江苏省泰州市姜堰第二中学2020-2021学年度高二第一学期期中考试数学试卷及答案

江苏省姜堰第二中学2020-2021学年度第一学期期中考试
高二数学试卷
一、单项选择题：本大题共8小题. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把答案填涂在答题卡相应位置上.
1. 在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线x 2=2y 的焦点为F ，准线为ι，则点F 到直线ι的距离为 A. 1
2
B. 1
C. 2
D. 4
2. 已知向量a ⃗=（-2，3，-1），b ⃗⃗=（4，m ，n ），且a ⃗//b
⃗⃗，其中m ，n ∈R ，则m+n= A. 4 B. -4 C. 2 D. -2 3. 若sin θ=2cos （π-θ），则tan （θ+π
4）的值为
A. 3
B. 1
3
C. -3
D. −1
3
4. 在平面直角坐标系xOy 中，若椭圆C ：x 2
9+y 2
m =1与双曲线T ：x 2
−y 2
m =1有相同的焦点，则双曲线T 的渐近线方程为 A. y=±1
4x
B. y=±12
x C. y=±4x D. y=±2x
5. 在平面直角坐标系xOy 中，直线x+2y-4=0与两坐标轴分别交于点A ，B ，圆C 经过A ，B ，且圆心在y 轴上，则圆C 的方程为 A. x 2+y 2+6y-16=0 B. x 2+y 2-6y-16=0 C. x 2+y 2+8y-9=0 D. x 2+y 2-8y-9=0
6. 如图，已知圆柱的底面半径为2，与圆柱底面成60º角的平面截这个圆柱得到一个椭圆，则该椭圆的焦距为
A. 2√2
B. 2√3
C. 4√2
D. 4√3
7. 如图，在三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，BC 1与B 1C 相交于点O ，∠A 1AB=∠A 1AC=60º，∠BAC=90º，A 1A=3，AB=AC=2，则线段AO 的长度为
A. √29
2B. √29 C. √23
2
D. √23
8. 在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线C：x2
a2−y2
b2
=1（a＞0，b＞0）的左焦点为F，点M，N在双曲
线C上. 若四边形OFMN为菱形，则双曲线C的离心率为
A. √3−1
B. √5−1
C. √3+1
D. √5+1
二、多项选择题：本大题共4小题. 在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，请把答案填涂在答题卡相应位置上.
9. 已知两个不重合的平面α，β及直线m，下列说法正确的是
A. 若α⊥β，m⊥α，则m//β
B. 若α//β，m⊥α，则m⊥β
C. 若m//α，m⊥β，则α⊥β
D. 若m//α，m//β，则α//β
10. 在平面直角坐标系xOy中，F1，F2分别为椭圆x2
4+y2
2
=1的左、右焦点，点A在椭圆上. 若△AF1F2为
直角三角形，则AF1的长度可以为
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
11. 如图，直线ι1，ι2相交于点O，点P是平面内的任意一点，若x，y分别表示点P到ι1，ι2的距离，则称（x，y）为点P的“距离坐标”. 下列说法正确的是
A. 距离坐标为（0，0）的点有1个
B. 距离坐标为（0，1）的点有2个
C. 距离坐标为（1，2）的点有4个
D. 距离坐标为（x，x）的点在一条直线上
12. 20世纪50年代，人们发现利用静态超高压和高温技术，通过石墨等碳质原料和某些金属反应可以人工合成金刚石. 人工合成金刚石的典型晶态为立方体（六面体）、八面体和立方八面体以及它们的过渡形态.
其中立方八面体（如图所示）有24条棱、12个顶点、14个面（6个正方形、8个正三角形），它是将立方体“切”去8个“角”后得到的几何体. 已知一个立方八面体的棱长为1，则
A. 它的所有顶点均在同一个球面上，且该球的直径为2
B. 它的任意两条不共面的棱所在直线都相互垂直
C. 它的体积为
5√23
D. 它的任意两个共棱的面所成的二面角都相等
三、填空题：本大题共4小题. 请把答案填写在答题卡相应位置上.
13. 在平面直角坐标系xOy 中，已知直线ι1：x+ay=0和直线ι2：2x-（a-3）y-4=0，a ∈R. 若ι1与ι2平行，则ι1与ι2之间的距离为________.
14. 在空间直角坐标系中，若三点A （1，-1，a ），B （2，a ，0），C （1，a ，-2）满足(AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗−2AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗)⊥BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗，则实数a 的值为________.
15. 词语“堑堵”、“阳马”、“鳖臑”等出自中国数学名著《九章算术·商功》，是古代人对一些特殊锥体的称呼. 在《九章算术·商功》中，把四个面都是直角三角形的四面体称为“鳖臑”. 现有如图所示的“鳖臑”四面体PABC ，其中PA ⊥平面ABC ，PA=AC=1，BC=√2，则四面体PABC 的外接球的表面积为________.
16. 早在一千多年之前，我国已经把溢流孔技术用于造桥，以减轻桥身重量和水流对桥身的冲击. 现设桥拱上有如图所示的4个溢流孔，桥拱和溢流孔轮廓线均为抛物线的一部分，且四个溢流孔轮廓线相同. 建立如图所示的平面直角坐标系xOy ，根据图上尺寸，溢流孔ABC 所在抛物线的方程为________，溢流孔与桥拱交点A 的横坐标为________.
四、解答题：本大题共6小题. 请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤.
17. 在①sin （A-B ）=sinB+sinC ；②2acosC=2b+c ；③△ABC 的面积S=√3
4（a 2-b 2-c 2）三个条件中任选一个（填序号），补充在下面的问题中，并解答该问题.
已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，________，D 是边BC 上的一点，∠BAD=π
2，且
b=4，c=2，求线段AD 的长.
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分. 18. 在平面直角坐标系xOy 中，已知圆F ：（x-2）2+y 2=1，动圆M 与直线ι：x=-1相切且与圆F 外切. （1）记圆心M 的轨迹为曲线C ，求曲线C 的方程；
（2）已知A （-2，0），曲线C 上一点P 满足PA=√2PF ，求∠PAF 的大小. 19. 如图，在直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，D 为AC 中点. （1）求证：B 1A//平面C 1BD ；
（2）若AA 1=AB=3，BC=4，且AB ⊥BC ，求三棱锥B-B 1C 1D 的体积.
20. 在平面直角坐标系xOy 中，已知圆O ：x 2+y 2=1，点A ，B 是直线x-y+m=0（m ∈R ）与圆O 的两个公共点，点C 在圆O 上.
（1）若△ABC 为正三角形，求直线AB 的方程；
（2）若直线x-y-√3=0上存在点P 满足AP
⃗⃗⃗⃗⃗⃗·BP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=0，求实数m 的取值范围. 21. 如图，在四棱锥P-ABCD 中，平面PAB ⊥平面ABCD ，PA ⊥AB ，PA=AD=4，BC//AD ，AB ⊥AD ，
AB=BC=2，PE
⃗⃗⃗⃗⃗⃗=λPC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗（0≤λ＜1）. （1）若λ=1
2，求直线DE 与平面ABE 所成角的正弦值；
（2）设二面角B-AE-C 的大小为θ，若|cos θ|=
2√34
17
，求λ的值.
22. 在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：x 2a
2+
y 2b 2
=1（a ＞b ＞0）的左顶点与上顶点的距离为2√3，且
经过点（2，√2）.
（1）求椭圆C 的方程；
（2）直线ι与椭圆C 相交于P ，Q 两点，M 是PQ 的中点. 若椭圆上存在点N 满足ON
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=3MO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗，求证：△PQN 的面积S 为定值.
2020－2021学年度第一学期期中调研测试
高二数学参考答案
2020.11
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．
1．B 2．B 3．D 4．D 5．A 6．D 7．A 8．C 二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 9．BC 10．ABC 11．ABC 12．ACD
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 13． 2 14．－92 15．4π 16．y ＝－5
36
(x －14)2，14013
四、解答题：本大题共6小题，共70分． 17．（本小题满分10分） 解：选①．
由条件① sin(A －B )＝sin B ＋sin C ，
在△ABC 中，A ＋B ＋C ＝π，所以sin(A －B )＝sin B ＋sin(A ＋B )，
即 sin A cos B －cos A sin B ＝sin B ＋sin A cos B ＋cos A sin B ， ……………… 2分 从而sin B ＝－2cos A sin B ．
因为B 为三角形内角，所以sin B ≠0，所以cos A ＝－1
2
．
因为A 为三角形内角，所以A ＝2π
3． ……………… 4分
在△ABC 中，因为b ＝4，c ＝2， 故由正弦定理
b sin B ＝
c sin C
得4sin C ＝2sin B ，即2sin C ＝sin B ， 所以sin B ＝2sin C ＝2sin(π
3－B )＝3cos B －sin B ，即2sin B ＝3cos B ．
由sin B ≠0知cos B ≠0，因此tan B ＝
sin B cos B ＝3
2
． ……………… 8分 因为∠BAD ＝π
2，所以AD ＝AB ·tan B ＝3． ……………… 10分
选②．
由条件②2a cos C ＝2b ＋c ，结合余弦定理得2a ×b 2＋a 2－c 2
2ab
＝2b ＋c ，
即 a 2＝b 2＋c 2＋bc ， ……………… 2分 所以cos A ＝b 2＋c 2－a 2 2bc ＝－1
2
，
因为A 为三角形内角，所以A ＝2π
3
． ……………… 4分
在△ABC 中，因为b ＝4，c ＝2， 故由正弦定理
b sin B ＝
c sin C
得4sin C ＝2sin B ，即2sin C ＝sin B ， 所以sin B ＝2sin C ＝2sin(π
3－B )＝3cos B －sin B ，即2sin B ＝3cos B ．
由sin B ≠0知cos B ≠0，因此tan B ＝
sin B cos B ＝3
2
． ……………… 8分 因为∠BAD ＝π
2，所以AD ＝AB ·tan B ＝3． ……………… 10分
选③．
由条件③，△ABC 的面积S ＝
34
(a 2－b 2－c 2
)， 得12bc sin A ＝3
4(－2bc cos A )，即sin A ＝－3cos A ， ……………… 2分 因为A 为三角形内角，所以sin A ≠0，从而cos A ≠0，
所以tan A ＝sin A cos A ＝－3，所以A ＝2π3． ……………… 4分
在△ABC 中，因为b ＝4，c ＝2， 故由正弦定理
b sin B ＝c
sin C
得4sin C ＝2sin B ，即2sin C ＝sin B ， 所以sin B ＝2sin C ＝2sin(π
3－B )＝3cos B －sin B ，即2sin B ＝3cos B ．
由sin B ≠0知cos B ≠0，因此tan B ＝
sin B cos B ＝3
2
． ……………… 8分 因为∠BAD ＝π
2，所以AD ＝AB ·tan B ＝3． ……………… 10分
另解：A ＝2π
3
（略）
……………… 4分
在△ABC 中，因为b ＝4，c ＝2，
由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝42＋22－2×4×2×cos 2π
3＝28，
所以a ＝27．
……………… 6分 由正弦定理得a sin A ＝b
sin B ，则sin B ＝b sin A a ＝4×sin
2π327＝217，
又B 为锐角，所以cos B ＝1－sin 2B ＝277，则tan B ＝sin B cos B ＝3
2
．……… 8分 在△ABD 中，因为∠BAD ＝π
2，
所以AD ＝AB ·tan B ＝3． ……………… 10分
18．（本小题满分12分）
解：（1）设M (x ，y )，圆M 的半径为r ．
由题意知，MF ＝r ＋1，M 到直线l 的距离为r ．
方法一：点M 到点F (2，0)的距离等于M 到定直线x ＝－2的距离
，
根据抛物线的定义知，曲线C 是以F (2，0)为焦点，x ＝－2为准线的抛物线． 故曲线C 的方程为y 2＝8x ． ……………………6分 方法二：因为MF ＝(x －2)2＋y 2＝r ＋1，|x ＋1|＝r ，x ＞－1， 所以(x －2)2＋y 2＝x ＋2，化简得y 2＝8x ，
故曲线C 的方程为y 2＝8x ． ……………………6分 （2）方法一：设P (x 0，y 0)，由P A ＝2PF ，
得(x 0＋2)2＋y 02＝2[(x 0－2)2＋y 02]， ……………………8分 又y 02＝8x 0，解得x 0＝2，故P (2，±4)， ……………………10分 所以k P A ＝±1，从而∠P AF ＝π
4． …………………12分
方法二：过点P 向直线x ＝－2作垂线，垂足为Q ．
由抛物线定义知，PQ ＝PF ，所以P A ＝2PQ ， ……………………8分 在△APQ 中，因为∠PQA ＝π
2
，
所以sin ∠QAP ＝PQ P A ＝ 2
2， ……………………10分
从而∠QAP ＝π4，故∠P AF ＝π
4． …………………12分
19．（本小题满分12分）
（1）证明：连结B 1C 交BC 1于点O ，连结OD ． 在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，BC ＝B 1C 1，BC ∥B 1C 1，
所以四边形B 1BCC 1为平行四边形，
所以O 为B 1C 中点． 又因为D 为AC 中点， 所以OD 为△CB 1A 的中位线，
所以B 1A ∥OD ． …………………3分 又因为B 1A ⊄平面C 1BD ，OD ⊂平面C 1BD ，
所以B 1A ∥平面C 1BD ． …………………5分 （2）解：方法一：三棱锥B －B 1C 1D 的体积就是三棱锥D －BB 1C 1的体积． …7分
过点D 作DE ⊥BC ，垂足为E ．
在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，B 1B ⊥平面ABC ．
B 1
（第19
A 1
C 1
B
D
A
C O
E
因为DE ⊂平面ABC ， 所以B 1B ⊥DE ．
又因为DE ⊥BC ，且B 1B ，BC ⊂平面B 1BCC 1，B 1B ∩BC ＝B ， 所以DE ⊥平面B 1BCC 1，即DE 为三棱锥D －BB 1C 1的高． ………9分
在△ABC 中，AB ＝3，BC ＝4，且AB ⊥BC ， 所以AC ＝32＋42＝5，sin C ＝3
5
，
在Rt △DEC 中，DC ＝12AC ＝52，所以DE ＝DC ×sin C ＝3
2．
又△BB 1C 1的面积S ＝12×BB 1×B 1C 1＝1
2
×3×4＝6，
所以三棱锥D －BB 1C 1的体积V ＝1
3×S ×DE ＝3，
故三棱锥B －B 1C 1D 的体积等于3．
………12分
方法二：三棱锥B －B 1C 1D 的体积就是三棱锥B 1－BDC 1的体积． ………7分 因为（1）中已证B 1A ∥平面C 1BD ，
所以B 1到平面BDC 1的距离等于A 到平面BDC 1的距离． 因此三棱锥B 1－BDC 1的体积等于三棱锥A －BDC 1的体积， 即等于三棱锥C 1－ABD 的体积．
在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，C 1C ⊥平面ABC ， 所以C 1C 为三棱锥C 1－ABD 的高．
………10分
因为AB ＝3，BC ＝4，且AB ⊥BC ，S △ABC ＝1
2×AB ×BC ＝6．
因为D 是AC 的中点，所以△ABD 的面积S ＝1
2S △ABC ＝3．
故三棱锥C 1－ABD 的体积V ＝1
3×S ×C 1C ＝3，
即三棱锥B －B 1C 1D 的体积等于3．
………12分
20．（本小题满分12分）
解：（1）由△ABC 为正三角形，得∠AOB ＝2∠ACB ＝
2π3，所以∠ABO ＝∠BAO ＝π
6
， 所以原点O 到直线AB 的距离d ＝1×sin π6＝1
2． ………3分
由点到直线的距离公式得
|m |2＝12
，解得m ＝22或－22．
所以直线AB 的方程为2x －2y ＋2＝0或2x －2y －2＝0． ………5分 （2）方法一：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，P (x ，y )． 因为AP →·BP →
＝0，所以点P 在以AB 为直径的圆上．
记该圆圆心为(x 0，y 0)，则⎩⎨⎧x ＝x 0，y ＝y 0是方程组⎩⎨⎧x ＋y ＝0，x －y ＋m ＝0的解，解得⎩
⎨⎧x 0＝－m 2
，
y 0＝m 2
．
故以AB 为直径的圆的方程为(x ＋m 2)2＋(y －m 2)2＝1－m 2
2，其中－2＜m ＜2． …9分
又点P 在直线x －y － 3 ＝0上，即直线与圆有公共点， 所以|m ＋3|
2≤
1－m 2
2
，即2m 2＋23m ＋1≤0．
解得－
3＋12≤m ≤1－3
2
． 综上，实数m 的取值范围是[－
3＋12，1－3
2
]． ………12分
方法二：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．
联立直线AB 与圆O 方程，得⎩⎨⎧x 2＋y 2＝1，
x －y ＋m ＝0，
消去y 得2x 2＋2mx ＋m 2－1＝0． ①
所以x 1，x 2是①的两个解，
判别式△＝(2m )2－4×2×(m 2－1)＞0，即－2＜m ＜2， 且x 1＋x 2＝－m ，x 1x 2＝m 2－1
2
．
………7分
设点P (x ，y )，则AP →＝(x －x 1，y －y 1)，BP →
＝(x －x 2，y －y 2)． 由AP →·BP →
＝0，得(x －x 1) (x －x 2)＋(y －y 1) (y －y 2)＝0， ②
将y ＝x －3，y 1＝x 1＋m ，y 2＝x 2＋m 代入②，
整理得2x 2－2(x 1＋x 2＋m ＋3)x ＋2x 1x 2＋(m ＋3)(x 1＋x 2)＋(m ＋3)2＝0． 又x 1＋x 2＝－m ，x 1x 2＝m 2－1
2，所以2x 2－23x ＋m 2＋3m ＋2＝0，
关于x 的方程2x 2－23x ＋m 2＋3m ＋2＝0有实数解， ………10分
因此(－23)2－4×2×(m 2＋3m ＋2)≥0，即2m 2＋23m ＋1≤0， 解得－
3＋12≤m ≤1－3
2
． 综上，实数m 的取值范围是[－3＋12，1－3
2
]． ………12分 21．（本小题满分12分）
解：因为平面P AB ⊥平面ABCD ，P A ⊥AB ，平面P AB ∩平面ABCD ＝AB ，P A ⊂平面P AB ，
所以P A ⊥平面ABCD ．
因为AD ⊂平面ABCD ，所以P A ⊥AD ．
又AB ⊥AD ，所以P A ，AB ，AD 两两互相垂直． 以{AB →，AD →，AP →}为正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系A -xyz ．…………2分
因为P A ＝AD ＝4，AB ＝BC ＝2，
所以A (0，0，0)，B (2，0，0)，C (2，2，0)，
D (0，4，0)，P (0，0，4)．
（1）若λ＝12
，即E 为PC 中点，则E ()1，1，2， 所以DE →＝()1，－3，2，AB →＝()2，0，0，AE →＝()1，1，2．
设平面ABE 的一个法向量为m ＝(x 1，y 1，z 1)，
则⎩⎪⎨⎪⎧ m ·AB →＝0，m ·AE →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧
2x 1＝0，x 1＋y 1＋2z 1＝0．令z 1＝1，得y 1＝－2， 所以平面ABE 的一个法向量为m ＝(0，－2，1)． …………………4分
设直线DE 与平面ABE 所成角为α，
则sin α＝|cos ＜DE →，m ＞|＝|6＋214×5
|＝47035． …………………6分 （2）因为PE →＝λPC →(0≤λ＜1)，则E (2λ，2λ，4－4λ)．
设平面ABE 的一个法向量为n ＝(x 2，y 2，z 2)，
则⎩⎪⎨⎪⎧ n ·AB →＝0，n ·AE →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧
2x 2＝0，2λx 2+2λy 2+(4－4λ)z 2＝0．令y 2＝2，得z 2＝λλ－1， 所以平面ABE 的一个法向量为n ＝(0，2，λλ－1
)． 设平面AEC 的一个法向量为l ＝(x 3，y 3，z 3)，
则⎩⎪⎨⎪⎧ l ·AC →＝0，l ·AP →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧
2x 3＋2y 3＝0，4z 3＝0．令x 3＝1，得y 3＝－1， 所以平面AEC 的一个向量为l ＝(1，－1，0)． ……………………9分
（或证明CD ⊥平面P AC ，从而CD →为平面P AC 的一个法向量）
因为二面角B -AE -C 的大小为θ，且|cos θ|＝23417
， 得|cos ＜n ，l ＞|＝|－24＋(λλ－1
)2×2|＝23417，整理得3λ2＋2λ－1＝0， 解得λ＝13，或λ＝－1(舍)．所以λ＝13
． ……………12分 y z P A B C D E x
22．（本小题满分12分）
解：（1）椭圆C 的左顶点(－a ，0)，上顶点(0，b )．
因为左顶点与上顶点的距离为23，所以a 2＋b 2＝23，化简得a 2＋b 2＝12． ①
因为椭圆经过点(2，2)，所以4a 2＋2b 2＝1，② …………2分 由①②解得a 2＝8，b 2＝4或a 2＝6，b 2＝6（舍去），
所以椭圆C 的方程为x 28＋y 24
＝1． …………4分 （2）当PQ 斜率不存在时，N 为(±22，0)，PQ 方程为x ＝±223，易得PQ ＝823
， 此时S ＝12×MN ×PQ ＝12×823×823＝649
． …………5分 当PQ 斜率存在时，设PQ 的方程为y ＝kx ＋m (m ≠0)，
联立⎩
⎪⎨⎪⎧y ＝
kx ＋m ，x 28＋y 24＝1得(1＋2k 2)x 2＋4kmx ＋2(m 2－4)＝0， 由△＝(4km )2－8(1＋2k 2)(m 2－4)＞0，得0＜m 2＜8k 2＋4． （*）
设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－4km 1＋2k 2，x 1x 2＝2(m 2－4)1＋2k 2
， 因此PQ 的中点M 为(－2km 1＋2k 2，m 1＋2k 2
)． 又因为ON →＝3MO →，所以N (6km 1＋2k 2，－3m 1＋2k 2
)， 将点M 代入椭圆方程，得18k 2m 24(1＋2k 2)2＋9m 24(1＋2k 2)2
＝1， 化简得2k 2＋1＝94
m 2，符合（*）式． ……………9分 记点O 到直线l 的距离为d ，
则S ＝4S △OPQ ＝2PQ ×d ＝21＋k 2|x 1－x 2|×d
＝21＋k 2×22×8k 2＋4－m 21＋2k 2×|m |1＋k
2＝42|m |×8k 2＋4－m 21＋2k 2， 将2k 2＋1＝94m 2代入，得S ＝42|m |×9m 2－m 294
m 2＝649． 综上，△PQN 的面积S 为定值649
． …………12分。