2021届江苏省联考高三第四次试卷数学试题(理科)

2021届江苏省百校联考高三年级第四次试卷

数学试题

第I 卷（必做题，共160分）

一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应的位置上．）

1．已知集合A ＝{2，5}，B ＝{3，5}，则A B ＝．

2．已知复数z 满足12i i z +=（i 为虚数单位），则复数z 的实部为．

3．A ，B ，C 三所学校举行高三联考，三所学校参加联考的人数分别为160，240，400，为了调查联考数学学科的成绩，现采用分层抽样的方法在这三所学校中抽取样本，若在B

学校抽取的数学成绩的份数为30，则抽取的样本容量为．

4．根据如图所示的伪代码，若输入的x 的值为2，则输出的y 的值为．

5．某同学周末通过抛硬币的方式决定出去看电影还是在家学习，抛

一枚硬币两次，若两次都是正面朝上，就在家学习，否则出去看电影，则该同学在家学习的概率为．

6．已知数列{}n a 满足11a =，且1130n n n n a a a a +++-=恒成立，则

6a 的值为．第4题

7．已知函数()Asin()f x x ωϕ=+(A ＞0，ω＞0，ϕ＜

2

π)的部分图象如图所示，则(0)f 的值为．

第11题

第12题

第7题8．在平面直角坐标系xOy 中，双曲线22

221x y a b

-=(a ＞0，b ＞0)的焦距为2c ，若过右焦点且与x 轴垂直的直线与两条渐近线围成的三角形面积为c 2，则双曲线的离心率为

．

9．已知m ，n 为正实数，且m ＋n ＝mn ，则m ＋2n 的最小值为．

10．已知函数()4f x x x =-，则不等式(2)(3)f a f +>的解集为．11．如图，在一个倒置的高为2的圆锥形容器中，装有深度为h 的水，再放入一个半径为1

的不锈钢制的实心半球后，半球的大圆面、水面均与容器口相平，则h 的值为．

12．如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ＝BC ＝2，AD ＝4，E ，F 分别是BC ，CD 的中点，若AE DE 1⋅=- ，则AF CD ⋅ 的值为．

13．函数()f x 满足()(4)f x f x =-，当x ∈[﹣2，2)时，3223 2()1, 2

x x a x a f x x a x ⎧++-≤≤=⎨-<<⎩,，

若函数()f x 在[0，2020)上有1515个零点，则实数a 的范围为

．14．已知圆O ：224x y +=，直线l 与圆O 交于P ，Q 两点，A(2，2)，若AP 2＋AQ 2＝40，

则弦PQ 的长度的最大值为．

二、解答题（本大题共6小题，共计90分，请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文

字说明、证明过程或演算步骤．）

15．（本小题满分14分）

如图，已知在三棱锥P—ABC 中，PA ⊥平面ABC ，E ，F ，G 分别为AC ，PA ，PB 的中点，且AC ＝2BE ．

（1）求证：PB ⊥BC ；

（2）设平面EFG 与BC 交于点H ，求证：H 为BC

的中点．

16．（本小题满分14分）在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若m ＝(a ，b ﹣c )，n ＝(sinA ﹣sinB ，

sinB ＋sinC)，p ＝(1，2)，且m ⊥n ．

（1）求角C 的值；

（2）求n p ⋅ 的最大值．

17．（本小题满分14分）

已知椭圆C ：22

221x y a b

+=(a ＞b ＞0)的左顶点为A ，左右焦点分别为F 1，F 2，离心率为12，P 是椭圆上的一个动点（不与左，右顶点重合），且△PF 1F 2的周长为6，点P 关于原点的对称点为Q ，直线AP ，QF 2交于点M ．

（1）求椭圆方程；

（2）若直线PF 2与椭圆交于另一点N ，且22AF M AF N 4S S =△△，求点P 的坐标．

18．（本小题满分16分）

管道清洁棒是通过在管道内释放清洁剂来清洁管道内壁的工具，现欲用清洁棒清洁一个如图1所示的圆管直角弯头的内壁，其纵截面如图2所示，一根长度为L crn 的清洁棒在弯头内恰好处于AB 位置（图中给出的数据是圆管内壁直径大小，θ∈(0，

2

π)）．（1）请用角θ表示清洁棒的长L ；

（2）若想让清洁棒通过该弯头，清洁下一段圆管，求能通过该弯头的清洁棒的最大长度．

19．（本小题满分16分）

已知等差数列{}n a 和等比数列{}n b 的各项均为整数，它们的前n 项和分别为n S ，n T ，且1122b a ==，2354b S =，2211a T +=．

（1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；

（2）求112233n n n M a b a b a b a b =++++ ；

（3）是否存在正整数m ，使得1m m m m

S T S T +++恰好是数列{}n a 或{}n b 中的项？若存在，求出所有满足条件的m 的值；若不存在，说明理由．

20．（本小题满分16分）已知函数4

()(1)e x f x x =-，()1a g x x

=-(a ∈R)（e 是自然对数的底数，e ≈2.718…）．（1）求函数()f x 的图像在x ＝1处的切线方程；

（2）若函数()()

f x y

g x =在区间[4，5]上单调递增，求实数a 的取值范围；（3）若函数()()()

h x f x g x =+在区间(0，+∞)上有两个极值点1x ，2x (1x ＜2x )，且1()h x m <恒成立，求满足条件的m 的最小值（极值点是指函数取极值时对应的自变量的值）．

第II 卷（附加题，共40分）