分数阶微分方程的数值解法
分数阶偏微分方程的数值解及基本解
分数阶偏微分方程的数值解及基本解
就数值解和基本解而言，分数阶偏微分方程是一类特殊的微分方程，它出现在运动学、热
力学、非线性动力学等许多应用领域中。
它的特殊性在于，它的解可以在数值上进行求解。
分数阶偏微分方程的数值解通常由Meyer族的一个方法来实现，它具有准确性和稳定性，
具有易于操作等优势。
该方法可以解决更复杂的分数阶偏微分方程，并且只需要较少的计
算量，节省计算机资源。
基本解是指分数阶偏微分方程的特殊解，它是一种满足特定条件的解。
基本解有利于求解
分数阶偏微分方程，但它无法求解所有的分数阶偏微分方程，可能需要对该方程进行适当
的变形才能求解。
总之，解决分数阶偏微分方程的数值解和基本解是一种有效的方法，广泛应用于经济、工
程及技术学科领域，为科学技术的发展做出了重要贡献。
分数阶微分方程解法
分数阶微分方程解法1、分数阶微积分介绍分数阶微积分是传统微积分的推广和扩展，在这门学科中，函数的导数和积分的阶数可以为分数，有时也可以是负数或复数。
与传统微积分相比，分数阶微积分的应用更加广泛，可以通过它来解释和研究各种复杂的自然现象，例如金融市场的非平稳性、地震的时序性等。
2、分数阶微分方程简介分数阶微分方程是指微分方程的微分阶数为分数，例如阶为1.5或2.7的微分方程。
在实际应用中，分数阶微分方程被广泛地用于描述自然现象的动态行为，例如分形、非线性动力学、力学、电动力学和生物学等。
3、分数阶微分方程的解法分数阶微分方程的解法是与传统微分方程不同的。
下面介绍两种常用的解法。
3.1、分式变换法分式变换法是最常用的解分数阶微分方程的方法之一。
它的基本思想是将分数阶微分方程转化为一些常见的函数或微分方程。
例如，我们考虑一个分数阶微分方程：D^βy(t)=f(t)，其中D^β表示分数阶导数运算符，y(t)是未知函数，f(t)是已知函数。
现在我们把分数阶微分方程改写为下面的形式：y(t)=1/Γ(α)(d/dt)^α∫_0^t f(u)(t-u)^{α-1}du其中α和β之间的关系可以用以下公式表示：α=β-n这里，n是一个正整数，它满足0<n<=β。
通过这个公式，分数阶微分方程就被转化为常数阶微分方程和分式变换的形式。
3.2、拉普拉斯变换法拉普拉斯变换法也是解分数阶微分方程的有效方法。
它的基本思想是将分数阶微分方程转化为常数阶微分方程，然后通过拉普拉斯变换及其逆变换来得到方程的解。
例如，我们考虑一个分数阶微分方程：D^βy(t)+ay(t)=f(t)，其中a是常数，D^β表示分数阶导数运算符，y(t)是未知函数，f(t)是已知函数。
现在我们把分数阶微分方程改写为下面的形式：L{D^βy(t)}+aL{y(t)}=L{f(t)}其中L表示拉普拉斯变换，而L{D^βy(t)}和L{f(t)}分别是D^βy(t)和f(t)的拉普拉斯变换。
第一讲分数阶微分方程
1 (n − 1)!
ˆ
a
x
(x − τ )n−1 f (τ ) dτ =
1 Γ(n)
ˆ
a
x
(x − τ )n−1 f (τ ) dt.
(1.3)
由于 Gamma 函数对任意正实数都有定义, 因此我们可以将公式 (1.3) 推广到任意正实数情形. 定义 1.1 (分数阶积分) 设 α > 0, f (x) ∈ L1 [a, b]. 则 f (x) 的 α 阶积分为
α D− x f (x)
a
1 Γ(α)
ˆ
a
x
(x − t)α−1 f (t) dt,
(1.4)
这就是 分数阶积分. 虽然名称中是 “分数阶”, 但事实上是对任意正实数都有定义.
α 显然, 当 α 是正整数时, a D− x 就是通常意义下的整数阶导数.
如果 f (x) 在 [a, b] 上连续, 则可以证明
α→0
lim
a
α D− x f (x) = f (x).
因此, 为了操作方便, 我们通常记
a
D0 x f (x) = f (x).
分数阶积分的存在性 分数阶积分的定义是否合理, 只要看积分 (1.4) 是否存在. 如果 α ≥ 1, 则 (x − a)α−1 是连续的, 因此对 任意 f (x) ∈ L1 [a, b], 积分 (1.4) 是显然存在的. 当 0 < α < 1 时, 结论并不是显然的.
由于阶乘只对正整数有定义, 因此无法将上面的定义方式直接推广到分数情形. 此时我们可以借助 Γ 函数, 将 f (n) (x) 改写成 Γ(m + 1) f (n) (x) = xm−n . (1.1) Γ(m − n + 1) 注意到 Γ 函数是在复平面的整个右半平面上都有定义的, 因此可以将 (1.1) 推广到 n 是正实数的情形, 即 f (α) (x) = Γ(m + 1) xm−α . Γ(m − α + 1) (1.2)
分数阶微积分方程的一种数值解法
有限元法：适 用于求解复杂 的几何形状和
边界条件
谱方法：适用 于求解高维问 题和高阶微分
方程
迭代法：适用 于求解非线性
问题
算法优化策略
减少计算量： 采用高效的算 法和数值方法， 降低计算复杂
度
提高精度：采 用高阶数值方 法，减小误差， 提高解的精度
加速收敛：采 用加速收敛技 术，如松弛法、 预处理共轭梯 度法等，加快 迭代收敛速度
误差传播：误差在计算过程中 的积累和传播
误差估计：对数值解的精度进 行评估和预测
误差控制：采用适当的算法和 技术减小误差，提高数值解的 精度
05 数值解法的应用实例
实际问题建模
描述实际问题，建立数学模型 确定模型参数和变量 利用数值解法求解模型 分析结果，给出实际解决方案
数值模拟结果
展示了数值解法的实际效果 和精度
稳定性优化： 采用稳定性好 的算法和数值 方法，提高解
的稳定性
并行计算的应用
分数阶微积分方程数值解法的并行计算框架 并行计算在提高数值解法效率方面的优势 并行计算在优化数值解法精度方面的作用 并行计算在处理大规模分数阶微积分方程时的表现
误差分析
数值解法的误差来源：离散化 误差、舍入误差和截断误差
有限差分法
定义：有限差 分法是一种数 值求解偏微分 方程的方法， 通过将微分转 化为差分来近
似求解。
原理：基于泰 勒级数展开， 将微分算子近 似为离散的差 分算子，从而 将微分方程转 化为差分方程。
适用范围：适 用于规则区域， 如矩形、立方 体等，对于不 规则区域需要 进行适当的网
格划分。
优点：计算简 单、易于编程 实现、适合大
应用领域：广泛用于工程领域中的 各种微分方程的数值求解问题，如 结构分析、流体动力学、热传导等
分数阶微积分方程
分数阶微积分是一个数学概念，它扩展了整数阶微积分到分数和复数领域。
分数阶微积分方程是分数阶微积分在数学建模中的应用，可以描述许多自然现象和工程问题。
分数阶微积分方程的一般形式为：
Df(x)=f(x)x∈[a,b]Df(x)=f(x) \quad x \in [a, b]Df(x)=f(x)x∈[a,b]
其中 D 是分数阶导数，f(x) 是待求解的函数，a 和 b 是定义域的上下限。
分数阶微积分方程的解法通常包括以下步骤：
1. 确定方程的形式和参数。
2. 确定初始条件和边界条件。
3. 使用数值方法求解方程，例如有限差分法、有限元法等。
4. 对解进行后处理，例如误差分析、可视化等。
分数阶微积分方程在许多领域都有应用，例如物理学、工程学、生物学等。
例如，在物理学中，它可以描述粘弹性材料的力学行为；在工程学中，它可以描述信号处理和控制系统；在生物学中，它可以
描述神经传导和扩散过程。
变系数分数阶偏微分方程的数值解法
Advances in Applied Mathematics 应用数学进展, 2023, 12(4), 1418-1428 Published Online April 2023 in Hans. https:///journal/aam https:///10.12677/aam.2023.124145变系数分数阶偏微分方程的数值解法崔曼若青岛大学数学与统计学院，山东 青岛收稿日期：2023年3月7日；录用日期：2023年4月1日；发布日期：2023年4月11日摘要本文旨在对二维具有变系数的分数阶偏微分方程构造一种有效的有限差分格式，通过对误差的分析得到该差分格式的收敛阶为()32212Οh h ατ−++，其中τ表示时间步长，12,h h 表示空间步长，12α<<。
通过能量分析方法证明所提出的有限差分格式的收敛性和稳定性，最后，我们利用高斯迭代法求解给出的数值算例，通过对误差的处理得到上述格式的收敛阶，并通过图像进一步说明该差分格式的有效性，即通过有限差分格式得到的数值解既能保持原问题表现出来的性质，又可以在一定误差允许的范围内满足工程问题的需要。
关键词变系数，分数阶，有限差分方法，能量方法，收敛性和稳定性Numerical Solution of Fractional Partial Differential Equations with Variable CoefficientsManruo CuiSchool of Mathematics and Statistics, Qingdao University, Qingdao ShandongReceived: Mar. 7th , 2023; accepted: Apr. 1st , 2023; published: Apr. 11th, 2023AbstractThe purpose of this paper is to construct an efficient finite difference scheme for two-dimensional fractional partial differential equations with variable coefficients. By analyzing the error, the con-vergence order of the difference scheme is ()32212Οh h ατ−++, where τ denotes time step, 12,h h denote space step, 12α<<. The convergence and stability of the proposed finite difference scheme崔曼若are proved by energy method. Finally, we use Gauss iterative method to solve the given numerical example, the convergence order of the above scheme is obtained by dealing with the error, and the effectiveness of the scheme is further illustrated by the image, that is, the numerical solution ob-tained by the finite difference scheme can not only keep the properties of the original problem, but also meet the needs of engineering problems within a certain error allowable range.KeywordsVariable Coefficients, Fractional Order, Finite Difference Method, Energy Method, Convergence and StabilityCopyright © 2023 by author(s) and Hans Publishers Inc.This work is licensed under the Creative Commons Attribution International License (CC BY 4.0)./licenses/by/4.0/1. 引言近几十年来，随着大家对反常运输现象和反常扩散过程的兴趣越来越大[1] [2]，与整数阶偏微分方程相比，分数阶偏微分方程由于其自身具有非局域性、可记忆性和遗传性，所以更容易模拟记忆相关现象和复杂介质。
分数阶微分方程数值解的一种逼近方法讲解
分数阶微分方程数值解的一种逼近方法By:Pankaj Kumar, Om Prakash Agrawal摘要本文提出了一类分数阶微分方程（FDEs）的数值解方案.在这种方法中,FDEs 被Caputo型分数阶导数所表现. Caputo型分数阶导数的属性可以让一个分数阶微分方程减弱为一个Volterra型积分方程. 这样做了之后,许多研究Volterra 型积分方程的数值方法也可以应用于寻找FDEs的数值解. 本文总时间被划分为一组小区间,在两个连续区间中，用二次多项式逼近未知函数. 这些近似被替换成转化的Volterra型积分方程由此获得一组方程. 这些方程的解提供了FDE的解. 这种方法被应用于解决两种类型的FDEs,线性和非线性. 用这里给出的方法得到的解能与解析解和其他方法的数值解较好的吻合. 同时结果说明这种数值方法是稳定的.1.引言本文讨论分数阶微分方程的数值解. 分数阶导数和分数阶积分近年来收到了广泛的关注. 在许多实际应用中，分数阶导数和分数阶积分为考虑的系统提供了更加精确地模型. 比如，分数阶导数已经被成功地运用到模拟许多粘性材料的依赖频率的阻尼行为.1980年之前，Bagley 和Torvik提出了这个领域已经被研究的工作的一个回顾，并且说明了半阶导数模型可以非常好地描述阻尼材料的频率以来. 另一些学者说明了分数阶导数和分数阶积分在电化学过程，电解质极化，有色噪声，粘性材料和混沌领域的应用. Mainardi，Rossikhin和Shitikova 提出了分数阶导数和分数阶积分在一般固体力学，特定粘弹性阻尼模型中的应用的调查. Magin提出了分数阶微积分在生物工程的三个关键部分的回顾. 分数阶导数和分数阶积分在其他领域的应用以及相关的数学工具和技巧还可以在许多其他文献上找到.系统模型中分数阶导数的引进大多会导致分数阶微分方程的出现. 对某些特定的分数阶微分方程在通常系统条件下的解，已经有几种方法被找到. 这些方法包括，拉普拉斯变换，傅里叶变换，模态综合法和特征向量展开法，数值法以及基于Laguerre积分公式的方法. 然而，这些方法中大多数不能被应用到非线性分数阶微分方程. 更进一步的，正如Diethelm等人指出的，这些方法很多只能应用到特定类型的分数阶微分方程，并且人们并不知道他们能否被推广. 并且，在很多作者的研究成果中，并没有出现系统性的收敛性分析.最近，对于能被应用到线性和非线性分数阶微分方程的数值稳定数值逼近技巧，人们的兴趣愈发浓厚. 这些方法技巧大多利用了分数阶微分方程可以被减弱为Volterra型积分方程的特性. 因此，Volterra型积分方程的数值解法也可以应用到分数阶微分方程的解当中. Diethelm等人提出了分数阶微分方程数值解的一种PECE方法，其中P,C,E分别代表预测，校正和估计. 这样一来很多学者又推广了应用于常微分方程和分数阶微分方程的Adams–Bashforth–Moulton 型预测-校正格式. 这种方法的提出也是利用分数阶微分方程可以被转化为Volterra型积分方程的特点. 这些作者同时提出了误差分析和用Richardson外推法改善数值精度的延伸. Ford和Simpson提出了一种阶数大于1的分数阶微分方程的数值解法. 在该公式中，阶大于1的分数阶微分方程被减弱为阶小于1的分数阶微分方程，然后用相应的数值解法解由此导出的系统. 在所有这些方法当中，节点之间的未知函数用线性函数逼近. Kumar and Agrawal提出了阶数大于1的分数阶微分方程的数值解法. 这种方法要求就y(t)和它的导数在时间节点上连续.本文基于古典分数阶微分方程可以转化为Volterra型积分方程的特点也提出了一种数值方法来逼近分数阶微分方程的解. 特别地，我们用二次逼近函数来建立这种算法，结果说明这种方法可以被应用到寻求分数阶微分方程的数值解. 我们还通过两个例子，线性和非线性问题的解决，说明了这种方法的高效和准确，并且这种数值方法是稳定的.2.数值算法关于分数阶导数的定义已经出现有好几种，它们包括Riemann–Liouville, Grun-wald–Letnikov, Weyl, Caputo, Marchaud,和Riesz分数阶导数. 这里，我们规定使用Caputo导数.其中，Caputo导数的定义是, (n-1<α<n),(1)其中，α是导数的阶数，n是比α大的最小的整数.式(1)早在19世纪就在Liouville的论文中被提出，在Caputo的论文发表前一年它被Rabotnov所用. 然而，在文献中，被（1）式所定义的分数阶导数作为Caputo导数被广泛认知.在接下来的讨论中，我们考虑含有Caputo导数的初值问题:(2)在初始条件：, k=0,1,...,n-1,(3)下的解，其中，f是任意函数，是y的k阶导数，，k=0,1,…,n-1是指定初值条件. 假设这个函数关于参数和积分区间都是连续的，并且对于它的第二个参数满足Lipschitz条件.在纯数学中，Riemann–Liouville导数比Caputo导数应用更加广泛. 然而，这里考虑Caputo导数是因为以Riemann–Liouville导数为基础的分数阶微分方程要求y(t)在t=0点的导数和积分为0.一般来说，这些条件的物理意义不是已知的，并且在实际应用中，他们是不可用的. Lorenzo and Hartley讨论了寻找在更一般的情况满足下初始条件的正确格式的问题. 在Diethelm and Ford的文章中，方程(2)和(3)被证明可以等价描述为:,(4)其中g(t)为:. (5)为了解释以二次多项式为基础的数值方法，我们假设我要求的是由(2)式定义的分数阶微分方程从0到T的积分. 为了达到这个目的，我们把时间T等分成N 份，令h=T/N，作为时间区间的每一个部分. 时间在网格点上被表示为. 同时假设y(t)的数值逼近值被网格点所决定. 该方法的基本思想是在相邻的两个时间节点和上数值地获取函数y(t)的值，然后重复这个过程来接近所求积分直到取到终点T.为了便于接下来的讨论，我们规定如下记号:, ,这里的方法需要对方程(4)每一步求两次积分值. 这里有两种方法来达成目的.第一种,用一些近似函数逼近y(t)，然后用一种数值方法确定式(4)的积分值.这里需要在未知积分的情况下对和作初始的估计. 第二种, 都用近似函数来显式地逼近y(t)和f(t,y(t))以及确定式(4)的积分. 注意在这种情况下，和会作为参数出现在函数f当中. 本文利用的是第二种逼近方法.现在，我们给出算法的详细思路. 首先我们需要确定y(t)，，的值. 用二次插值函数可以在区间[0，]上逼近y(t)和f(t,y(t)):(6)以及(7)其中，是函数在第k个时间节点的值，，k=0,1,2是二次插值函数，其中下标（j,k）代表在第j+1，j=0,…,m步的第k个近似函数.我们首先确定y(t)在和处的值. 把(7)式带入(4)式，并积分得到:(8)其中,,(9)可以精确计算得到. 注意式(8)需要知道f在和的值(或者间接地说，y的值). 为了得到，在[，]上把f(t,y(t))近似为:，(10)其中，,是另一个二次插值函数. 函数,k=1,2,3由下式给出，函数由相似的办法定义.把(10)代到(4)中，积分得到:, (11)其中，, (12)可以(9)中一样被精确计算出来. 由(7)可以得到的值为:(13) 这里，我们充分利用了二次多项式的性质. 在非二次多项式的情况下，将会有不同的参数.把(13)代到(11)得到,+, (14)注意到(8)和(14)是关于两个未知量和的方程，可以用Newton–Raphson法，不动点迭代或者其他非线性方法求解. 这里，我们用Newton–Raphson法求解这些非线性方程. 这个方法需要对和作一个初始的估计. 当α大于1, 由t=0处的斜率可以得到关于和的更好的估计. 然而，在这里，对于α>1和α<1我们对把这些变量的初值估计为. 注意在每一次迭代式，时间步长取2h.现在我们假定在处，y的值是已知的，我们要求的是和处的值. 根据以上的逼近方法，和可以被表示为：+, (15)++(16)其中，,k=2m,2m+2,2m+2,,k=2m,2m+1/2,2m+1是和,用同样方法确定的系数. 注意(15),(16)的积分可以被数值确定因为y(t)在,处的值是已知的. 这些方程含有两个未知量和,而他们可以通过Newton–Raphson法得到. 本文中，我们把作为和的初值估计. 这样一来，方程(1)就可以在需要的区间上求积分.作为特殊情况，考虑如下非线性系统:.这种条件下，，式(16)和(15)减弱为:, (17) 其中=, (18)=, (19)=-, (20)=1+(21)=-, (22)=- . (23)(17)是一组线性联立方程，可以用线性方法求解.请注意以下两个补充说明. 第一，方程(1)只含有一个y(t). 当y(t)是一个向量函数时，算法同样成立.不过，所有的y(t)和f(t,y(t))必须换成相应的近似向量函数. 第二，算法需要保存所有算过的的y的值. 这是很多分数阶微分方程的典型特征. 这将会导致一些问题，特别是当y的维数和分数阶有限元系统一样大时. 这种情况下，系统有临近的短期记忆，y(t)在过去一段时间长度的值可以忽略不计,以此来改善对存储空间的需求和计算效率.3. 数值结果为了说明这种方法的效率,我们分别考虑一个线性和一个非线性的算例. 讨论这些例子是因为他们解的逼近格式是可靠的，并且可以用其他数值方法求解. 这样我们就可以把用这种方法得到的结果和解析解以及其他数值方法的结果相比较.３.１例１线性方程在第一个例子中，我们考虑如下给出的线性方程:，０＜α＜２，(24) 且. (25) 初始条件仅当α>1是成立. (24),(25)的解是：，(26) 其中,. (27) 是Mittag–Leffler函数的阶.图1.α=0.75时y(t)的比较（O:解析解，X:本文数值方法）表1.α=0.75时h在不同值下函数y(t)的误差对不同的α和h可以得到很多结果，这里给出其中一些. 在各种情况下，我们另T=6.4s.考虑这个区间是因为它接近α=2的系统的时间. 这里图(1)比较了α=0.75时的解析解和二次数值方法. 在这种情况下，我们令h=0.1s. 注意到这两个结果几乎完全重合. 为了强调收敛性，表(1)列出了当α=0.75,h分别等于0.4，0.2，0.1，0.05和0.025时的结果. 注意到随着步长的缩小，误差也如期望一样的缩小了. 在大部分节点误差比R=E(2h)/E(h)都非常接近3.37，这表明误差阶为1.75(或E(h)=O()).图2. α不同时y(t)的比较(O:α=0.25，X:α=0.5，+:α=0.75，Δ:α=0.95，*:α=1.)图3.α=1.5时y(t)的比较(O:解析解，X:本文数值方法)表2.α=1.5时h在不同值下函数y(t)的误差图(2)展示了h=0.025,α分别等于0.25，0.5，0.75，0.95和1时y(t)的数值结果.因为解析解和数值结果完全一致，因此图中没用画出解析解. 当α=1时，精确解为y(t)=. 注意到随着α越来越接近1，数值解越收敛到解析解y(t)=,即在极限情况下，分数阶微分方程的解接近整数阶导数的解.更进一步地，我们给出了α>1的一系列结果.α<1和α>1的结果是分离的，因为y(t)的斜率在α=1处有一个跃迁.图３比较了y(t)在α=1.5，h=0.4时的解析解和数值解. 两个结果又一次几乎完全重合.为了突出收敛性，表2给出了α=1.5，h分别等于0.4，0.2，0.1，0.05和0.025时的数值解. 正如之前观察到的一样，在这种情况下，随着步长的减小，误差也随之减小. 在这种情况下，误差比接近5.5，这表明误差阶为2.5(或E(h)=O()). 这样一来，通过观察α<1和α>1的收敛结果，可以知道误差的收敛阶为1+α(或E(h)=O()),即误差的阶不仅依赖于h，还依赖于导数的阶α.图4. α不同时y(t)的比较(O:α=1.25，X:α=1.5，+:α=1.75，Δ:α=1.95，*:α=2.)图5.α=0.25，0.75，1.25，1.75时y(t)的比较(O:解析解，X:本文数值方法)表3.本文数值方法和文献(35)中y(t)的误差的比较.图4展示了h=0.025,α分别等于1.25，1.5，1.75，1.95和2时y(t)的数值结果.又一次，因为解析解和数值结果完全一致，因此图中没用画出解析解. 当α=2时，精确解为y(t)=cos(t). 注意到随着α越来越接近2，数值解逐渐收敛到整数阶导数的解. 图2和图4展示的收敛结果十分重要，因为他们说明了在极限情况下，分数阶微分方程和他们的解逼近整数阶微分方程以及他们的解析解. 表3比较了t=1.0文献(35)的解的误差和用本文数值方法在α=0.5和1.25，h=0.1,0.05,0.025的解的误差. 注意到本文的方法得到了更低阶的误差. 这是因为，这里的方法是一种高阶方法. 当α和h取其他值时这种趋势也能显现出来.3.2 例2.非线性方程在第二个例子中，我们考虑一个如下定义的非线性方程:(28) 且. (29) 和之前一样，第二个初始条件仅适用于α>1. (28)(29)的精确解在文献(35)中已给出,(30)注意到当α<1, 方程的解在t=0处的斜率趋近于无穷. 因此，他可能导致在t=0附近出现一个巨大的数值误差.表4. α=0.75和1.5，h取不同值下y(t) 的误差.表5. 文献（35）中y(t)的误差和用本文数值方法得到的y(t)的误差的比较上面给出了一些在不同α和h下的数值结果. 图5表示了h=0.05,α分别等于0.25，0.75，1.25，1.75时解析解和数值解的结果. 由它可以得到(1).解析解和数值解基本重合，当α取其他值是，可以得到同样的结果. (2)尽管在t=0处斜率非常大，但是方法给出了非常精确的结果. （3）正如预期的那样, 在t=1处，对所有的α，y(t)的值收敛到0.25. 表4列出了当α=0.75和1.5，h=0.1,0.05和0.025的数值解的误差. 注意到误差随着步长的减小而减小. 同样的趋势在α取其他值时也能观察到. 在尝试过的α的值中，误差比R=E(2h)/E(h)表明没有特定的收敛阶. 然而，当α=0.75和1.5时，收敛的误差的平均值接近12和15.表5比较了文献(35)中在t=1.0处解的误差和用这种方法在α=0.25和1.25，h=0.05时的误差. 这里我们用的是文献(35)中用Richardson外推法得到的值. 观察得到，本文的方法又一次给出了更小的误差. 当α=0.25时，这种方法给出了比Richardson外推法小得多的误差. 这可能是因为，当α等于0.25时y(t)在t=0附近的斜率改变非常迅速,并且线性方法不能精确地获得结果. 需要指出的是，这种数值方法对于α和h取其他值时同样给出了更加精确的结果.4．结论本文给出了一种经典的分数阶微分方程的数值逼近方法. 这里的分数阶微分方程是依据Caputo型分数阶导数给出的, 这种导数的性质可以把分数阶微分方程减弱为Volterra型积分方程. 时间区间被分成一组网格，通过3个连续节点的二次插值多项式逼近未知的和已知的函数y(t)和f(t,y(t)). 把这些多项式带入Volterra型积分方程可以得到一组代数方程，这种数值方法的提出就是用来解这些方程以及获取y(t)的解. 通过一个线性一个非线性的例子的解决，说明了这种数值方法的作用. 用这种方法得到结果和解析解以及其他数值方法的结果是一致的. 还得到一个结论就是结果随着步长的减小而收敛. 在极限情况小，当α逼近整数值，数值方法会得到一个整数阶系统的解. 结果还表明这种方法是数值稳定的.。
分数阶微分方程的数值求解算法
分数阶微分方程的数值求解算法分数阶微分方程是一类在科学和工程领域中广泛应用的数学模型。
与传统的整数阶微分方程不同，分数阶微分方程包含了非整数阶导数，具有更广泛的物理意义和应用背景。
然而，由于分数阶导数的非局部特性，分数阶微分方程的数值求解相对困难。
为了克服这一问题，人们提出了多种数值求解算法。
一种常用的分数阶微分方程数值求解算法是基于离散化方法的。
这种方法将分数阶微分方程表示为一个离散的差分方程，并使用适当的差分格式进行数值求解。
其中，最为常见的是基于格点和差分点的有限差分法。
该方法通过将域离散化为一组格点和差分点，将分数阶导数转化为近似导数，进而得到离散化的差分方程。
然后，通过迭代求解离散化的差分方程，得到分数阶微分方程的数值解。
除了基于离散化方法的数值求解算法，还有一种常用的方法是基于变换方法的。
这种方法基于分数阶微分方程的变换理论，将分数阶微分方程转化为整数阶微分方程或者整数阶积分方程。
然后，使用传统的整数阶微分方程或积分方程的数值求解算法来求解得到的转化方程。
常见的变换方法包括拉普拉斯变换法、傅里叶变换法和小波变换法等。
这些方法在降低了求解难度的同时，可能会引入一定的误差，需要对误差进行适当的控制和修正。
此外，还有一些其他的数值求解算法被用于分数阶微分方程的求解，如基于插值法的算法、基于迭代法的算法和基于逼近法的算法等。
这些算法在特定情况下可能具有较好的数值性能和求解效果。
但是，无论使用何种算法，都需要注意数值稳定性和精度控制的问题，以确保得到可靠的数值解。
综上所述，分数阶微分方程的数值求解算法是一个重要而具有挑战性的问题。
各种不同的算法都有其适用范围和特点，在具体应用中需根据实际情况选择合适的算法。
随着对分数阶微分方程理论和方法的深入研究，相信会有更多高效、精确的数值求解算法被提出，并得到广泛应用。
分数阶微积分运算
分数阶微积分运算
分数阶微积分是指微积分中涉及分数阶导数、积分和微分方程的运算方法。
在分数阶微积分中，阶数不再限制为整数，可以是任意实数或者复数。
分数阶导数是指对函数进行分数阶次的导数运算。
一个常见的分数阶导数定义是通过分式导数的级数展开形式来定义，比如：
D^k f(x) = 1/Γ(n-k) ∫[a,x] (f(t)/(x-t)^(n-k+1)) dt
其中 D^k 表示分数阶导数操作符，f(x)是要求导的函数，a是
积分的下限，n是大于k的最小整数，Γ 表示伽玛函数。
这个
定义式可以进行数值计算，用于求解一些特殊函数的导数。
分数阶积分是指对函数进行分数阶次的积分运算。
一般来说，分数阶积分是通过分式积分的级数展开形式来定义的：
∫[a,x] f(t) (x-t)^(k-n-1) dt = 1/Γ(n-k) f(k)(x)
其中 f(k)(x) 是函数 f(x) 的 k 阶导数，Γ 表示伽玛函数。
分数阶积分可以用于求解一些常见的特殊函数的积分。
分数阶微分方程是指微分方程中含有分数阶导数的方程。
分数阶微分方程在科学工程中有广泛的应用，例如描述非线性传导、扩散和分数阶控制等问题。
求解分数阶微分方程通常需要采用数值方法，例如分数阶欧拉方法、分数阶Runge-Kutta方法等。
总之，分数阶微积分是一种推广了整数阶微积分的数学工具，用于描述和求解更广泛的科学问题。
分数阶微分方程的有限差分方法
分数阶微分方程的有限差分方法
有限差分方法是一种用于求解非线性常微分方程组的数值解法，它是基于近似和穷举的思想，它把原来的复杂的微分方程组转化为一组离散的常系数线性方程组，用点阵替代连续的空间来表示时间曲线，通过计算点阵上的点及其邻域的变量值来求解源方程。
有限差分方法的基本思想是，假设在某一点的函数值可以由其邻域的点的函数值决定，这样就可以把原来的微分方程组转换成一组常系数线性方程组，把求解过程转变为解决线性方程组的过程，从而可以用数值方法求解。
有限差分方法的特点在于，它把计算复杂的微分方程组，转换为相对简单的线性方程组，而且，它的计算量依赖于网格结点的数量，从而使得计算量保持在一个可控的范围内。
有限差分方法的应用范围也非常广泛，它可以用来解决一些复杂的微分方程，如拉普拉斯方程，抛物方程，泊松方程，非线性波方程等等。
因此，有限差分方法是一种经过优化的数值解法，它能够高效地求解复杂的微分方程，也得到了广泛的应用。
分数阶微分方程数值求解的常用方法
2017年07月分数阶微分方程数值求解的常用方法高旺（东北石油大学,黑龙江大庆163318）摘要：分数阶微积分是由整数阶微积分推广而来，主体理论是关于任意阶微分和积分的。
整数阶微积分和分数阶微积分是统一的。
尽管众多学者创造了许多用来描述分数阶微分方程、分数阶积分方程和分数阶偏微分方程的数学模型，但关于分数阶微分方程的精确、高效的算法仍然缺乏。
因此，下一步的重点就是寻找求解分数阶微分方程，特别是非线性微分方程的方法。
关键词：分数阶微积分；整数阶微积分；数学模型Abstract:Fractional calculus is generalized by integer calcu⁃lus,and the principal theory is about any order differential and in⁃tegral.Integer calculus and fractional calculus are uniform.Al⁃though many scholars have created a number of mathematical models to describe fractional differential equations,fractional inte⁃gral equations,and fractional partial differential equations,the ex⁃act and efficient algorithm for fractional differential equations is still lacking.Therefore,the next step is to find a solution to the fractional differential equation,especially the nonlinear differential equation.Key words:fractional calculus;integer order calculus;mathe⁃matical model几个世纪以来，对分数阶微积分的理论研究非常有限，主要集中在数学的纯领域。
分数阶微分方程的数值解法及其MATLAB实现
分数阶微分方程的数值解法及其MATLAB实现1.分数阶微分方程的定义和性质分数阶导数是一般导数的推广，可以用分数阶微分方程来描述分数阶导数的性质。
分数阶微分方程一般形式如下：D^αy(t)=f(t,y(t)),0<α≤1其中，α是分数阶指数，D^α是分数阶导数符号，y(t)是未知函数，f(t,y(t))是已知的函数。
2.分数阶微分方程的数值解法由于分数阶导数的定义较为复杂，常见的数值解法有两种：格点差分法和Laplace变换法。
2.1格点差分法格点差分法是将连续的分数阶导数问题离散化为离散的整数阶微分方程问题，然后利用传统的整数阶微分方程数值解法求解。
具体步骤如下：(1)将时间区间[0,T]平均分为N段，使得Δt=T/N。
(2)将分数阶导数D^α近似为整数阶导数D_m^β，其中m>α>m-1，β=m-α。
(3)将方程D^αy(t)=f(t,y(t))离散为差分方程D_m^βy(t_k)≈f(t_k,y(t_k))，其中t_k=kΔt，k=0,1,2,...,N。
(4)解差分方程，得到数值解y_k，k=0,1,2,...,N。
2.2 Laplace变换法Laplace变换法是将分数阶微分方程转化为Laplace变换形式的整数阶微分方程，然后利用Laplace变换的性质和经典的整数阶微分方程数值解法求解。
具体步骤如下：(1) 对分数阶微分方程D^αy(t) = f(t, y(t)) 进行Laplace变换，得到整数阶微分方程s^αY(s) - s^αy(0) + s^α-1Y(s) = F(s)，其中Y(s) 和 F(s) 分别为 y(t) 和 f(t,y(t)) 的Laplace变换。
(2)将Y(s)和F(s)用有限差分近似替代，并将方程离散化为差分方程，得到Y_k(s)和F_k(s)，其中k是离散时间步长。
(3) 解差分方程，得到 Y_k。
将 Y_k 用逆Laplace变换转换为 y_k。
复合型分数阶微分方程初值问题的解
复合型分数阶微分方程初值问题是指形如dy/dx = f(x,y)，其中f(x,y)是分数阶的函数，y(x0)=y0是初值条件。由于这类方程通常不能直接求解，所以需要使用近似解的方法来求解。常用的近似解方法有以下几种：
差分近似法(Difference Approximation Method) :这种方法通过离散化微分方程来求解，通过在离散点上的近似值来求解微分方程。
逐步逼近法(Step-by-Step Approximation Method) :这种方法通过迭代的方来求解微分方程，不断逼近真实解。
数值积分法(Numerical Integration Method) :这种方法通过数值积分来求解微分方程，常用的方法有欧拉法、龙格-库塔法和自适应辛普森法。
这些方法都是通过不断近似来求解微分方程的，精度和计算复杂度取决于具体的方法，选择哪种方法取决于具体的问题和要求。