立体几何之垂直问题

立体几何之垂直问题

1．若l 、m 、n 是互不相同的空间直线，α、β是不重合的平面，则下列命题中为真命题的是（ ）

A ．若αβ∥，l α⊂，n β⊂，则l n ∥

B ．若αβ⊥，l α⊂，则l β⊥

C ．若l n ⊥，m n ⊥，则l m ∥

D ．若l α⊥，l β∥，则αβ⊥

2．已知m ，n 是不同的直线，α、β、γ是不同的平面，给出下列命题： ①αγ⊥，βγ⊥，则αβ∥； ②若n α⊥，n β⊥，则αβ∥； ③若n α⊂，m α⊂且n m ββ∥，∥，则α∥β； ④若m n ，为异面直线，n α⊂，n β∥，m β⊂，m α∥，则αβ∥．

则其中正确的命题是_______．（把你认为正确的命题序号都填上）

3．在正四面体P ABC -中，D 、E 、F 分别是AB 、BC 、CA 的中点，下面结论中不．成立的是（ ）

A ．BC ∥平面PDF

B ．DF ⊥平面PAE

C ．平面PDF ⊥平面ABC

D ．平面PA

E ⊥平面ABC

4．PA 垂直于正方形ABCD 所在平面，连结PB 、PC 、PD 、AC 、BD ，则下列垂直关系正确的是（ ）

①面PAB ⊥面PBC ②面PAB ⊥面PAD ③面PAB ⊥面PCD ④面PAB ⊥面PAC A ．①② B ．①③ C ．②③ D ．②④

5．如图，在四面体ABCD 中，CB CD =，AD BD ⊥，点E 、F 分别是AB 、BD 的中点， 求证：⑴直线EF ∥平面ACD ；⑵平面EFC ⊥平面BCD ．

6．如图所示，ABC △是正三角形，AE 和CD 都垂直于平面ABC ，且2AE AB a ==，CD a =，

F 是BE 的中点．

⑴求证：DF ∥平面ABC ；⑵求证：AF BD ⊥．

F

E

D

C

B A F

E

D

C B A

线面垂直与面面垂直的证明

【例1】 ⑴如图1，在三棱锥P ABC -中，PB PC =，AB AC =．求证：PA BC ⊥．

⑵如图2，在正方体1111ABCD A B C D -中．求证：1BD ⊥面1AB C ．

【例2】 直三棱柱111ABC A B C -中，11190C A B ∠=︒，11111AC A B BB ==，

M 、N 分别是11A C 、1B C 的中点．

⑴求证：MN ∥平面11ABB A ；⑴求证：MN ⊥平面1ACB ．

图 1P

C

B

A

图 2D

C B

A

B 1

D 1

C 1

A 1

M

C 1

B 1

A 1

A

B N

C

线面垂直与面面垂直

线面垂直：如果一条直线和一个平面相交于点，并且和这个平面内过

点的任何直线都垂直，我们就说这条直线和这个平面互相垂直．

点面距离：如果一条直线和平面垂直，则线与面的交点叫做垂足，垂线上任

意一点到垂足间的线段，叫做这个点到这个平面的垂线段．垂线段的长度叫做这个点到平面的距离．

判定定理：如果一条直线与平面内的两条相交直线垂直，则这条直线与这个

平面垂直．

推 论：如果两条平行直线中，有一条垂直于平面，那么另一条直线也垂

直于这个平面．

性质定理：如果两条直线垂直于同一个平面，那么这两条直线平行．

面面垂直：如果两个相交平面的交线与第三个平面垂直，又这两个平面与第三

个平 面相交所得的两条交线互相垂直，就称这两个平面互相垂直．

判定判定定理：如果一个平面过另一个平面的一条垂线，则两个平面互相垂直． 性质定理：如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线

垂直于另一个平面．

线面垂直

面面垂直

定义

定理

定

理

定义

复习题

1．下列命题中正确的是（）

A．若一个平面中有无数条直线与另一个平面平行，则这两个平面平行

B．垂直于同一平面的两个平面平行

C．存在两条异面直线同时平行于同一平面

D．三点确定一个平面

2．设α，β是两个不同的平面，l，m是两条不同的直线，且l⊂α，m⊂β，（）A．若l⊥β，则α⊥βB．若α⊥β，则l⊥m

C．若l∥β，则α∥βD．若α∥β，则l∥m

3．已知m，n为两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，且n⊂β，则下列叙述正确的是（）

A．m∥n，m⊂α⇒α∥βB．α⊥β，m⊥n⇒n∥α

C．m∥n，m⊥α⇒α⊥βD．α∥β，m⊂α⇒m∥n

4．已知三棱锥A﹣PBC中，P A⊥面ABC，AB⊥AC，BA＝CA＝2P A＝2，则三棱锥A﹣PBC 底面PBC上的高是（）

A．B．C．D．

5．在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，异面直线AC与BD1所成的角为（）A．B．C．D．

6．设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列四个命题为假命题的是（）A．若m⊥α，n∥α，则m⊥n

B．若α⊥面γ，β⊥面γ，α∩β＝l，则l⊥面γ

C．若m∩n＝A，m∥α，m∥β，n∥α，n∥β，则α∥β

D．若α⊥β，a⊂α，则a⊥β

7．已知m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，下列命题中正确的是（）A．若m∥α，n∥α，则m∥n B．若m∥α，n∥β，则a∥β

C．若a⊥γ，β⊥γ，则a∥βD．若m⊥α，n⊥α，则m∥n

8．若直线b不平行于平面α，且b⊄α，则下列结论成立的是（）

A．α内的所有直线与b异面B．α内不存在与b平行的直线

C．α内存在唯一的直线与b平行D．α内的直线与b都相交