公开课教案

基本不等式

2a b +≤ 授课人:祁玉瑞 授课类型：新授课

一、知识与技能： 使学生了解基本不等式的代数、几何背景，学会推导并掌握基本不等式，理解这个基本不等式的几何意义，并掌握定理中的不等号“≥”取等号的条件是：当且仅当这两个数相等；学会应用基本不等式解决简单的数学问题。 过程与方法：

通过探索基本不等式的过程，让学生体会研究数学问题的基本思想方法，学会学习，学会探究。

情感态度与价值观：

在探索过程中，鼓励学生大胆尝试，大胆猜想，并能对猜想进行证明，增强学生的信心，获得探索问题的成功情感体验。逐步养成学生严谨的科学态度及良好的思维习惯。同时通过本节内容的学习，让学生体会数学来源于生活，提高学习数学的兴趣。

二、重点及难点

重点：应用数形结合的思想理解不等式，2

a b +≤的证明过程。

难点：2a b +≤等号成立条件。 三、教学过程

1.课题导入

2a b

+≤的几何背景： 如图是在北京召开的第24界国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去象一个风车，代表中国人民热情好客。你能在这个图案中找出一些相等关系或不等关系吗

教师引导学生从面积的关系去找相等关系或不等关系。

2.讲授新课

1．探究图形中的不等关系

将图中的“风车”抽象成如图，在正方形ABCD 中右个全等的直角三角形。

设直角三角形的两条直角边长为a,b 那么正方形的边长为22a b +。这样，4个直角三角形的面积的和是2ab ，正方形的面积为22a b +。由于4个直角三角形的

面积小于正方形的面积，我们就得到了一个不等式：222a b ab +≥。

当直角三角形变为等腰直角三角形，即a=b 时，正方形EFGH 缩为一个点，这时

有222a b ab +=。

2．得到结论：一般的，如果

)""(2R,,22号时取当且仅当那么==≥+∈b a ab b a b a 3．思考证明：你能给出它的证明吗

证明：因为 222)(2b a ab b a -=-+

当

22,()0,,()0,a b a b a b a b ≠->=-=时当时 所以，0)(2≥-b a ，即

.2)(22ab b a ≥+ 4．12a b

ab +≤

特别的，如果a>0,b>0,我们用分别代替a 、b ，可得2a b ab +≥，

(a>0,b>0)2a b ab +≤

22a b

ab +≤ 用分析法证明：

32a b ab +≤的几何意义

探究：课本第98页的“探究”

在右图中，AB 是圆的直径，点C 是AB 上的一点，AC=a,BC=b 。过

点C 作垂直于AB 的弦DE ，连接AD 、BD 。你能利用这个图形得出基本不等式

2a b

+≤的几何解释吗

易证Ｒt △A ＣD ∽Ｒt △D ＣB ，那么ＣD2＝ＣA ·ＣB

即ＣD ＝ab . 这个圆的半径为2b a +，显然，它大于或等于CD ，即ab b a ≥+2，其中当且

仅当点C 与圆心重合，即a ＝b 时，等号成立.

2a b

+≤几何意义是“半径不小于半弦” .在数学中，我们称2b

a +为a 、

b 的算术平均数，称ab 为a 、b 的几何平均数.本节定理还可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.

四、范例讲解

课本p99页，例1

五、课时小结

本节课，我们学习了重要不等式a2＋b2≥2ab ；两正数a 、b 的算术平均数（2b a +），几何平均数（ab ）及它们的关系（2b

a +≥a

b ）.它们成立的条件不同，前者只要求a 、b 都是实数，而后者要求a 、b 都是正数.它们既是不等式变形的基本工具，又是求函数最值的重要工具(下一节我们将学习它们的应用).

我们还可以用它们下面的等价变形来解决问题：ab ≤222b a +，ab ≤（2b

a +）2.

六、 作业

课本第100页习题[A]组的第1题