第九章 基于有向图的网络基本理论(修改版)

一个一般图具有很多不同的定向. 反之，对给定的一般 有向图D=(V, A)，我们可以通过去掉其弧的方向，而得 到一个一般图G=(V, E), 这样的图叫做G的基础一般图， 一个一般有向图刚好只有一个基础一般图.
9.1
有向图的基本概念
【例3】图9.1.2给出了图9.1.1中一般有向图的基础一般 a 图. a
a b
Байду номын сангаас
9.1
有向图的基本概念
【例1】 图9.1.1给出的是一个一般有向图，而不是一个
简单有向图，因为其中某些弧的重数大于1. 一般有向图D=(V, A)的一个顶点x有两种度数. x的出度
是起始于顶点x的弧的个数：
∣{α∣ι(α)=x}∣ x的入度是终止于顶点x的弧的个数：
b
a
e
∣{α∣τ(α)=x}∣
z
γ
x y
9.1 有向图的基本概念
【例6】 设有n个交易商t1, t2, …, tn, 每人都带着不可分割的 商品(例如: 一辆车或一座房子)到市场来交易。假定每个 交易商只能交易到一种商品。每个交易商都把带到市场的 n件商品（包括他自己的商品）按照他对商品的偏爱程度 进行排列，排列顺序不能有并列的，因此，每个人对商品 的所有权都是从1到n. 市场活动的作用就是要在这n个交 易商之间重新分配（或交换）商品的所有权，这样的一个 交换叫做分配.
Ore性质：对所有不相邻的不同顶点对，有 deg(x)+deg(y)≥n ，deg(x)为x的度数. 由于给出了一个有向哈密尔顿圈存在的充分条件，我 们也有一个与定理（设G是满足Ore性质、阶数n≥3的 简单图，则G中存在哈密尔顿圈）直接类似的结论， 在定理中，D是一个简单有向无环图。
9.1 有向图的基本概念
9.1 有向图的基本概念
例如，假设n=5，交易商的偏爱顺序由下表9.1.5给定 t1
t1 t2 4 4
t2
3 3
t3
1 1
t4
2 2
t5
5 5
t3 t4 t5
4 1 4
3 4 5
5 3 2
1 5 1
2 2 3
9.1 有向图的基本概念
表中第一行给出了t1对商品的排列，因此，t1认为t3的商 品最有价值，其次的顺序分别为t4, t2, t1, t5的商品，表中 其他行的意思是类似的. 一种可能的分配ρ是 ρ(t1)= t2, ρ(t2)= t3 ,ρ(t3)= t1 ,ρ(t4)=t5,ρ(t5)= t4, 3 1 4 2 1 该分配不是一个核心分配，因为： ρ′(t1)= t4, ρ′(t4)= t1 2 1 即对交易商t1，t4定义了一个分配，在该分配中，他们每 人都得到了比他们在分配ρ中价值还高的商品.

图(a)存在一条有向欧拉迹：v3v1v2v3v4v1； 图(b)中存在闭的有向欧拉迹v1v2v3v4v1v3v1，因而(b)是欧拉图； 图(a)中有v3v1v2v3v4v1 欧拉迹，v3 的出度比其入度大1，v1 的入度 比其出度大1 ，其他点入度等于出度。
9.1 有向图的基本概念



定义9.1.3
在一般有向图D中，一条有向迹叫做一条有向欧拉迹 （允许重复点），如果它包含了D的全部弧；

一条哈密尔顿路是一条包含了全部顶点的路径； 一个 有向哈密尔顿圈是一个包含了全部顶点的有向圈； （有向哈密顿图）
9.1 有向图的基本概念
定理9.1.2 设D是一个连通有向图，则D中存在闭的有向 欧拉迹（即有向欧拉图），当且仅当其每个顶点的入度 都等于它的出度. 定理9.1.3 设D是一个连通有向图，x和y是D的不同顶 点，则D中存在一条从x到y的有向欧拉迹，当且仅当 i) x的出度比其入度大1； ii) y的入度比其出度大1； iii) 对任意顶点z≠x, y, z的入度与出度相等.


例如，竞赛图可用来描述竞赛的排名问题。 考察图1中竞赛图， 它代表6个选手之间的一场循环赛 的结果，当选手i打败选手j时， 则从点i到点j引一条有 向边（弧）。如图9.1.3所示，我们可以从中看到选手1 打败选手2、4、5、6而输给选手3等等。
排列参赛者名次的一种办法是：

寻找这个竞赛图的一条经过它的
第九章 基于有向图的网络基本理论
内容提要
本章主要给出了基于有向图的网络基本理论，其内容 包括：竞赛图、哈密尔顿路、强连通图等，并且在有向 图的基础上给出了网络的基本理论知识。
第九章 基于有向图的网络基本理论

众所周知，网络是带有两个不同顶点s和t的有向图，其中， 每条弧都带有一个非负的权，叫做它的容量.如果把每条 弧都想象成一个管道，其中流动着某种物质，弧的容量 （比方说）就好比是单位时间内流过该管道的流量，这 里，一个重要的问题就是：在所给容量的限制下，找出 从“源”s到“目标”t的最大可能的流量.对此问题的回 答便构成了本章的研究内容.
定理9.1.4 设D是一个没有任何环的强连通有向图，如 果对任意顶点x，都有 (x的入度)+ (x的出度)≥n 则D存在有向哈密尔顿圈. （证明难，从略）
9.1 有向图的基本概念

下面我们来说明：一个竞赛图中总存在哈密尔顿路， 也就是说，总能使选手按下面的顺序排列
p1, p2, …, pn 使得p1胜p2, p2胜p3, …, pn-1胜pn. （9.1.3）
e
d
9.1

有向图的基本概念
一般有向图是连通的，如果它的基础一般图是连通的. 一般有向图是强连通的，如果对于任意一对不同的顶点 a和b，都存在从a到b和从b到a的有向路径.
a
【例5】图9.1.1有向图是连通的， 但它不是强连通的. 仅从顶点b的出 度为0这一点，表明它无法从b离开.
b
e
c
d
图 9.1.1

由于我们并没有强调每个选手必须胜他后面的所有选 手，所以这个排列并不意味着是选手之间相容的排列。 实际上，一个竞赛图中甚至可能存在有向哈密尔顿圈， 这意味着排列（9.1.3）中每个选手都是第一名！
9.1 有向图的基本概念
定理9.1.5 任意一个竞赛图中都存在哈密尔顿路. 证明： 设D是一个n阶竞赛图，令 γ：x0→x1→x2→…→xp (9.1.4) 是D中一条最长的路径，我们通过说明，如果p<n，那 么就能找到一条更长的路径 来证明最长的路径（9.1.4） 就是一条哈密尔顿路. 假如p<n，使得不在路径（9.1.4）中的顶点集U非空，设u 是U中的任意一个顶点，D是竞赛图，u和路上任意点均有 弧存在，如果存在一条从u到x0或xp到u的弧，我们就找到 了一条更长的路.
u
x0→…→xk → xk+1 →…→ xp
9.1 有向图的基本概念
定理9.1.6 设G=(V, E)是个连通图，则G有一个强连通定 向，当且仅当G中没有任何桥. 证明：1） “”, 反证法 假设G有一个桥a, 去掉a后，得到一个具有两个连通分 支G1=(V1, E1)和G2=(V2, E2)的不连通图. 如果a从G1指向G2，那么就不存在从G2的一个顶点到 达G1的一个顶点的一条有向途径. 如果a从G2指向G1，那么就不存在从G1的一个顶点到 达G2的一个顶点的一条有向途径. 因此，G不存在一个强连通定向.
9.1

有向图的基本概念
定义9.1.2 对任意一个一般图G=(V, E), 可以通过对E的 每条边{a, b}指定一个方向，即：通过用（a, b）或(b, a) （如果{a,b}的重数大于1，则{a, b}中的一些重边可以用 (a, b)来代替，其他重边可以用(b, a)来代替）来代替{a, b}, 得到一个一般有向图D=(V, A), 这样的有向图D叫做G 的一个定向（orientation）.
9.1 有向图的基本概念
否则，假设x0和u之间的弧以u为终止顶点，且假设xp和u 之间的弧以u为起始顶点，则，路γ中必存在两个连续的 顶点xk和xk+1，使得xk和u之间的弧以u为终止顶点， xk+和 u之间的弧以u为起始顶点，但这时， x0→…→xk→u→ xk+1 →…→xp 是一条比γ还长的路.
所有顶点的有向路。
图9.1.3

最好的竞赛图是那样的一种图，它能把选手按一种次序 p1, p2, …, pn 排列，使排列中的每个选手都战胜过排在他 后面的所有选手，这样的竞赛图叫做可递竞赛图，在可 递竞赛图中，存在着选手们相容的排列.
9.1

有向图的基本概念
设D＝（V, A）是一般有向图，形如 （x0, x1）(x1, x2), …, (xm-1, xm) (9.1.2) 的m个弧的序列称为从顶 点x0到xm的长度为m的一条有向途径(walk)，起始顶点是x0，终 止顶点是xm. 当x0=xm时，有向途径是闭的，否则有向途径是开的.
本章基于有向图的思想，给出网络的基本理论.

9.1

有向图的基本概念
定义9.1.1 有向图 D = (V, A) 是由顶点的元素集合V和 有序顶点对（两顶点可以相同）的集合A构成的图， 每条弧的形式为： α=（a, b） (9.1.1)
其中，a和b是顶点，我们把弧α看作是离开α并进入
b的，即从a指向b .
环（x, x）对x的入度和出度的贡献均为1.
c
d
图 9.1.1
9.1
有向图的基本概念
定理9.1.1 在一般有向图中，顶点的入度之和等于出度 之和，且都等于图中弧的个数.
【例2】 图9.1.1中给出的一般有向图中，顶点a, b, c, d, e 入度分别是： 4，3，2，2，1 出度分别是： 3，0，3，2，4 在这两种情况下，度数和都是12，都为弧的个数.
9.1 有向图的基本概念
iii) 当U≠V时//循环 a) 找出连接U中的一个顶点x和非U中顶点y的边 α={x, y}. b) 找出一个包含边α的圈γ. c) 指定边α的方向从x到y，并继续指定γ中边的方 向，就好像要使它成为一个有向圈一样，直到到达 U中的一个顶点z为止. d) 将γ中从x到y到过的顶点全部放入U. iv) 对还没有指定方向的每一条边指定任意一个方向.
9.1 有向图的基本概念

我们把分配看作是一个一对一的函数
p:{t1,t2,…,tn}→{t1,t2,…,tn}
其中，p{ti}=tj的意思是：在分配中，交易商ti接受了 交易商tj的商品.

一个分配p叫做一个核心分配(core allocation)，如果 它满足下面的性质：不存在少于n个交易商的子集S， 使得他们在这个子集中交易时，每个人都能获得比 他在分配 p 中排位还高的商品.
α
a b
9.1

有向图的基本概念
式（9.1.1）中的弧α具有起始顶点ι(α)=a和终止顶点 τ(α)=b.
起始顶点a 终止顶点b


在有向图中，既可能同时包含弧(a, b)，也可能包含形 如（a, a）的环，环（a, a）进入和离开的是同一个顶点 a. 我们可以将有向图一般化, 使其成为允许有多重弧（弧 的个数，尽管包括重数在内，应该是有限的）的一般有 向图.

也可把途径（9.1.2）表示为x0→x1→x2→…→xm. 如果一个途径中 的弧都是不同的，则称该途径是有向迹(trail)；如果有向迹中的 顶点也都不相同（x0=xm的情况除外），则称它为一条路径 （path 或有向链 ）；一条封闭的路径叫做一个有向圈(cycle).
9.1
有向图的基本概念
【例4】 考虑图9.1.1中给出的5-阶一般有向图，则： a d→e→c→d→e是一条有向途径 （允许重复边和重复顶点）； b c→d→e→c→b 是一条有向迹 （允许重复点） c c→d→e→a→b是一条有向路 （无重复边和重复点） c→d→e→c，c→d→c, a→a中的每一个都是有向圈.
9.1 有向图的基本概念
2) “”, 算法构建强连通定向 假设G=(V, E)是一个没有桥的连通图，G的任意一条 边都包含在某个圈中，下面的算法确定了G的一个强连 通定向。 算法9.1.1 求无桥连通图的一个强连通定向的算法 i) 令U=Φ. ii) 找出G的一个圈γ. a) 指定γ中边的方向，使其成为一个有向圈. b) 将γ中的顶点放入U.
b
e
b
e
c
d
c
d
图 9.1.1
图 9.1.2
9.1

有向图的基本概念
n 阶完全图Kn的一个定向叫做一个竞赛图(Tournaments)， 它是任意不同顶点对之间恰好只有一个弧连接的有向图， 这条弧有两个可能的方向. 一个竞赛图可以被看作是选手们的比赛记录，它记录每 个选手在一次循环赛（每两个选手只比赛一次，且没有 平局）中战胜过哪些对手.