2-2 唯一性定理

=−
x=− a
2aρ 0
π
x=a
∂ϕ 2aρ 0 = −ε 0 =− ∂ (− x) x = a π
半径为a的导体球壳接地 例 半径为 的导体球壳接地 壳 内中心放置一个点电荷 Q，求壳 ， 内场强。 内场强。 放在球心处， 解：点电荷 Q 放在球心处 4πε0R
∇ ϕ = 0 (R ≠ 0) 因而腔内场唯一确定。 因而腔内场唯一确定。
ϕS 或
∂ϕ ∂n S
给定时， 即给出了V’所有 当每个导体上的电势 ϕi 给定时 ， 即给出了 所有 边界上的 ϕ或(∂ϕ/∂n)值， 因而由唯一性定理可知， 值 因而由唯一性定理可知， V’内的电场唯一地被确定。 内的电场唯一地被确定。 内的电场唯一地被确定 对于第二种类型的问题， 唯一性定理表述如下： 对于第二种类型的问题 ， 唯一性定理表述如下 ： 设区域V内有一些导体，给定导体之外的电荷分布， 设区域 内有一些导体，给定导体之外的电荷分布， 内有一些导体 给定各导体上的总电荷Q 以及V的边界 的边界S上的 给定各导体上的总电荷 i以及 的边界 上的 ϕ 或 ∂ϕ/∂n 值，则V内的电场唯一地确定。 内的电场唯一地确定。 内的电场唯一地确定
∂ϕ ,第 类 值 题 二 边 问 ） 或（ii）电势的法向导数 ∂n S
或 混合边界条件 内的电场唯一地确定。 则V内的电场唯一地确定。 内的电场唯一地确定 （i）电势 ϕ , 第 类 值 题 “狄利克莱”边界条件 ） 狄利克莱” 狄利克莱 一 边 问 S “诺伊曼”边界条件 诺伊曼” 诺伊曼
也就是说， 也就是说，在V内存在唯一的解 ϕ ，它在每个均匀区 内存在唯一的解 内内满足泊松方程， 域Vi内内满足泊松方程，∇2ϕ = −ρ / εi 在两均匀区域分界面上满足边值关系， 在两均匀区域分界面上满足边值关系， 边值关系
一、静电问题的唯一性定理 下面研究可以均匀分区的区域V， 下面研究可以均匀分区的区域 ，即V可以分为若 可以分为若 干个均匀区域V 每一均匀区域的电容率为ε 干个均匀区域 i，每一均匀区域的电容率为 i 。 V内有给定的电荷分布 ρ(x) 。 内有给定的电荷分布
可以证明 若给定 的边界 上 若给定V的边界 的边界S上
三、唯一性定理的意义
1. 唯一性定理给出了确定静电场的条件，为求电 唯一性定理给出了确定静电场的条件，为求电 场强度指明了方向 指明了方向。 场强度指明了方向。 2. 更重要的是它具有十分重要的实用价值。无论 更重要的是它具有十分重要的实用价值。 采用什么方法得到解， 采用什么方法得到解，只要该解满足泊松方程 和给定边界条件，则该解就是唯一的正确解。 和给定边界条件，则该解就是唯一的正确解。 因此对于许多具有对称性的问题， 因此对于许多具有对称性的问题，可以不必用 繁杂的数学去求解泊松方程，而是通过 通过提出尝 繁杂的数学去求解泊松方程，而是通过提出尝 试解，然后验证是否满足方程和边界条件 满足方程和边界条件。 试解，然后验证是否满足方程和边界条件。满 即为唯一 唯一解 若不满足，可以加以修改。 足即为唯一解，若不满足，可以加以修改。
已知点电荷产生的电势为 已知点电荷产生的电势为 但它在边界上 ϕ1
ϕ1 =
S
=
Q 4πε0a
不满足 ϕ S = 0
要使边界上任何一点电势为0 要使边界上任何一点电势为 ， 设ϕ =
Q 4πε0 R
2
−
Q 4πε0a
它满足 ∇ ϕ = 0
ϕ S =0
根据唯一性定理，它是腔内的唯一解。 根据唯一性定理，它是腔内的唯一解 唯一
ε1Q (左半部 左半部) 左半部 σ1 = D1r = ε1E1r = 2 2π (ε1 + ε2 )a ε2Q (右半部 右半部) 右半部 σ2 = D2r = ε2E2r = 2 2π (ε1 +ε2 )a 注意导体两半球上的面电荷分布是不同的， 注意导体两半球上的面电荷分布是不同的，但E却 却 保持球对称性。 保持球对称性。
也就是说，存在唯一的解， 也就是说，存在唯一的解，它在导体以外满足泊松 方程
ρ ∇ ϕ =− εi
2
在第i个导体上满足总电荷条件： 在第 个导体上满足总电荷条件： 个导体上满足总电荷条件
∂ϕ Qi −∫ dS = Si ∂n ε 和等势面条件： 和等势面条件： ϕ S = ϕi = 常量
i
以及在V的边界 上具有给定的 以及在 的边界S上具有给定的ϕ|s 或(∂ϕ/∂n)|s值。 的边界 证明略。 证明略。
四、应用举例
例：两块接地的无限大导体板相互平行， 在两板间区域内分布着自由电荷
ρ ( x) = ρ 0 cos
πx
2a
求导体板间的电场分布和板上 感应电荷面密度 解：直角坐标系中的泊松方程为
∂ϕ ∂ϕ ∂ϕ ρ ∇ ϕ = 2 + 2 + 2 =− ∂x ∂y ∂z ε 2 ρ0 πx 无关， 而ϕ与y和z无关， ∂ ϕ 和 无关 = − cos , (− a < x < a ) 2 ε ∂x 2a
E1t = E2t A E1 = 3 r r
D2n = D n = 0 1
∫ D⋅ dS = ∫ ε E ⋅ dS + ∫
S1 1 1
S2
ε2 E2 ⋅ dS = Q
将电场值代入得 2π (ε1 +ε2 ) A= Q Q A= 解出 2π (ε1 +ε2 )
Qr 则 E1 = (左半部 左半部) 左半部 3 2π (ε1 + ε2 )r
§2.2 唯一性定理
处理静电问题总是根据一定条件去解泊松方程。 处理静电问题总是根据一定条件去解泊松方程。静电 学中许多问题都涉及到有限空间区域， 学中许多问题都涉及到有限空间区域，在区域内可以有电 也可以没有电荷，但都具有确定的边界条件。 荷，也可以没有电荷，但都具有确定的边界条件。现在有 这样一个问题：要使区域内存在唯一的 合理的解， 唯一的、 这样一个问题：要使区域内存在唯一的、合理的解，问适 合泊松方程的边界条件是什么？ 合泊松方程的边界条件是什么？唯一性定理回答了这个问 题。
Q A= 4πε
Q ϕ= 4πεR
(R > a)
QR E = −∇ϕ = (R > a) 3 4πεR
例：无限长圆柱导体，半径为a，单位长 度荷电为λ，求导体柱外的电势和电场。 解：在柱坐标系中
1 ∂ ∂ϕ 1 ∂ 2ϕ ∂ 2ϕ ∇ 2ϕ = (r )+ 2 + 2 2 ∂z r ∂r ∂r r ∂θ 1 ∂ ∂ϕ 2 ∇ϕ= (r ) = 0, (r > a ) 导体柱外的泊松方程 r ∂r ∂r
QR E = −∇ϕ = (R < a) 3 4πε0 R 可见腔内场与腔外电荷无关 只与腔内电荷Q 无关， 可见腔内场与腔外电荷无关，只与腔内电荷
有关。 有关。
2. 带电荷 的半径为a 的导体球放在均匀无限大介 带电荷Q 的半径为a 质中，求空间电势分布。 质中，求空间电势分布。 解：导体球具有球对称性，电荷只分布在外表面上。 导体球具有球对称性，电荷只分布在外表面上。 假定场也具有球对称性， 假定场也具有球对称性，则电势坐标与 θ ,ϕ 无关。 无关。 因电荷分布在有限区， 因电荷分布在有限区，外边界条件 ϕ ∞ = 0
R ∇⋅ ∇ϕ = −A∇⋅ 3 = 0 R R3 R 满足 ∇2ϕ = 0 ， R →∞ ϕ R=∞ = 0
∇ = −A
A 导体表面电荷Q已知 已知， 场唯一确定。 导体表面电荷 已知，电场唯一确定。设 ϕ = + B R A R
(R > a)
B=0
在导体边界上
∂ϕ A A4πa2 Q = −∫ ε dS = ε 2 ∫ dS = ε = A4πε 2 S ∂R R S a R=a
ϕ1，E1，D，ϕ2，E2，D2， 1
由于左右两半是不同介质， 由于左右两半是不同介质，因此一般不同于只 有一种均匀介质时的球对称解。在找尝试解时， 有一种均匀介质时的球对称解。在找尝试解时， 我们先考虑两介质分界面上的边值关系。 我们先考虑两介质分界面上的边值关系。
A E2 = 3 r (右半部 (左半部 左半部) 右半部) 左半部 右半部 r 此时边值关系得到满足。 此时边值关系得到满足。导体球面上的积分
0
( R0 > a )
λ E = −∇ϕ = er 2πε 0 r
最后求得
R0 λ ϕ= ln 2πε 0 r
两同心导体球壳之间充以两种介质， 例： 两同心导体球壳之间充以两种介质，左半部电 容率为ε 右半部电容率为ε 容率为 1，右半部电容率为 2，设内球壳带总 电荷Q，外球壳接地， 电荷 ，外球壳接地，求电场和球壳上的电荷 分布。 分布。 设两介质内的电势、 解：设两介质内的电势、电场强 度和电位移分别为
∂ϕ ∂ϕ ϕi = ϕ j， εi = ε j ∂n i ∂n j ϕ S 或 ∂ϕ 值。 并在V的边界 的边界S上有给定的 并在 的边界 上有给定的 ∂n S
二、有导体存在时的唯一性定理 当有导体存在时， 当有导体存在时，由实践经验我们知 为了确定电场， 道，为了确定电场，所需要条件有两种类 型：一类是给定每个导体上的电势ϕi；另 一类是给定每个导体上的总电荷Q 一类是给定每个导体上的总电荷 i。 如图，设在某区域V内有一些导体，除去导体内部以 如图，设在某区域 内有一些导体， 内有一些导体 后的区域为V’。 内有给定电荷分布ρ， 上给定了 后的区域为 。设V’内有给定电荷分布 ，S上给定了 内有给定电荷分布
2 2 2 2
边界条件
ϕ x =− a = ϕ x=a = 0
πx 2a ρ 0 ϕ = cos 2a π ε0
2
因此
电场强度为
E = −∇ ϕ =
2aρ 0
πε 0
sin
πx
2a
ex
（自由电荷与感应电荷符号相反） 左板感应电荷面密度 右板感应电荷面密度 σ
σ
x =− a
∂ϕ = −ε 0 ∂x
方程的解为 边界条件为： (1)在导体表面电荷密度
ϕ = C1 ln r + C2
λ ∂ϕ = −ε 0 σ= 2πa ∂r
r =a
(2)选择电势参考点。在本题中，导体柱无限长，电荷分布 在无限空间，不能选无限远处电势为零，可选择在某一个柱 面上 r=R0（R0>a）为零，即
ϕ r = R = 0,
静电问题有解的条件： 静电问题有解的条件： 求解区域V内给定自由电荷分布 的边界S 求解区域 内给定自由电荷分布ρ(x) ，在V的边界 内给定自由电荷分布 的边界 上给定 或 （i）电势 ϕ S ）
（ii）电势的法向导数 ∂ϕ ）
∂n S
若求解区域内有导体存在， 若求解区域内有导体存在，还要给定各导体上的电 势或导体上的电荷。 势或导体上的电荷。 内的电场唯一地确定。 则V内的电场唯一地确定。 内的电场唯一地确定
Qr E2 = 右半部) 右半部 3 (右半部 2π (ε1 + ε2 )r
此解满足唯一性定理的所有条件， 此解满足唯一性定理的所有条件，因此是唯一正 确的解。 确的解。 虽然E仍保持球对称性，但是 和导体面上的电荷 虽然 仍保持球对称性，但是D和导体面上的电荷 仍保持球对称性 面密度σ不具有球对称性。设内导体半径为 ， 面密度 不具有球对称性。设内导体半径为a，则 不具有球对称性 球面上的电荷面密度为