2003SARS传播的数学模型

SARS传播的数学模型

摘要：我们以传统的微分方程为理论基础，从经典的传染病模型SIR模型入手，参考用2003

年6月以前的有关SARS的统计数据，对SARS病情的特殊性进行了分析，建立了描述SARS疫情传播的微分方程模型。还用曲线拟合的方式，给出了模型中参数的确定方法，以及模型的数值解法。

关键词：SARS，传染病模型，微分方程，曲线拟合

SARS的简介：

SARS（Severe Acute Respiratory Syndrome，严重急性呼吸道综合症, 俗称：非典型肺炎）是21世纪第一个在世界范围内传播的传染病。SARS的爆发和蔓延给我国的经济发展和人民生活带来了很大影响，我们从中得到了许多重要的经验和教训，认识到定量地研究传染病的传播规律、为预测和控制传染病蔓延创造条件的重要性。

与以往的传染病不同，SARS具有其自身的特征：除了考虑易感染者、已感染者和移出者外，还要考虑疑似者、疑似者中的确诊者、不可控者、不可控者中转化为病人（感染）者。我们从经典的传染病模型SIR模型出发，考虑了传染病蔓延过程中政府部门的决策和措施对抑制疾病蔓延的积极作用

基本假设：

1. 除感病特征外，人群的个体间没有差异、感病者与易感者的个体在人群中混合是均匀的

人群的数量足够大，只考虑传染过程的平均效应。

2. 易感者感病的机会与他接触感病者的机会成正比。

3. 疾病的传染率为常数。

4. 不考虑出生与死亡的过程和人群的迁出和迁入

5 .已感染者以固定的比率痊愈或死亡。

6 .对于一个SARS康复者我们可以假设他二度感染SARS的概率为0，这些人既不是健康者(易感染者)，也不是病人(已感染者)。

符号说明：

S(t) 为易感染者在总人口中所占的比例

I(t) 为已感染者在总人口中所占的比例

R(t) 为移出者在总人口中所占的比例

N(t) 为疑似者在总人口中所占的比例

M(t) 为不可控者在总人口中所占的比例

k为每个易感染者平均每天感染的有效人数

h为移出率（即SARS患者的日死亡率和日治愈率之和）ε为不可控者中转化为病人的日转化率

α为被不可控者有效感染的人中可以控制的比率

y1为疑似者中每日被诊断为未被感染者占疑似者的比例y2为疑似者中每日被诊断为被感染者占疑似者的比例

对问题一的回答：

某种函数的形式，引入一些参量因子进行考虑。

对问题二的回答： 模型的建立

模型I （SIR ）

如果假设S (t ) 为易感染者在总人口中所占的比例，I (t ) 为已感染者在总人口中所占的比例，R (t ) 为移出者在总人口中所占的比例，k 为每个易感染者平均每天感染的有效人数，h 为移出率，则通过机理分析，这种情况可以用经典的传染病模型SIR 模型来描述，其表达式为如下的微分方程组：

kIS dt dS

-=，S (0) = S 0 hI kIS dt dI

-=，I (0) = I 0 hI dt

dR

=，R (0) = R 0 其中S (t ) + I (t ) + R (t ) = 1。

()k h I S I S dS dI =

=-=ρρ,,100 （相对移出率）

解为：

()()000ln

S S S I S S I ρ+-+=

讨论：当∞→t 时，

无论初始条件00I S 、如何，感病者终将在系统中消失，即有0=∞I 。 事实上，0/≤dt dS ，而().0≥t S 故∞S 存在。由0/≥=hI dt dR 且1)(≤t R 故

∞R 存在。

若0>=∞εI ，则2/ε>∞I 。对于充分大的t 有()2/ε>t I 。从而对充分大的t 有

2//εh dt dR >。这将导致∞=∞R 。与∞R 存在矛盾。可得0=∞

I 。

设法提高模型中ρ（改善卫生条件、减少传染期的接触数）的值，在模型Ⅱ中，参数ρ是重要的，通常称之为相对移出率。我们可以用S 的极值来表示ρ，因此ρ可以由观测数据给出估计。

()()0ln ln /1S S S --=∞∞ρ 当传染病流行结束后得到0S 和∞S ，由上式就可给出ρ的估计。

模型Ⅱ（针对SARS 特征建立的模型）

SARS 的传播机理又与一般的传染病不尽相同。不仅有易感染者、已感染者和移出者，还有疑似者和不可控者（自由带菌者），同时疑似者和不可控者中都可能有一部分转化为易感染者，也有一部分转化为易感染者。所以，传统的传染病模型无法描述SARS 的传播机理，必须对其进行修改。

假设S (t ) 为易感染者在总人口中所占的比例，I (t ) 为已感染者在总人口中所占的比例，R (t ) 为移出者在总人口中所占的比例，N (t ) 为疑似者在总人口中所占的比例，M (t ) 为不可控者在总人口中所占的比例。又设k 为每个不可控者发病后被收治前平均每天感染的有效人数，ε 为不可控者中转化为病人的日转化率，h 为移出率（即SARS 患者的日死亡率和日治愈率之和），α 为被不可控者有效感染的人中可以控制的比率，y 1为疑似者中每日被诊断为未被感染者占疑似者的比例，y 2为疑似者中每日被诊断为被感染者占疑似者的比例。于是，从经典的传染病模型SIR 模型出发，通过机理分析动态地修正，得到描述SARS 传播的微分方程模型如下：

kIS N y dt dS

-=1，S (0) = S 0 N y hI M dt dI

2+-=ε，I (0) = I 0 hI dt dR

=，R (0) = R 0 αkMS N y N y dt dN

+--=21，N (0) = N 0 M kMS dt dM

εα--=)1(，M (0) = M 0 参数的确定

上述的SARS 传播模型中，共有6个参数。根据政府发布的统计数据信息，每天的y 1、y 2和h 可以使用如下的公式进行估计：