公开课教案
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基本不等式
2a b +≤ 授课人:祁玉瑞 授课类型:新授课
一、知识与技能: 使学生了解基本不等式的代数、几何背景,学会推导并掌握基本不等式,理解这个基本不等式的几何意义,并掌握定理中的不等号“≥”取等号的条件是:当且仅当这两个数相等;学会应用基本不等式解决简单的数学问题。 过程与方法:
通过探索基本不等式的过程,让学生体会研究数学问题的基本思想方法,学会学习,学会探究。
情感态度与价值观:
在探索过程中,鼓励学生大胆尝试,大胆猜想,并能对猜想进行证明,增强学生的信心,获得探索问题的成功情感体验。逐步养成学生严谨的科学态度及良好的思维习惯。同时通过本节内容的学习,让学生体会数学来源于生活,提高学习数学的兴趣。
二、重点及难点
重点:应用数形结合的思想理解不等式,2
a b +≤的证明过程。
难点:2a b +≤等号成立条件。 三、教学过程
1.课题导入
2a b
+≤的几何背景: 如图是在北京召开的第24界国际数学家大会的会标,会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的,颜色的明暗使它看上去象一个风车,代表中国人民热情好客。你能在这个图案中找出一些相等关系或不等关系吗
教师引导学生从面积的关系去找相等关系或不等关系。
2.讲授新课
1.探究图形中的不等关系
将图中的“风车”抽象成如图,在正方形ABCD 中右个全等的直角三角形。
设直角三角形的两条直角边长为a,b 那么正方形的边长为22a b +。这样,4个直角三角形的面积的和是2ab ,正方形的面积为22a b +。由于4个直角三角形的
面积小于正方形的面积,我们就得到了一个不等式:222a b ab +≥。
当直角三角形变为等腰直角三角形,即a=b 时,正方形EFGH 缩为一个点,这时
有222a b ab +=。
2.得到结论:一般的,如果
)""(2R,,22号时取当且仅当那么==≥+∈b a ab b a b a 3.思考证明:你能给出它的证明吗
证明:因为 222)(2b a ab b a -=-+
当
22,()0,,()0,a b a b a b a b ≠->=-=时当时 所以,0)(2≥-b a ,即
.2)(22ab b a ≥+ 4.12a b
ab +≤
特别的,如果a>0,b>0,我们用分别代替a 、b ,可得2a b ab +≥,
(a>0,b>0)2a b ab +≤
22a b
ab +≤ 用分析法证明:
32a b ab +≤的几何意义
探究:课本第98页的“探究”
在右图中,AB 是圆的直径,点C 是AB 上的一点,AC=a,BC=b 。过
点C 作垂直于AB 的弦DE ,连接AD 、BD 。你能利用这个图形得出基本不等式
2a b
+≤的几何解释吗
易证Rt △A CD ∽Rt △D CB ,那么CD2=CA ·CB
即CD =ab . 这个圆的半径为2b a +,显然,它大于或等于CD ,即ab b a ≥+2,其中当且
仅当点C 与圆心重合,即a =b 时,等号成立.
2a b
+≤几何意义是“半径不小于半弦” .在数学中,我们称2b
a +为a 、
b 的算术平均数,称ab 为a 、b 的几何平均数.本节定理还可叙述为:两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.
四、范例讲解
课本p99页,例1
五、课时小结
本节课,我们学习了重要不等式a2+b2≥2ab ;两正数a 、b 的算术平均数(2b a +),几何平均数(ab )及它们的关系(2b
a +≥a
b ).它们成立的条件不同,前者只要求a 、b 都是实数,而后者要求a 、b 都是正数.它们既是不等式变形的基本工具,又是求函数最值的重要工具(下一节我们将学习它们的应用).
我们还可以用它们下面的等价变形来解决问题:ab ≤222b a +,ab ≤(2b
a +)2.
六、 作业
课本第100页习题[A]组的第1题