则其逆矩阵必唯一。
A 可逆 A 0
A1
1
A
;
kA1 1 A1 ， ( k 0 );
矩阵乘法的运算规律
1 ABC ABC ; 2 AB C AB AC, B C A BA CA;
3 kAB kAB AkB （其中 为数）;
4 Amn En Em Amn A;
n阶方阵的幂:
若A是 n 阶矩阵，定义Ak为A的k次幂,k为正整数，
即 Ak AAA 。规定A0 E
故 A(C B)T B. 从而
1 1 0 1 0 0
A B[(C B)T ]1 0 1 1 2 1 0
0 0 1 1 2 1
3 1 0 3 3 1
1 2 1
注：此题若不先化简给出的矩阵方程，而直接求C 1
以及C 1B及E C 1B ，再求( E C 1B)T 及( E C 1B)T C T 就麻烦多了. 因此，在求解矩阵方程时，一定要注
k个
易证 Ak Al A ,kl Ak l Akl . k,l为正整数
转置矩阵: 把 m n 矩阵 A的行与列依次互换得到另
一个 n m矩阵，称为 A 的转置矩阵，记作AT
转置矩阵的运算性质
1 AT T A;
2 A BT AT BT ;
3 kAT kAT ;
4 ABT BT AT .
对称阵: 设 A 为 n 阶方阵，如果满足A AT，即.
aij a ji i , j 1,2, ,n
则 A称为对称阵.
反对称阵: 如果 AT A 则矩阵A称为反对称的.
伴随方阵: 设 Aij 是行列式 A aij 中元素 aij 的代数
余子式,称方阵 A11 A21
A*
A12
A22
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一、矩阵的运算
矩阵运算有其特殊性，若能灵活地运用矩阵的运算 性质及运算规律，可极大地提高运算效率.
例1
设α (1，0， 1)T，A ααT，求 An .
1
解:
显然 αTα
(1
0
1)
0
2，故有
1
An (ααT )n ααT ααT ααT ααT
α(αT α)(αT α)(αT α)αT
第二章 矩阵复习课
▪
主要内容
▪
典型例题
▪
自测题
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零矩阵 行(列)矩阵
方阵 三角方阵 对角方阵 数量矩阵 单位方阵 (反)对称阵
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本章知识结构图
特
殊
逆
矩
矩
阵
阵
定义 相关定理及性质
矩阵
分
矩
块
阵
矩
运
阵
算
概
定
义
念
相等矩阵和同型矩阵
矩阵的和 矩阵的数乘 矩阵相乘 方阵的幂 方阵行列式
１ 矩阵的定义
证 因为A AB B ( A E)B，故
(A E) E (A E)B,
从而有
( A E)(A E) E,
即 A E 可逆且 ( A E)1 B E. 故
( A E)(B E) (B E)(A E),
即
AB A B E BA A B E,
从而 AB BA.
4 A A 0, A B A B;
(5) 1 A A;
6 klA klA;
7 k l A kA lA;
8 kA B kA kB.
矩阵相乘: A (aij )ms与 B (bij )sn 乘积规定为
一个 m n 矩阵 C (cij )mn . 其中
cij ai1b1 j ai 2b2 j aisbsj
由
A
a 1
1 a1
可推测，B
.
an
1
an
B 是否为 A1，只需验证AB E.
1
a1
解 : 设B .
1
an
1
a1
因为 AB E，故 A1 B .
1
an
例4 设 A, B为同 阶方阵 且 满足 A＋B AB，
求证 A E 可逆并进一步证明AB BA.
3) 0; 4) 1 A 2E ;
3n 0 0 3
0 0 1 2
5) 0 1 0 ; 6) 0 1 5 0 ;
0
0
4n
1 8 0 0
三.
2 1 0 X 1 3 4.
1 0 2
结束放映 回章目录
A A2 Ak1 Ak
E Ak E,
故
(E A)1 E A A2 Ak1.
注：1. 矩阵的逆阵是线性代数中非常重要的一个 内容，主要包括：
①证明矩阵 A 可逆；②求逆阵；③证明矩阵 B是矩
阵A 的逆阵.
2. 证明矩阵 A 可逆，可利用 A 的行列式不为零或找 一个矩阵 B，使 AB=E 或 BA=E 等方法；对数字矩 阵，若求其逆阵，一般用 A*(如2阶矩阵)或初等变换 (3阶及3阶以上的方阵)的方法来做，有时也利用分块 矩阵来做.对抽象的矩阵 A，若求其逆，一般是用定 义或 A*来做；证明矩阵 B 是矩阵 A 的逆阵，只需 验证 AB=E 或 BA=E 即可.
对角方阵:
a1
a2
a4
数量矩阵:
k
kE n
k
k
单位方阵: 主对角线上全为1的对角方阵.
3. 矩阵的运算
同型矩阵: 行数和列数均相等的矩阵.
矩阵相等: 如果两个矩阵 A (a ), B (b ) 是同型矩
ij
ij
阵,且各对应元素也相同,即
aij bij i 1,2,, m; j 1,2,, n,
设 A，B均为 n 阶方阵，且 A2 A，B2 B，
(A B)2 A B. 证明：AB BA 0. 三. 求解矩阵方程 (26分）
0 1 0 1 0 0 1 4 3 1 0 0X 0 0 1 2 0 1. 0 0 1 0 1 0 1 2 0
自测题答案
一. 1) 3, 1/3, 9, 37 , -1/3; 2) 4;
则称矩阵 A与B相等,记作 A B.
矩阵的和: 两个m n矩阵 A a , B b 的和
ij
ij
定义为A B (a b ) .
ij
ij mn
矩阵的数乘: 数k与矩阵A的乘积记做kA或Ak
定义为 kA Ak (kaij ).
矩阵的线性运算的运算规律:
1 A B B A;
2 A B C A B C ;
(αT α)n1 ααT 2n1 A.
因为
A
1 0
1
0
1
1 0
0 1 0 0 ,
1
1 0 1
所以
1 0 1 An 2 n1 0 0 0 .
1 0 1
注：对一般的 n 阶方阵 A，我们常常用归纳的方
法求 An .
0 1 0
例2
设
A
1
0
0 ，求 A2004 2 A2 .
意先化简方程.
例9
设
A
2 1
1 2
0 0
，矩阵
B
满足
ABA*
2BA
*
E，
0 0 1
求 B.
解 : 在 ABA* 2BA* E 两端右乘A，得：
ABA * A 2BA * A A ;
因为 A* A | A | E 3E，故
3( A 2E )B A.
从而
1 2 0
B
1 3
1 2 0
3 0 0 0 3 0 .
0 0 1
例3
若
n 阶实对称阵 A
(a )满足 ij
A2
0
,证明
A0
证: A为对称阵,故有 AT A,因此有AAT A2 0,
比较 AAT 0两端的 (i, i)元素
ai1
(a i1
a i2
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
a
in
)
a i
2
n
a ik i 1
0.
ain
(i 1,2,, n)