中考数学相似综合练习题附答案解析

一、相似真题与模拟题分类汇编（难题易错题）

1．如图，在等腰△ABC中，AB=BC，以BC为直径的⊙O与AC相交于点D，过点D作DE⊥AB交CB延长线于点E，垂足为点F．

（1）判断DE与⊙O的位置关系，并说明理由；

（2）若⊙O的半径R=5，tanC= ，求EF的长．

【答案】（1）解：DE是⊙O的切线，理由如下：如图，连接OD，BD，

∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=∠90°，∴BD⊥AC．

∵AB=BC，∴AD=DC．∵OC=OB，∴OD∥BA，∵DE⊥BC，∴DE⊥OD，∴直线DE是⊙O的切线．

（2）解：过D作DH⊥BC于H，∵⊙O的半径R=5，tanC= ，∴BC=10，设BD=k，CD=2k，∴BC= k=10，∴k=2 ，∴BD=2 ，CD=4 ，∴DH= =4，∴OH= =3，∵DE⊥OD，DH⊥OE，∴OD2=OH•OE，∴OE= ，∴BE= ，∵DE⊥AB，

∴BF∥OD，∴△BFE∽△ODE，∴，即，∴BF=2，∴EF= =

．

【解析】【分析】（1）DE是⊙O的切线，理由如下：如图，连接OD，BD，根据直径所对的圆周角的直角得出∠ADB=∠90°，根据等腰三角形的三线合一得出AD=DC，连接三角形两边中点的线段是三角形的中位线，又三角形的中位线平行于第三边，得出OD∥BA,又DE⊥BC，根据平行线的性质得出DE⊥OD，从而得出结论：直线DE是⊙O的切线；

（2）过D作DH⊥BC于H，根据正切函数的定义，由tanC=，可以设BD=k，CD=2k，根据勾股定理表示出BC，再根据BC=10，列出方程，求解得出k的值，进而得出CD,BD的长，根据面积法即可算出DH的长，再根据勾股定理算出OH的长，然后判断出△ODH与△ODE 相似，根据相似三角形对应边成比例即可得出OD2=OH•OE，根据等积式算出OE,的长，从而根据线段的和差算出BE的长，再判断出△BFE∽△ODE，根据相似三角形对应边成比例

得出,根据比例式即可算出BF，最后根据勾股定理算出FE的长。

2．如图，抛物线经过，两点，与y轴交于点C，连接AB，AC，BC．

（1）求抛物线的表达式；

（2）求证：AB平分；

（3）抛物线的对称轴上是否存在点M，使得是以AB为直角边的直角三角形，若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

【答案】（1）解：将，代入得：，

解得：，，

抛物线的解析式为

（2）解：，，

，

取，则，

由两点间的距离公式可知，

，，

，

，

在和中，，，，

≌，

，

平分

（3）解：如图所示：抛物线的对称轴交x轴与点E，交BC与点F．

抛物线的对称轴为，则．

，，

，

，

，

，

，

同理：，

又，

，

，

点M的坐标为或

【解析】【分析】（1）利用待定系数法，将点A、B两点坐标分别代入抛物线的解析式，求出a、b的值，即可解答。

（2）利用勾股定理，在Rt△AOC中，求出AC的长，再根据两点间的距离公式求出BD的长，由点B、C的坐标，求出BC的长，可证得BD=BC，然后证明△ABC ≌△ABD ，利用全等三角形的性质，可证得结论。

（3）抛物线的对称轴交x轴与点E，交BC与点F．求出抛物线的对称轴，就可求出AE的长，再利用点A、B的坐标，求出tan∠EAB的值，再由∠M'AB = 90 °，求出tan∠∠M'AE 的值，求出M'E的长，就可得出点M的坐标，再用同样的方法求出点M的坐标，即可解答。

3．如图，AB为的直径，C为上一点，D为BA延长线上一点，．

（1）求证：DC为的切线；

（2）线段DF分别交AC，BC于点E，F且，的半径为5，

，求CF的长．

【答案】（1）解：如图，连接OC，

为的直径，

，

，

，

，

，

，即，

为的切线

（2）解：中，，，，，

，，

∽，

，

设，，

中，，

，

舍或，

，，

，

设，

，

，

，

，

∽，

，

，，

【解析】【分析】（1）要证DC为⊙O 的切线，需添加辅助线：连半径OC，证垂直，根据直径所对的圆周角是直角，可得出∠ BCO + ∠ OCA = 90°，再利用等腰三角形的性质，可得出∠ B = ∠BCO ，结合已知，可推出∠OCD=90°，然后利用切线的判定定理，可证得结论。

（2）根据已知圆的半径和sinB的值，可求出AB、BC的值，再证明△CAD ∽△BCD，得出对应边成比例，得出AD与CD的比值，利用勾股定理求出AD、CD的长，再利用∠CEF=45°去证明CE = CF ，然后证明△ CED ∽△ BFD ，得出对应边成比例，求出CF的长。

4．已知在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，垂足为点D，以AD为对角线作正方形AEDF，DE 交AB于点M，DF交AC于点N，连结EF，EF分别交AB、AD、AC于点G、点O、点H.

（1）求证：EG=HF；

（2）当∠BAC=60°时，求的值；

（3）设 ,△AEH和四边形EDNH的面积分别为S1和S2，求的最大值.

【答案】（1）解：在正方形AEDF中，OE=OF，EF⊥AD，

∵AD⊥BC，

∴EF∥BC，

∴∠AGH=∠B，∠AHG=∠C，

而AB=AC，

∴∠B=∠C，

∴∠AGH=∠AHG，

∴AG=AH，

∴OG=OH，

∴OE-OG=OF-OH，

∴EG=FH

（2）解：当∠BAC=60°时，△ABC为正三角形，