深圳布吉科城实验学校初中部数学全等三角形单元试卷(word版含答案)

一、八年级数学全等三角形解答题压轴题（难）
1．如图，△ABC中，D是BC的中点，过D点的直线GF交AC于F，交AC的平行线BG 于G点，DE⊥DF，交AB于点E，连结EG、EF．
（1）求证：BG＝CF；
（2）请你判断BE+CF与EF的大小关系，并说明理由．
【答案】（1）详见解析；（2）BE+CF＞EF，证明详见解析
【解析】
【分析】
（1）先利用ASA判定△BGD≅CFD，从而得出BG=CF；
（2）利用全等的性质可得GD=FD，再有DE⊥GF，从而得到EG=EF，两边之和大于第三边从而得出BE+CF＞EF．
【详解】
解：（1）∵BG∥AC，
∴∠DBG＝∠DCF．
∵D为BC的中点，
∴BD＝CD
又∵∠BDG＝∠CDF，
在△BGD与△CFD中，
∵
DBG DCF
BD CD
BDG CDF
∠=∠
⎧
⎪
=
⎨
⎪∠=∠
⎩
∴△BGD≌△CFD（ASA）．
∴BG＝CF．
（2）BE+CF＞EF．
∵△BGD≌△CFD，
∴GD＝FD，BG＝CF．
又∵DE⊥FG，
∴EG＝EF（垂直平分线到线段端点的距离相等）．
∴在△EBG中，BE+BG＞EG，
即BE+CF＞EF．
【点睛】
本题考查了三角形全等的判定和性质，要注意判定三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、AAS、ASA、HL．
2．如图1，在正方形ABCD中，P是对角线BD上的一点，点E在AD的延长线上，且
PA=PE，PE交CD于F
（1）证明：PC=PE；
（2）求∠CPE的度数；
（3）如图2，把正方形ABCD改为菱形ABCD，其他条件不变，当∠ABC=120°时，连接CE，试探究线段AP与线段CE的数量关系，并说明理由．
【答案】（1）证明见解析（2）90°（3）AP=CE
【解析】
【分析】
(1)、根据正方形得出AB=BC，∠ABP=∠CBP=45°，结合PB=PB得出△ABP ≌△CBP，从而得出结论；(2)、根据全等得出∠BAP=∠BCP，∠DAP=∠DCP，根据PA=PE得出∠DAP=∠E，即∠DCP=∠E，易得答案；(3)、首先证明△ABP和△CBP全等，然后得出PA=PC，
∠BAP=∠BCP，然后得出∠DCP=∠E，从而得出∠CPF=∠EDF=60°，然后得出△EPC是等边三角形，从而得出AP=CE.
【详解】
(1)、在正方形ABCD中，AB=BC，∠ABP=∠CBP=45°，
在△ABP和△CBP中，又∵ PB=PB ∴△ABP ≌△CBP（SAS），∴PA=PC，∵PA=PE，
∴PC=PE；
(2)、由（1）知，△ABP≌△CBP，∴∠BAP=∠BCP，∴∠DAP=∠DCP，
∵PA=PE，∴∠DAP=∠E，∴∠DCP=∠E，∵∠CFP=∠EFD（对顶角相等），
∴180°﹣∠PFC﹣∠PCF=180°﹣∠DFE﹣∠E，即∠CPF=∠EDF=90°；
(3)、AP＝CE
理由是：在菱形ABCD中，AB=BC，∠ABP=∠CBP，
在△ABP和△CBP中，又∵ PB=PB ∴△ABP≌△CBP（SAS），
∴PA=PC，∠BAP=∠DCP，
∵PA=PE，∴PC=PE，∴∠DAP=∠DCP，∵PA=PC ∴∠DAP=∠E，∴∠DCP=∠E
∵∠CFP=∠EFD（对顶角相等），∴180°﹣∠PFC﹣∠PCF=180°﹣∠DFE﹣∠E，
即∠CPF=∠EDF=180°﹣∠ADC=180°﹣120°=60°，∴△EPC是等边三角形，∴PC=CE，
∴AP=CE
考点：三角形全等的证明
3．已知：平面直角坐标系中，点A（a，b）的坐标满足|a﹣b|+b2﹣8b+16＝0．
（1）如图1，求证：OA是第一象限的角平分线；
（2）如图2，过A作OA的垂线，交x轴正半轴于点B，点M、N分别从O、A两点同时出发，在线段OA上以相同的速度相向运动（不包括点O和点A），过A作AE⊥BM交x轴于点E，连BM、NE，猜想∠ONE与∠NEA之间有何确定的数量关系，并证明你的猜想；
（3）如图3，F是y轴正半轴上一个动点，连接FA，过点A作AE⊥AF交x轴正半轴于点E，连接EF，过点F点作∠OFE的角平分线交OA于点H，过点H作HK⊥x轴于点K，求
2HK+EF的值．
【答案】（1）证明见解析（2）答案见解析（3）8
【解析】
【分析】
（1）过点A分别作x轴，y轴的垂线，垂足分别为M、N，则AN＝AM,
根据非负数的性质求出a、b的值即可得结论；
（2）如图2，过A作AH平分∠OAB，交BM于点H，则△AOE≌△BAH，可得AH＝OE，由已知条件可知ON=AM，∠MOE＝∠MAH，可得△ONE≌△AMH，∠ABH＝∠OAE，设BM 与NE交于K，则∠MKN＝180°﹣2∠ONE＝90°﹣∠NEA，即2∠ONE﹣∠NEA＝90°；（3）如图3，过H作HM⊥OF，HN⊥EF于M、N，可证△FMH≌△FNH，则FM＝FN，同理：NE＝EK，先得出OE+OF﹣EF＝2HK，再由△APF≌△AQE得PF＝EQ，即可得
OE+OF＝2OP＝8，等量代换即可得2HK+EF的值．
【详解】
解：（1）∵|a﹣b|+b2﹣8b+16＝0
∴|a﹣b|+（b﹣4）2＝0
∵|a﹣b|≥0，（b﹣4）2≥0
∴|a﹣b|＝0，（b﹣4）2＝0
∴a＝b＝4
过点A分别作x轴，y轴的垂线，垂足分别为M、N，则AN＝AM
∴OA平分∠MON
即OA是第一象限的角平分线
（2）过A作AH平分∠OAB，交BM于点H
∴∠OAH ＝∠HAB ＝45°
∵BM ⊥AE
∴∠ABH ＝∠OAE 在△AOE 与△BAH 中
OAE ABH OA AB
AOE BAH ＝＝∠∠⎧⎪=⎨⎪∠∠⎩
， ∴△AOE ≌△BAH （ASA ）
∴AH ＝OE
在△ONE 和△AMH 中
OE AH NOE MAH ON AM =⎧⎪∠∠⎨⎪=⎩
＝， ∴△ONE ≌△AMH （SAS ）
∴∠AMH ＝∠ONE
设BM 与NE 交于K
∴∠MKN ＝180°﹣2∠ONE ＝90°﹣∠NEA
∴2∠ONE ﹣∠NEA ＝90°
（3）过H 作HM ⊥OF ，HN ⊥EF 于
M 、N
可证：△FMH ≌△FNH （SAS ）
∴FM ＝FN
同理：NE ＝EK
∴OE+OF ﹣EF ＝2HK
过A 作AP ⊥y 轴于P ，AQ ⊥x 轴于Q
可证：△APF ≌△AQE （SAS ）
∴PF ＝EQ
∴OE+OF ＝2OP ＝8
∴2HK+EF ＝OE+OF ＝8
【点睛】
本题考查非负数的性质，平面直角坐标系中点的坐标，等腰直角三角形，全等三角形的判定和性质.
4．如图1，在等边△ABC 中，E 、D 两点分别在边AB 、BC 上，BE =CD ，AD 、CE 相交于点F ．
（1）求∠AFE 的度数；
（2）过点A 作AH ⊥CE 于H ，求证：2FH +FD =CE ；
（3）如图2，延长CE 至点P ，连接BP ，∠BPC =30°，且CF =
29CP ，求PF AF
的值． （提示：可以过点A 作∠KAF =60°，AK 交PC 于点K ，连接KB ） 【答案】（1）∠AFE =60°；（2）见解析；（3）
75
【解析】
【分析】
（1）通过证明 BCE CAD ≌ 得到对应角相等，等量代换推导出60AFE ∠=︒；
（2）由（1）得到60AFE ∠=︒，CE AD = 则在Rt AHF △ 中利用30°所对的直角边等于斜边的一半，等量代换可得；
（3）通过在PF 上取一点K 使得KF =AF ，作辅助线证明ABK 和ACF 全等，利用对应边相等，等量代换得到比值.(通过将ACF 顺时针旋转60°也是一种思路.)
【详解】
（1）解：如图1中．
∵ABC 为等边三角形，
∴AC =BC ，∠BAC =∠ABC =∠ACB =60°，
在BCE 和CAD 中，
60
BE CD
CBE ACD
BC CA
=
⎧
⎪
∠=∠=︒
⎨
⎪=
⎩
，
∴BCE CAD
≌（SAS），
∴∠BCE=∠DAC，
∵∠BCE+∠ACE=60°，
∴∠DAC+∠ACE=60°，
∴∠AFE=60°．
（2）证明：如图1中，∵AH⊥EC，
∴∠AHF=90°，
在Rt△AFH中，∵∠AFH=60°，
∴∠FAH=30°，
∴AF=2FH，
∵EBC DCA
≌，
∴EC=AD，
∵AD=AF+DF=2FH+DF，
∴2FH+DF=EC．
（3）解：在PF上取一点K使得KF=AF，连接AK、BK，
∵∠AFK=60°，AF=KF，
∴△AFK为等边三角形，
∴∠KAF=60°，
∴∠KAB=∠FAC，
在ABK和ACF中，
AB AC
KAB ACF
AK AF
=
⎧
⎪
∠=∠
⎨
⎪=
⎩
，
∴ABK ACF
≌(SAS)，BK CF
=
∴∠AKB=∠AFC=120°，
∴∠BKE=120°﹣60°=60°，
∵∠BPC=30°，
∴∠PBK=30°，
∴
2
9 BK CF PK CP
==
=，
∴
7
9
PF CP CF CP
=-=，
∵
45
()
99
AF KF CP CF PK CP CP CP
==-+=-=
∴
7
7
9
55
9
CP
PF
AF CP
== .
【点睛】
掌握等边三角形、直角三角形的性质，及三角形全等的判定通过一定等量代换为本题的关键.
5．已知△ABC中，AB=AC，点P是AB上一动点，点Q是AC的延长线上一动点，且点P从B运动向A、点Q从C运动向Q移动的时间和速度相同，PQ与BC相交于点D，若
AB=82，BC=16．
（1）如图1，当点P为AB的中点时，求CD的长；
（2）如图②，过点P作直线BC的垂线，垂足为E，当点P、Q在移动的过程中，设
BE+CD=λ，λ是否为常数？若是请求出λ的值，若不是请说明理由．
【答案】（1）4；（2）8
【解析】
【分析】
（1）过P点作PF∥AC交BC于F，由点P和点Q同时出发，且速度相同，得出
BP=CQ，根据PF∥AQ，可知∠PFB=∠ACB，∠DPF=∠CQD，则可得出∠B=∠PFB，证出BP=PF，得出PF=CQ，由AAS证明△PFD≌△QCD，得出，再证出F是BC的中点，即可得出结果；
（2）过点P作PF∥AC交BC于F，易知△PBF为等腰三角形，可得BE=
1
2
BF，由（1）证明方法可得△PFD≌△QCD 则有CD=
1
2
CF，即可得出BE+CD=8．
【详解】
解:（1）如图①，过P 点作PF ∥AC 交BC 于F ，
∵点P 和点Q 同时出发，且速度相同，
∴BP=CQ ，
∵PF ∥AQ ，
∴∠PFB=∠ACB ，∠DPF=∠CQD ，
又∵AB=AC ，
∴∠B=∠ACB ，
∴∠B=∠PFB ，
∴BP=PF ，
∴PF=CQ ，又∠PDF=∠QDC ，
∴△PFD ≌△QCD ，
∴DF=CD=12
CF ， 又因P 是AB 的中点，PF ∥AQ ， ∴F 是BC 的中点，即FC=
12BC=8， ∴CD=12
CF=4； （2）8BE CD λ+==为定值．
如图②，点P 在线段AB 上，
过点P 作PF ∥AC 交BC 于F ，
易知△PBF 为等腰三角形，
∵PE ⊥BF
∴BE=12
BF
∵易得△PFD ≌△QCD ∴CD=12
CF ∴()111182222
BE CD BF CF BF CF BC λ+==
+=+== 【点睛】 此题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判断与性质，熟悉相关性质定理是解题的关键．
6．如图，Rt △ABC ≌Rt △CED （∠ACB ＝∠CDE ＝90°），点D 在BC 上，AB 与CE 相交于点F
(1) 如图1，直接写出AB 与CE 的位置关系
(2) 如图2，连接AD 交CE 于点G ，在BC 的延长线上截取CH ＝DB ，射线HG 交AB 于K ，求证：HK ＝BK
【答案】（1）AB ⊥CE ；（2）见解析.
【解析】
【分析】
（1）由全等可得∠ECD=∠A ，再由∠B+∠A=90°，可得∠B+ECD=90°，则AB ⊥CE. （2）延长HK 于DE 交于H ，易得△ACD 为等腰直角三角形，∠ADC=45°，易得DH=DE ，然后证明△DGH ≌△DGE ，所以∠H=∠E ，则∠H=∠B ，可得HK=BK.
【详解】
解：（1）∵Rt △ABC ≌Rt △CED ，
∴∠ECD=∠A ，∠B=∠E ，BC=DE ，AC=CD
∵∠B+∠A=90°
∴∠B+ECD=90°
∴∠BFC=90°，∴AB ⊥CE
（2）在Rt △ACD 中，AC=CD ，∴∠ADC=45°，
又∵∠CDE=90°，∴∠HDG=∠CDG=45°
∵CH ＝DB ，∴CH+CD=DB+CD ，即HD=BC ，
∴DH=DE ，
在△DGH 和△DGE 中，
DH=DE
HDG=EDG=45
DG=DG
⎧
⎪
∠∠
⎨
⎪
⎩
∴△DGH≌△DGE（SAS）
∴∠H=∠E
又∵∠B=∠E
∴∠H=∠B，
∴HK=BK
【点睛】
本题考查全等三角形的判定与性质，利用全等找出角相等，再利用等角对等边判定线段相等是本题的关键.
7．如图1，在长方形ABCD中，AB=CD=5 cm， BC=12 cm，点P从点B出发，以2cm/s的速度沿BC向点C运动，设点P的运动时间为ts．
（1）PC=___cm；(用含t的式子表示)
（2）当t为何值时，△ABP≌△DCP？．
（3）如图2，当点P从点B开始运动，此时点Q从点C出发，以vcm/s的速度沿CD向点D运动，是否存在这样的v值，使得某时刻△ABP与以P，Q，C为顶点的直角三角形全等？若存在，请求出v的值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）()
122t
-；（2）3
t=；（3）存在，2
v=或
5
3
v=
【解析】
【分析】
（1）根据P点的运动速度可得BP的长，再利用BC的长减去BP的长即可得到PC的长；（2）先根据三角形全等的条件得出当BP=CP，列方程求解即得；
（3）先分两种情况：当BP=CQ，AB=PC时，△ABP≌△PCQ；或当BA=CQ，PB=PC 时，△ABP≌△QCP，然后分别列方程计算出t的值，进而计算出v的值．
【详解】
解：（1）当点P以2cm/s的速度沿BC向点C运动时间为ts时2
BP tcm
=
∵12
BC cm
=
∴()
122
PC BC BP t cm
=-=-
故答案为：()
122t
-
（2）∵ABP DCP
∆≅∆
∴BP CP =
∴2122t t =-
解得3t =．
（3）存在，理由如下：
①当BP=CQ ，AB=PC 时，△ABP ≌△PCQ ，
∴PC=AB=5
∴BP=BC-PC=12-5=7
∵2BP tcm =
∴2t=7
解得t=3.5
∴CQ=BP=7，则3.5v=7
解得2v =．
②当BA CQ =，PB PC =时，ABP QCP ∆≅∆
∵12BC cm = ∴162
BP CP BC cm ==
= ∵2BP tcm =
∴26t =
解得3t =
∴3CQ vcm = ∵5AB CQ cm ==
∴35v = 解得53
v =． 综上所述，当2v =或53v =
时，ABP ∆与以P ，Q ，C 为顶点的直角三角形全等． 【点睛】
本题考查全等三角形的判定及性质和矩形的性质，解题关键是将动态情况化为某一状态情况，并以这一状态为等量关系建立方程求解．
8．如图1，Rt △ABC 中，∠A ＝90°，AB ＝AC ，点D 是BC 边的中点连接AD ，则易证AD ＝BD ＝CD ，即AD ＝12
BC ；如图2，若将题中AB ＝AC 这个条件删去，此时AD 仍然等于12
BC ． 理由如下：延长AD 到H ，使得AH ＝2AD ，连接CH ，先证得△ABD ≌△CHD ，此时若能证得△ABC ≌△CHA ，
即可证得AH＝BC，此时AD＝1
2
BC，由此可见倍长过中点的线段是我们三角形证明中常用
的方法．
（1）请你先证明△ABC≌△CHA，并用一句话总结题中的结论；
（2）现将图1中△ABC折叠（如图3），点A与点D重合，折痕为EF，此时不难看出
△BDE和△CDF都是等腰直角三角形．BE＝DE，CF＝DF．由勾股定理可知DE2+DF2＝EF2，因此BE2+CF2＝EF2，若图2中△ABC也进行这样的折叠（如图4），此时线段BE、CF、EF还有这样的关系式吗？若有，请证明；若没有，请举反例．
（3）在（2）的条件下，将图3中的△DEF绕着点D旋转（如图5），射线DE、DF分别交AB、AC于点E、F，此时（2）中结论还成立吗？请说明理由．图4中的△DEF也这样旋转（如图6），直接写出上面的关系式是否成立．
【答案】（1）详见解析；（2）有这样分关系式；（3）EF2＝BE2+CF2.
【解析】
【分析】
（1）想办法证明AB∥CH，推出∠BAC＝∠ACH，再利用SAS证明△ABC≌△CHA即可．（2）有这样分关系式．如图4中，延长ED到H山顶DH＝DE．证明△EDB≌△HD （SAS），推出∠B＝∠HCD，BE＝CH，∠FCH＝90°，利用勾股定理，线段的垂直平分线的性质即可解决问题．
（3）图5，图6中，上面的关系式仍然成立．
【详解】
（1）证明：如图2中，
∵BD＝DC，∠ADB＝∠HDC，AD＝HD，
∴△ADB≌△HDC（SAS），
∴∠B＝∠HCD，AB＝CH，∴AB∥CH，
∴∠BAC+∠ACH＝180°，
∵∠BAC＝90°，
∴∠ACH＝∠BAC＝90°，
∵AC＝CA，
∴△BAC≌△HCA（SAS），∴AH＝BC，
∴AD＝DH＝BD＝DC，
∴AD＝1
2 BC．
结论：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
（2）解：有这样分关系式．
理由：如图4中，延长ED到H山顶DH＝DE．
∵ED＝DH，∠EDB＝∠HDC，DB＝DC，
∴△EDB≌△HDC（SAS），
∴∠B＝∠HCD，BE＝CH，
∵∠B+∠ACB＝90°，
∴∠ACB+∠HCD＝90°，
∴∠FCH＝90°，
∴FH2＝CF2+CH2，
∵DF⊥EH，ED＝DH，
∴EF＝FH，
∴EF2＝BE2+CF2．
（3）图5，图6中，上面的关系式仍然成立．结论：EF2＝BE2+CF2．
证明方法类似（2）．
【点睛】
本题属于几何变换综合题，考查了旋转变换，翻折变换，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．
9．操作发现：如图，已知△ABC和△ADE均为等腰三角形，AB＝AC，AD＝AE，将这两个三角形放置在一起，使点B，D，E在同一直线上，连接CE．
（1）如图1，若∠ABC＝∠ACB＝∠ADE＝∠AED＝55°，求证：△BAD≌△CAE；
（2）在（1）的条件下，求∠BEC的度数；
拓广探索：（3）如图2，若∠CAB＝∠EAD＝120°，BD＝4，CF为△BCE中BE边上的高，请直接写出EF的长度．
【答案】（1）见解析；（2）70°；（3）2
【解析】
【分析】
（1）根据SAS证明△BAD≌△CAE即可．
（2）利用全等三角形的性质解决问题即可．
（3）同法可证△BAD≌△CAE，推出EC=BD=4，由∠BEC=∠BAC=120°，推出∠FCE=30°即可解决问题．
【详解】
（1）证明：如图1中，
∵∠ABC＝∠ACB＝∠ADE＝∠AED，
∴∠EAD＝∠CAB，
∴∠EAC＝∠DAB，
∵AE＝AD，AC＝AB，
∴△BAD≌△CAE（SAS）．
（2）解：如图1中，设AC交BE于O．
∵∠ABC＝∠ACB＝55°，
∴∠BAC＝180°﹣110°＝70°，
∵△BAD≌△CAE，
∴∠ABO＝∠ECO，
∵∠EOC＝∠AOB，
∴∠CEO＝∠BAO＝70°，
即∠BEC＝70°．
（3）解：如图2中，
∵∠CAB＝∠EAD＝120°，
∴∠BAD＝∠CAE，
∵AB＝AC，AD＝AE，
∴△BAD≌△CAE（SAS），
∴∠BAD＝∠ACE，BD＝EC＝4，同理可证∠BEC＝∠BAC＝120°，∴∠FEC＝60°，
∵CF⊥EF，
∴∠F＝90°，
∴∠FCE＝30°，
∴EF＝1
2
EC＝2.
【点睛】
本题属于三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
10．如图，A（0，4）是直角坐标系y轴上一点，动点P从原点O出发，沿x轴正半轴运动，速度为每秒1个单位长度，以P为直角顶点在第一象限内作等腰Rt△APB．设P点的运动时间为t秒．
（1）若AB∥x轴，如图1，求t的值；
（2）设点A关于x轴的对称点为A′，连接A′B，在点P运动的过程中，∠OA′B的度数是否会发生变化，若不变，请求出∠OA′B的度数，若改变，请说明理由．
（3）如图2，当t＝3时，坐标平面内有一点M（不与A重合）使得以M、P、B为顶点的三角形和△ABP全等，请直接写出点M的坐标．
【答案】（1）4；（2）∠OA′B的度数不变，∠OA′B＝45 ，理由见解析；（3）点M的坐
标为（6，﹣4），（4，7），（10，﹣1）
【解析】
【分析】
（1）利用等腰直角三角形的性质以及平行线的性质，可证明△AOP 为等腰直角三角形，从而求得答案；
（2）根据对称的性质得：PA ＝PA '＝PB ，由∠PAB +∠PBA ＝90°，结合三角形内角和定理即可求得∠OA 'B ＝45°；
（3）分类讨论：分别讨论当△ABP ≌△MBP 、△ABP ≌△MPB 、△ABP ≌△MPB 时，点M 的坐标的情况；过点M 作x 轴的垂线、过点B 作y 轴的垂线，利用等腰直角三角形的性质及全等三角形的判定和性质求得点M 的坐标即可.
【详解】
（1）∵AB ∥x 轴，△APB 为等腰直角三角形，
∴∠PAB ＝∠PBA ＝∠APO ＝45°，
∴△AOP 为等腰直角三角形，
∴OA ＝OP ＝4．
∴t ＝4÷1＝4（秒），
故t 的值为4．
（2）如图2，∠OA ′B 的度数不变，∠OA ′B ＝45°，
∵点A 关于x 轴的对称点为A ′，
∴PA ＝PA '，
又AP ＝PB ，
∴PA ＝PA '＝PB ，
∴∠PAA '＝∠PA 'A ，∠PBA '＝∠PA 'B ，
又∵∠PAB +∠PBA ＝90°，
∴∠PAA '+∠PA 'A +∠PA 'B +∠PBA '
＝180()PAB PBA ∠∠︒-+
180=︒-90°
=90°，
∴∠AA 'B ＝45°，
即∠OA 'B ＝45°；
（3）当t ＝3时，M 、P 、B 为顶点的三角形和△ABP 全等，
①如图3，若△ABP ≌△MBP ，
则AP ＝PM ，过点M 作MD ⊥OP 于点D ，
∵∠AOP ＝∠PDM ，∠APO ＝∠DPM ，
∴△AOP ≌△MDP （AAS ），
∴OA ＝DM ＝4，OP ＝PD ＝3，
∴M 的坐标为：（6，-4）．
②如图4，若△ABP ≌△MPB ，则AB PM =，
过点M 作M E ⊥x 轴于点E ，过点B 作BG ⊥x 轴于点G ，过点B 作BF ⊥y 轴于点F ，
∵△APB 为等腰直角三角形，则△MPB 也为等腰直角三角形，
∴∠BAP ＝∠MPB=45︒，PA PB =
∵139023∠+∠=︒=∠+∠，
∴12∠=∠
∴Rt AOP Rt PGB ≅
∴34BG OP PG AO ====，
∵BG ⊥x 轴BF ，⊥y 轴
∴四边形BGOF 为矩形，
∴3OP BG ==，则431AF OA OF =-=-=
347BF OG OP PG ==+=+=
在Rt ABF 和Rt PME 中
∠BAF ＝45︒+1∠，∠MPE ＝45︒+2∠，
∴∠BAF ＝∠MPE
∵AB PM =
∴Rt ABF Rt PME ≅
∴71ME BF PE AF ====，
∴M 的坐标为：（4，7），
③如图5，若△ABP ≌△MPB ，则AB PM =，
过点M 作M E ⊥x 轴于点D ，过点B 作BG ⊥x 轴于点E ，过点B 作BF ⊥y 轴于点F ，
∵△APB 为等腰直角三角形，则△MPB 也为等腰直角三角形，
∴∠BAP ＝∠MPB=45︒，PA PB =
∵139023∠+∠=︒=∠+∠，
∴12∠=∠
∴Rt AOP Rt PEB ≅
∴34BE OP PE AO ====，
∵BE ⊥x 轴BF ，⊥y 轴
∴四边形BEOF 为矩形，
∴3OP BG ==，则431AF OA OF =-=-=
347BF OE OP PE ==+=+=
在Rt ABF 和Rt PMD 中
∵BF ⊥y 轴
∴42∠=∠
∵42ABF PMD ∠∠∠+=∠+
∴ABF PMD ∠∠=
∵AB PM =
∴Rt ABF Rt PMD ≅
∴17MD AF PD BF ====，
∴M 的坐标为：（10，﹣1）．
综合以上可得点M 的坐标为：（6，﹣4），（4，7），（10，﹣1）．
【点睛】
本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，矩形的判定和性质，第(3)小题要注意分类讨论，作此类型的题要结合图形，构建适当的辅助线，寻找相等的量才能得出结论．。